[DEMO] プレゼン風レイアウト — 平面内の速度・加速度

01 VECTOR & DISPLACEMENT ベクトルと変位

📐 1. ベクトル・位置ベクトル・変位

「船はどこにいる？どこへ向かった？」——正確に伝えるには，大きさと向きをもつベクトルが必要になる。

「北に 200 m」「東に 3 km/h」のように，ある量を伝えるとき 大きさだけでなく向きも必要なことがある。このように，大きさと向きの両方で決まる量を ベクトル（vector）という。図では矢印で表し，矢印の長さが大きさ，矢印の方向が向きを示す。

💡

ベクトル（vector）： 大きさと向きをもつ量。矢印で表す。
対して，温度や質量のように大きさだけの量をスカラー（scalar）という。

2つのベクトルの和は，平行四辺形の法則で求められる。始点をそろえて描き，平行移動すると平行四辺形ができ，対角線が和ベクトルになる。

$$ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x,\; a_y + b_y) $$

物体が点 P（位置ベクトル $\vec{r}_1$）から点 Q（位置ベクトル $\vec{r}_2$）に移動したとき，位置の変化を表すベクトルを変位といい $\Delta\vec{r}$ で表す。

$\Delta\vec{r} = $ $\vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}$

📌 ポイント

P → Q への経路がどう変わっても，始点と終点が同じなら変位 $\Delta\vec{r}$ は同じ。変位は「どこを通ったか」ではなく「どれだけ位置が変わったか」を表す。

SCROLL

02 VELOCITY COMPOSITION 速度の合成・分解

「川を横切る船は，岸からどう見える？」——速度もベクトルだから，合成・分解ができる。

時間 $\Delta t$〔s〕の間に物体が P から Q まで進むとき，平均の速度 $\bar{\vec{v}}$ は変位を時間で割った

$$ \bar{\vec{v}} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} $$

この式で $\Delta t$ を限りなく小さくしていくときの極限が，点 P での船の瞬間の速度であり，その向きは経路の接線方向になる。

静水時の船の速度を $\vec{v}_1$，流水の速度を $\vec{v}_2$ とすると，岸から見た船の速度（合成速度）は

$\vec{v} = $$\vec{v}_{1} + \vec{v}_{2}$

速度 $\vec{v}$（大きさ $v$）が x 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とすると

$v_x = v\cos\theta$，$v_y = v\sin\theta$，$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

$v$〔m/s〕：速度の大きさ

$\theta$：速度が x 軸となす角

$v_x, v_y$〔m/s〕：x 成分，y 成分

03 SUMMARY まとめ

ベクトルとスカラー：大きさと向きをもつ量がベクトル、大きさのみがスカラー。
変位：$\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$（始点→終点のベクトル、経路に依らない）。
速度の合成・分解：合成速度 $\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$、成分 $v_x = v\cos\theta,\; v_y = v\sin\theta$。
相対速度：A から見た B の速度は $\vec{v}_{\mathrm{AB}} = \vec{v}_{\mathrm{B}} - \vec{v}_{\mathrm{A}}$。
加速度：$\vec{a} = \Delta\vec{v}/\Delta t$。速さが一定でも向きが変われば加速度はある。