① 平面内の速度・加速度

📐 1. ベクトル・位置ベクトル・変位

「船はどこにいる？どこへ向かった？」——正確に伝えるには，大きさと向きをもつベクトルが必要になる。

運動場のトラック（1周 400 m）を走って出発点に戻った。移動「距離」は 400 m だが、「変位」の大きさはいくら？

400 m

200 m

0 m

距離は実際に通った道のりですが、変位は「始点→終点」を結ぶ矢印。1周で始点と終点が一致するので変位はゼロ。物理では「距離」と「変位」を別の物理量として扱います。

ベクトルとは

「北に 200 m」「東に 3 km/h」のように，ある量を伝えるとき 大きさだけでなく向きも必要なことがある。このように，大きさと向きの両方で決まる量を ベクトル（vector）という。図では矢印で表し，矢印の長さが大きさ，矢印の方向が向きを示す。

💡

ベクトル（vector）： 大きさと向きをもつ量。矢印で表す。
対して，温度や質量のように大きさだけの量をスカラー（scalar）という。

位置ベクトル（position vector）

平面上に原点 O をとり，x 軸と y 軸を定める。原点 O から物体の位置 P へ向けて引いたベクトルを位置ベクトルといい， $\vec{r}$ で表す。座標を使えば $\vec{r} = (x,\; y)$ と表せる。

💡

位置ベクトル（position vector）：原点 O から物体の位置 P へ向けて引いたベクトル $\vec{r}$。座標で表すと $\vec{r} = (x,\; y)$。

ベクトルの和

2つのベクトルの和は，平行四辺形の法則で求められる。ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の始点をそろえて描き， $\vec{b}$ を $\vec{a}$ の先端へ，$\vec{a}$ を $\vec{b}$ の先端へそれぞれ平行移動すると平行四辺形ができる。このとき，原点から対角へ引いた矢印が和 $\vec{a} + \vec{b}$ になる。

$$ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x,\; a_y + b_y) $$

🧮 計算例：2つの変位ベクトルの合成

条件：船が原点から東に 3.0 km（$\vec{a} = (3.0,\; 0)$ km）進み、次に北に 4.0 km（$\vec{b} = (0,\; 4.0)$ km）進んだ。

合成変位は成分の和で求める。

$$ \vec{a} + \vec{b} = (3.0 + 0,\; 0 + 4.0) = (3.0,\; 4.0) \text{ km} $$

合成変位の大きさは三平方の定理より

$$ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = \sqrt{9.0 + 16.0} = \sqrt{25.0} = 5.0 \text{ km} $$

答え：合成変位の大きさは $5.0$ km。東から北向きへ $\tan^{-1}(4.0/3.0) \fallingdotseq 53°$ の方向。

ベクトルの差

差は $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ と書ける。 $-\vec{b}$ は $\vec{b}$ と逆向き・同じ大きさのベクトルである。

図で確認しよう。$\vec{a}$，$\vec{b}$ を描き，$-\vec{b}$ を原点から明示して描く。 $-\vec{b}$ を平行移動して，その始点を $\vec{b}$ の先端に合わせると， $-\vec{b}$ の先端は原点に来る。そこから $\vec{a}$ へ進むと $\vec{a}$ の先端に着く。だから $\vec{b}$ の先端から $\vec{a}$ の先端へ向かう1本の矢印が $\vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$ になる。

$$ \vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x,\; a_y - b_y) $$

変位（displacement）

物体が点 P（位置ベクトル $\vec{r}_{\mathrm{1}}$）から点 Q（位置ベクトル $\vec{r}_{\mathrm{2}}$）に移動したとき，位置の変化を表すベクトルを変位といい $\Delta\vec{r}$ で表す。

変位は「P の位置から Q の位置へ向かう矢印」になる。つまり P から Q への位置ベクトルの差なので，

$\Delta\vec{r} = $ $\vec{r}_{\mathrm{2}} - \vec{r}_{\mathrm{1}}$

📌 ポイント

P → Q への経路がどう変わっても，始点と終点が同じなら変位 $\Delta\vec{r}$ は同じ。変位は「どこを通ったか」ではなく「どれだけ位置が変わったか」を表す。

🤔 豆知識：ベクトルの引き算で間違えやすいポイント

$\vec{a} - \vec{b}$ は「$\vec{a}$ に $-\vec{b}$（逆向きのベクトル）を足す」ことです。図で描くとき、$\vec{b}$ の終点から $\vec{a}$ の終点に向かう矢印が $\vec{a} - \vec{b}$ です。速度の変化 $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ を図示するとき、$\vec{v}_1$ の先端から $\vec{v}_2$ の先端に向かう矢印を描きましょう。

❓ 変位と移動距離の違いは？

変位：始点から終点への向きと大きさをもつベクトル量。
移動距離：実際に通った経路の長さ（スカラー量）。

例：1周して元の位置に戻った場合，変位 = 0，移動距離 ≠ 0。

📌 次のカードへのつながり

ここで学んだベクトルの和・差・成分分解の考え方は，速度・加速度・力など，あらゆる物理量にそのまま適用できる。次のカードでは，速度ベクトルの合成・分解を扱う。

位置ベクトルの基準（原点）を別の場所に取り直すと、変位ベクトル $\Delta\vec{r}$ はどうなるか？

大きさも向きも変わる

大きさは変わるが向きは同じ

大きさも向きも変わらない

位置ベクトル $\vec{r}_1,\vec{r}_2$ 自体は原点の取り方で変わりますが、その差 $\vec{r}_2-\vec{r}_1$ は原点に依存しません。変位は「基準のとり方によらない」物理量です。

🚢 2. 速度の合成・分解

「川を横切る船は，岸からどう見える？」——速度もベクトルだから，合成・分解ができる。

静水で時速 4 km で漕げるボートが、時速 3 km の川を真横に漕いで渡ろうとした。岸から見た速さは？

時速 1 km

時速 5 km

時速 7 km

漕ぐ向きと流れが直角なので三平方の定理で $\sqrt{4^2+3^2}=5$ km/h。斜めに流されながら進むイメージです。

平面運動の速度

船が曲線的に運動する場合を考えよう。時間 $\Delta t$〔s〕の間に，船が点 P（位置ベクトル $\vec{r}_{\mathrm{1}}$）から点 Q（位置ベクトル $\vec{r}_{\mathrm{2}}$）まで進んだとする。この間の平均の速度 $\bar{\vec{v}}$（「ベクトルブイバー」と読む）〔m/s〕は，変位を $\Delta\vec{r} = \vec{r}_{\mathrm{2}} - \vec{r}_{\mathrm{1}}$ として

$$ \bar{\vec{v}} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} $$

この式で $\Delta t$ を限りなく小さくしていくときの極限の値が，点 P での船の瞬間の速度（instantaneous velocity）である。このとき点 Q は運動の経路にそって限りなく点 P に近づいていくので，瞬間の速度の方向は，運動の経路の点 P における接線方向になる。

❓ 速度と速さの違いは？

速度：大きさと向きをもつベクトル量。
速さ：速度の大きさのみを表すスカラー量。

例：「東向きに 5 m/s」は速度，「5 m/s」は速さ。

速度の合成（合成速度）

船が川を横切って進む場合を考える。水の流れがないとき（これを静水時という）の船の速度を $\vec{v}_{\mathrm{1}}$〔m/s〕，流水の速度を $\vec{v}_{\mathrm{2}}$〔m/s〕とする。

船首を対岸の B へ向けて出発すると，船は流水によって下流側に流されるので， 1秒後には B ではなく下流側の別の点に到達する。川岸で静止している人から見た船の速度（合成速度）$\vec{v}$ は

$\vec{v} = $$\vec{v}_{\mathrm{1}} + \vec{v}_{\mathrm{2}}$

速度 $\vec{v}$ を，速度 $\vec{v}_{\mathrm{1}}$ と速度 $\vec{v}_{\mathrm{2}}$ の 合成速度（resultant velocity）といい，合成速度を求めることを速度の合成という。

また，2つの速度 $\vec{v}_{\mathrm{1}}$（$x$ 成分 $v_{\mathrm{1}x}$，$y$ 成分 $v_{\mathrm{1}y}$）， $\vec{v}_{\mathrm{2}}$（$x$ 成分 $v_{\mathrm{2}x}$，$y$ 成分 $v_{\mathrm{2}y}$）の合成速度 $\vec{v}$ の成分は，各成分の和で求められる。

$$ v_x = v_{\mathrm{1}x}+v_{\mathrm{2}x}, \quad v_y = v_{\mathrm{1}y}+v_{\mathrm{2}y} $$

🧮 計算例：川を渡る船の合成速度

条件：静水時の速さ 4.0 m/s の船が、流速 3.0 m/s の川を真向かいに向けて出発する。

船の速度を $\vec{v}_1 = (0,\; 4.0)$ m/s（対岸方向）、流水の速度を $\vec{v}_2 = (3.0,\; 0)$ m/s（下流方向）とする。

$$ \vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 = (3.0,\; 4.0) \text{ m/s} $$

合成速度の大きさは

$$ |\vec{v}| = \sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = \sqrt{25.0} = 5.0 \text{ m/s} $$

成分で確認：$v_x = v\cos\theta = 5.0 \times \frac{3.0}{5.0} = 3.0$ m/s、$v_y = v\sin\theta = 5.0 \times \frac{4.0}{5.0} = 4.0$ m/s。

答え：合成速度の大きさは 5.0 m/s。対岸方向から下流側に $\tan^{-1}(3.0/4.0) \fallingdotseq 37°$ ずれた方向に進む。

✈️ 豆知識：航空機のナビゲーションと合成速度

航空機は風の影響を受けるため、目的地に向かうには風速を考慮した合成速度の計算が必要。パイロットは「対地速度」（地面に対する速度）＝「対気速度」（空気に対する速度）＋「風速」のベクトル和から、正しい機首方向を計算する。まさに速度の合成の実用例だ。

速度の分解

$\vec{v} = \vec{v}_{\mathrm{1}} + \vec{v}_{\mathrm{2}}$ は， 1つの速度 $\vec{v}$ を2つの速度 $\vec{v}_{\mathrm{1}}$，$\vec{v}_{\mathrm{2}}$ に分解できると考えてもよい。このような場合，速度を分解するといい，分解した2つの速度を分速度（components of the velocity）という。

💡

速度の分解・分速度
1つの速度を2つ以上のベクトルに分けることを 速度の分解という。
分解して得られた各速度を 分速度という。

速度の成分

速度の分解は，分解する2方向のとり方によって何通りでも考えられるが，垂直な2方向（x 軸方向と y 軸方向）に分解するとわかりやすくなることが多い。このとき，分速度 $\vec{v}_x$，$\vec{v}_y$ の大きさに，向きを表す正・負の符号をつけた値 $v_x$，$v_y$ を，速度 $\vec{v}$ の x 成分， y 成分 という。

速度 $\vec{v}$（大きさ $v$）が x 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とすると

$v_x = $ $v\cos\theta$，$v_y = $ $v\sin\theta$，$v = $ $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

$v$〔m/s〕：速度の大きさ（速さ）

$\theta$：速度が x 軸の正の向きとなす角

$v_x$，$v_y$〔m/s〕：速度の x 成分，y 成分

📐 公式の導出：速度の成分表示（三角関数による分解）

速度ベクトル $\vec{v}$ の大きさを $v$，x 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とする。 $\vec{v}$ の先端から x 軸，y 軸にそれぞれ垂線を下ろすと，直角三角形ができる。

ステップ 1：x 成分を求める

直角三角形において，斜辺の長さは $v$，x 軸方向の辺の長さは $|v_x|$ である。三角関数の定義（$\cos\theta = \text{隣辺} / \text{斜辺}$）より

$$ \cos\theta = \frac{|v_x|}{v} \quad \Longrightarrow \quad v_x = v\cos\theta $$

ステップ 2：y 成分を求める

同様に，y 軸方向の辺の長さは $|v_y|$ である。三角関数の定義（$\sin\theta = \text{対辺} / \text{斜辺}$）より

$$ \sin\theta = \frac{|v_y|}{v} \quad \Longrightarrow \quad v_y = v\sin\theta $$

ステップ 3：大きさの復元（三平方の定理）

直角三角形の三平方の定理より

$$ v^2 = v_x^2 + v_y^2 \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$

以上より，速度ベクトルの成分表示 $v_x = v\cos\theta$，$v_y = v\sin\theta$ と，成分から大きさを求める式 $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ が導かれる。

❓ なぜ垂直方向に分解するのが便利なの？

x 方向と y 方向が垂直であれば，一方の成分が他方に影響しない（独立に扱える）ため，計算がシンプルになる。斜めに分解すると，成分同士が混ざり合って扱いにくくなる。

傾き $\theta$ の斜面上の物体の重力 $mg$ を分解。斜面に平行な成分は？

$mg\sin\theta$

$mg\cos\theta$

$mg\tan\theta$

重力を斜面に沿って分解すると、斜面下向きが $mg\sin\theta$、斜面を垂直に押す成分が $mg\cos\theta$。図で三角関数の対辺・隣辺を確認しましょう。

👁️ 3. 相対速度

「動いているものの上から見ると，速度はどう見える？」

時速 60 km の車から、反対向きに時速 60 km で走る対向車を見ると、その速さは？

時速 0 km

時速 60 km

時速 120 km

反対向きは符号が逆なので $(-60)-60=-120$。大きさは 120 km/h。正面衝突の事故が非常に危険なのは、相対速度が合算されるから。

速度 $\vec{v}_{\mathrm{A}}$ で進む自動車 A に乗っている人が，自動車 B を見るとき，B は「どんな速度で動いて見えるか」を考える。
これを，A に対する B の 相対速度 （relative velocity）という。相対速度は1次元のときと同様に，「相手 − 自分」で求めることができる。

$\vec{v}_{\mathrm{AB}} = $$\vec{v}_{\mathrm{B}} - \vec{v}_{\mathrm{A}}$

$\vec{v}_{\mathrm{A}}$：物体 A（観測者）の速度

$\vec{v}_{\mathrm{B}}$：物体 B（相手）の速度

$\vec{v}_{\mathrm{AB}}$：A から見た B の相対速度

車窓の雨を例に体感しよう。速度 $\vec{v}_{\mathrm{A}}$ で走る車の中から雨を見ると，雨の見かけの方向が地面での雨の方向とは異なって見える。この「見かけの速度」が $\vec{v}_{\mathrm{AB}} = \vec{v}_{\mathrm{B}} - \vec{v}_{\mathrm{A}}$ にあたる。

左上：道路を走る車と，地上から見た雨の降り方（$\vec{v}_{\mathrm{B}}$ の方向）。
左下：同じ車の窓から見た雨の方向（$\vec{v}_{\mathrm{AB}}$ の方向）。
右：ベクトル図。●ハンドルをドラッグ して速度を自由に変えられる。

📐 作図のポイント

$\vec{v}_{\mathrm{AB}} = \vec{v}_{\mathrm{B}} + (-\vec{v}_{\mathrm{A}})$ と考えてもよい。
①観測者 A と相手 B の速度ベクトルの始点をそろえる
②Aの速度ベクトルの終点から Bの速度ベクトルの終点へ向けてベクトルをかく

📊 直線上の相対速度（1次元の3パターン）

右向きを正として，直線道路を走る自動車 A（観測者）と B（相手）を考える。
右のベクトル図で $\vec{v}_{\mathrm{B}}$（赤）の y 成分を 0 にすると 1 次元のケースを確認できる。

(a) B が静止〔$v_{\mathrm{B}} = 0$〕： $\vec{v}_{\mathrm{AB}} = -\vec{v}_{\mathrm{A}}$。 A には B が逆向きに動いて見える。
(b) 同じ向きに進む： A より B が速ければ B は前方へ，A の方が速ければ B は後方へ見える。
(c) 逆向きに進む〔$v_{\mathrm{B}} < 0$〕：相対速度の大きさは両速さの和になる（$|\vec{v}_{\mathrm{AB}}| = v_{\mathrm{A}} + |v_{\mathrm{B}}|$）。

✏️ ベクトル図の作図について

「$-\vec{v}_{\mathrm{A}}$ と作図補助線を表示」にチェックを入れると， $-\vec{v}_{\mathrm{A}}$（破線・青）と平行四辺形の法則による補助線が表示される。 $\vec{v}_{\mathrm{AB}}$ が $\vec{v}_{\mathrm{B}}$ の先端から $\vec{v}_{\mathrm{A}}$ の先端へ向かうベクトルに等しいことも確認できる。

速さ $v$ で流れる川を、静水時速さ $u\;(u>v)$ の船でまっすぐ対岸へ渡るには？

上流側に船首を傾ける

真向かいに向ける

下流側に傾ける

流されないために上流側に傾け、船の速度の流れ方向成分で流速を打ち消します。必要な傾き $\theta$ は $\sin\theta=v/u$。

💨 4. 加速度

「速さが変わらなくても，向きが変われば加速度がある」——速度の変化を捉える量を学ぶ。

時速 72 km で走っていた車がブレーキをかけて 4 秒後に停止。加速度の向きは？

進行方向と同じ

進行方向と逆

鉛直下向き

速度が減っているので速度変化は進行方向と逆向き。「減速＝負の加速度」は向きが逆というだけのこと。

加速度とは

自動車や飛行機など運動している物体は，たえず運動の向きや速さ，すなわち速度が変化していることが多い。単位時間当たりの速度の変化を加速度（acceleration）といい，その単位にはメートル毎秒毎秒（記号 m/s²）が用いられる。

1 m/s² は，1 秒間に速度が 1 m/s の割合で変化する場合の加速度の大きさを表す。

平均の加速度

自動車が，時刻 $t_1$〔s〕に点 P を速度 $\vec{v}_1$〔m/s〕で通過し，時刻 $t_2$〔s〕に点 Q を速度 $\vec{v}_2$〔m/s〕で通過したとする。点 P から点 Q までの経過時間を $\Delta t = t_2 - t_1$〔s〕，速度の変化を $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$〔m/s〕とすると，点 P から点 Q までの間の平均の加速度 $\bar{\vec{a}}$〔m/s²〕は次の式のように表される。

$\vec{a} = \frac{\vec{v}_2 - \vec{v}_1}{t_2 - t_1} = $$\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$

$\vec{v}_1$，$\vec{v}_2$：時刻 $t_1$，$t_2$ での速度

$\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$：速度の変化

$\vec{a}$：平均の加速度（$\Delta\vec{v}$ と同じ向き）

この式で，経過時間 $\Delta t$ を限りなく短くしていくと，点 P での瞬間の加速度が得られる。加速度もまた速度と同じく，大きさと向きをもつベクトルである。

📌 ポイント

平面運動では，速さが変わらない場合でも，向きが変われば速度が変化することになる。つまり，加速度運動となる。

下のシミュレーションで，カーブを一定の速さで走る車の速度ベクトルと加速度ベクトルを確認しよう。

左：カーブを走る車の様子。速度 $\vec{v}$ の矢印が経路の接線方向を向く。
右：ベクトル図。$\vec{v}_1$（前の速度），$\vec{v}_2$（今の速度），$\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ を表示。

加速度の求め方（作図）

加速度 $\vec{a}$ を求めるには，速度の変化量 $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ をまず作図する。 2つの速度ベクトル $\vec{v}_1$ と $\vec{v}_2$ の始点をそろえて描いたとき， $\vec{v}_1$ の先端から $\vec{v}_2$ の先端へ向かう矢印が $\Delta\vec{v}$ になる。 $\Delta\vec{v}$ と $\vec{a}$ の向きは等しい。そして $\vec{a} = \Delta\vec{v} / \Delta t$ より， $\Delta\vec{v}$ の矢印を経過時間 $\Delta t$ で割ると加速度 $\vec{a}$ が得られる。

💡

速度の変化 $\Delta\vec{v}$ はベクトルの差で求める。
したがって，相対速度の作図と同じ要領で $\vec{v}_1$ の先端 → $\vec{v}_2$ の先端に矢印を引けばよい。

🧮 計算例：カーブを走る車の加速度

条件：速さ 20 m/s で走る車が、0.50 s の間に進行方向を 30° 変えた。平均の加速度の大きさを求める。

速度の大きさは変わらないので $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = 20$ m/s。速度変化の大きさは弧の近似より

$$ |\Delta\vec{v}| \fallingdotseq v \cdot \Delta\theta = 20 \times \frac{30°}{180°}\pi = 20 \times \frac{\pi}{6} \fallingdotseq 10.5 \text{ m/s} $$

平均の加速度の大きさは

$$ |\vec{a}| = \frac{|\Delta\vec{v}|}{\Delta t} = \frac{10.5}{0.50} \fallingdotseq 21 \text{ m/s}^2 $$

答え：平均の加速度の大きさは約 $21$ m/s²。向きはカーブの内側（速度変化 $\Delta\vec{v}$ の方向）。

📐 発展：微積分で見る平面運動

平面運動では位置ベクトル $\vec{r}(t) = (x(t),\, y(t))$ を成分ごとに微分します。

$$ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \left(\frac{dx}{dt},\, \frac{dy}{dt}\right), \quad \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \left(\frac{d^2x}{dt^2},\, \frac{d^2y}{dt^2}\right) $$

x 成分と y 成分を独立に扱えることが平面運動解析の本質です。放物運動は $x = v_0\cos\theta \cdot t$、$y = v_0\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$ と表せ、t を消去すると放物線の方程式が得られます。

物体を真上に投げ上げた。最高点での加速度は？

0（一瞬止まるから）

下向きに $g$

上向きに $g$

最高点で「速さ」は 0 ですが重力は常に働き続けているので加速度は下向きに $g$。だからこそ次の瞬間に下向きの速度が生じて落下します。

🎯 5. 入試対策

大学入試で頻出のテーマと解法のポイントを整理しよう。

🎯 ① 頻出テーマ：相対速度

Aから見たBの相対速度は $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ です。入試では「川を渡るボート」「風の中を飛ぶ飛行機」の問題が定番です。川の流速 $\vec{v}_w$ の中でボートが対岸に最短時間で到達する向き、最短距離で到達する向きを求めるのが典型パターンです。

🧮 ② 典型問題：川を渡るボート（最短時間 vs 最短距離）

川幅 $d$、流速 $v_w$、ボートの静水時の速さ $v_b$（$v_b \gt v_w$）のとき：

最短時間：船首を対岸（真向かい）に向ける。船の速度のうち対岸方向の成分が $v_b$ そのものになるので，川を渡りきる時間が最も短くなる。渡る時間は

$t = $ $\dfrac{d}{v_b}$

ただし川の流れ（速度 $v_w$）によって下流方向に流されるため，流される距離は $v_w \cdot t = \dfrac{v_w}{v_b}\, d$ となり，着岸地点は出発点の真向かいよりも下流側になる。

最短距離（真っ直ぐ対岸へ）：横ずれゼロで真っ直ぐ対岸に渡るには，合成速度が対岸方向のみを向く必要がある。そこで船首を上流側に角度 $\theta$ だけ傾け，ボートの速度の川に沿う成分（$v_b\sin\theta$）で流速 $v_w$ をちょうど打ち消す。つまり

$\sin\theta = $ $\dfrac{v_w}{v_b}$，$\cos\theta = $ $\dfrac{\sqrt{v_b^2 - v_w^2}}{v_b}$

のとき合成速度が対岸方向を向く。このとき対岸方向の速度成分は $v_r = v_b\cos\theta = \sqrt{v_b^2 - v_w^2}$ となるので，渡る時間は $ t = \frac{d}{\sqrt{v_b^2 - v_w^2}} $ 最短時間より長いが，経路の距離は川幅 $d$ のみで最短になる。

🧮 ③ 典型問題：速度の成分分解

速さ $v$ で仰角 $\theta$ の方向に投げた物体の速度を成分分解する問題は，放物運動・斜面上の運動など幅広い分野の基礎になる。

【解法の手順】

① 座標軸（x 軸・y 軸）を設定する

② 速度ベクトルと x 軸のなす角 $\theta$ を確認する

③ 成分を求める：$v_x = v\cos\theta$，$v_y = v\sin\theta$

④ 逆に成分から大きさと向きを求める：$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$，$\tan\theta = v_y / v_x$

🧮 ④ 典型問題：相対速度の作図

「A から見た B の相対速度」を作図で求める手順は入試で頻出。

【作図の手順】

① $\vec{v}_A$ と $\vec{v}_B$ の始点をそろえて描く

② $\vec{v}_A$ の先端から $\vec{v}_B$ の先端に向けて矢印を引く → これが $\vec{v}_{AB}$

③ 大きさは余弦定理で求める：$|\vec{v}_{AB}|^2 = v_A^2 + v_B^2 - 2v_Av_B\cos\alpha$（$\alpha$ は2つの速度ベクトルのなす角）

④ 向きは正弦定理やベクトル成分で求める

🔑 まとめ

ベクトルとスカラー：大きさと向きをもつ量がベクトル、大きさのみがスカラー。平面内の運動はベクトルとその成分で扱う。
変位：$\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$（始点→終点のベクトル、経路に依らない）。
速度の合成・分解：合成速度 $\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$、成分 $v_x = v\cos\theta,\; v_y = v\sin\theta$。水平・鉛直で独立に扱える。
相対速度：A から見た B の速度は $\vec{v}_{\mathrm{AB}} = \vec{v}_{\mathrm{B}} - \vec{v}_{\mathrm{A}}$。
加速度：$\vec{a} = \Delta\vec{v}/\Delta t$。速さが一定でも向きが変われば加速度はある（円運動など）。