「同じ力を加えても，押す場所が違うと物体の動きが変わる？」——大きさのある物体では，力の作用線が重要になる。
これまでは，大きさを考えない物体（質点）の運動について学んできた。 しかし，物体の大きさを考える場合，同じ大きさ，同じ向きの力を加えても， 力の作用線が異なると物体に対する力の効果が変わる。
一般に，物体に力を加えると変形するが，力を加えても変形しない理想的な物体を考えて， これを剛体（rigid body）という。 ここでは，剛体にはたらく力のつりあいを考えよう。
どのような複雑な剛体の運動も，2つの基本的な運動を組み合わせたものになっている。
質点の場合は「力の大きさと向き」だけで運動が決まったが， 剛体の場合はさらに「力がどこにはたらくか（作用線）」も考える必要がある。
「ドアを開けるとき，取っ手の位置で手ごたえが変わるのはなぜ？」——前のセクションで，剛体の運動が力の作用線によって変わることを学んだ。ここでは，その回転の効果を定量的に表す力のモーメントを導入する。
一様な棒をその中点 O を支点として，鉛直面内で回転できるようにする。 この棒の両側におもりをつり下げる。 おもりの重さとつるす位置をいろいろ変えて調べると， 力の大きさと点 O から作用線までの距離の積がそれぞれ等しいとき，棒は回転しないことがわかる。
一般に，剛体に力 \(\vec{F}\) がはたらいているとき， その大きさを \(F\)〔N〕と，ある点 O からこの力の作用線までの距離 \(l\)〔m〕（これをうでの長さという）の積 \(Fl\) は， 剛体を点 O のまわりに回転させようとする能力の大きさを表している。 この積 \(Fl\) を点 O のまわりの力のモーメント （moment of force / torque）という。
力のモーメントの単位はニュートンメートル（記号 N·m）である。
力のモーメントの符号は，回転の向きが反時計回りのときを正とし， 時計回りのときを負として考える。
剛体に複数の力がはたらいている場合， それらの合力のモーメントはそれぞれの力のモーメントの和で求められる。
力のモーメントが 0 のケース： 力の作用線が回転軸（点 O）を通る場合，\(l = 0\) なので \(M = 0\) となり， 力を加えても剛体は回転しない。
OP 間の距離を \(L\)〔m〕，OP を通る直線と力（大きさ \(F\)〔N〕） の作用線がなす角を \(\theta\) とすると，うでの長さ \(l\)〔m〕は \(L\sin\theta\) と表される。 このとき，点 O のまわりの力のモーメント \(M\)〔N·m〕は
条件：蝶番から 0.80 m 離れたドアノブに、ドアに垂直に 15 N の力を加える。蝶番まわりの力のモーメントを求める。
力はドアに垂直なので、うでの長さ \(l = 0.80\) m。
$$ M = Fl = 15 \times 0.80 = 12 \text{ N·m} $$もし蝶番から 0.20 m の位置で同じ力を加えると \(M = 15 \times 0.20 = 3.0\) N·m。同じ 12 N·m を得るには \(F = 12/0.20 = 60\) N も必要になる。
答え：力のモーメントは \(12\) N·m（反時計回りを正とすれば \(+12\) N·m）。
条件：回転軸 O から 0.50 m の位置 P に、OP と 60° の角度で大きさ 20 N の力を加える。
\(M = FL\sin\theta\) を適用する。
$$ M = 20 \times 0.50 \times \sin 60° = 20 \times 0.50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \times 0.866 \fallingdotseq 8.7 \text{ N·m} $$うでの長さで考えると \(l = L\sin\theta = 0.50 \times 0.866 \fallingdotseq 0.43\) m、\(M = 20 \times 0.43 \fallingdotseq 8.7\) N·m。同じ結果になる。
答え：\(M \fallingdotseq 8.7\) N·m。
考え方①：うでの長さで考える
うでの長さは \(l = L\sin\theta\) なので，
$$ M = Fl = FL\sin\theta $$
考え方②：力を分解して考える
力 \(F\) を OP に垂直な成分 \(F\sin\theta\) と平行な成分 \(F\cos\theta\) に分解する。 OP に平行な成分は点 O のまわりのモーメントに寄与しない（\(l = 0\)）ので，
$$ M = (F\sin\theta) \times L = FL\sin\theta $$
どちらの考え方でも同じ結果が得られる。
「力の作用点を動かしても効果は変わらない？」——剛体ならではの性質を理解しよう。
剛体にはたらく力を作用線上で移動させても， 力のモーメントは変わらない。 また，並進運動させる力としての効果も変わらない。
つまり，剛体にはたらく力の効果は，大きさ・向き・作用線によって決まる。 力の作用点が作用線上のどこにあるかは関係ない。
質点では力は「大きさ」と「向き」の2つで決まったが， 剛体では「大きさ」「向き」「作用線」の3つで力の効果が決まる。 ただし，作用線上であれば力の作用点を自由に移動できる。
力のモーメント \(M = Fl\) において，うでの長さ \(l\) は 「点 O から作用線までの距離」であり， 作用点を作用線上で移動させても作用線自体は変わらないので， \(l\) の値は不変である。 したがって \(M\) も変わらない。
並進運動に対する効果は力の大きさと向きのみで決まるので， 作用点の移動は関係しない。
「剛体がつりあうための条件は？」——力のつりあいに加えて，モーメントのつりあいも必要になる。
軽い棒におもりをつり下げ，棒の両端をばねはかりでつるして水平に支える。 このとき，両端にはたらく力 \(F_{\mathrm{1}}\)，\(F_{\mathrm{2}}\)〔N〕と， おもりをつり下げた位置の両端からの距離 \(l_{\mathrm{1}}\)，\(l_{\mathrm{2}}\)〔cm〕を測定する。
おもりの位置を変えて調べると，次のことがわかる。
質点のつりあいでは「力のベクトルの和 = 0」だけで十分だった。 しかし剛体では，力の和が 0 でも回転することがある（例：偶力）。 そこで剛体のつりあいには，並進運動し始めない条件に加えて， 回転し始めない条件（「力のモーメントの和 = 0」）が両方とも必要になる。
剛体のつりあいの条件が成立しているとき，「任意の点」をどこにとっても 力のモーメントの和は 0 となる。 基準とする点は自由に選んでよいが，大きさがわからない力がはたらく点や， 複数の力がはたらく点に定めると計算が楽になる。
3つの力 \(\vec{F}_{\mathrm{1}}\)，\(\vec{F}_{\mathrm{2}}\)，\(\vec{F}_{\mathrm{3}}\) が剛体のつりあいの条件を満たしているとする。 点 O のまわりの力のモーメントについて
$$ F_{\mathrm{1}} l_{\mathrm{1}} - F_{\mathrm{2}} l_{\mathrm{2}} + F_{\mathrm{3}} l_{\mathrm{3}} = 0 $$
ここで，点 O から距離 \(x\) だけ離れた点 P のまわりのモーメントの和 \(M_{\mathrm{P}}\) は
$$ M_{\mathrm{P}} = (F_{\mathrm{1}} l_{\mathrm{1}} - F_{\mathrm{2}} l_{\mathrm{2}} + F_{\mathrm{3}} l_{\mathrm{3}}) - (F_{\mathrm{1}} - F_{\mathrm{2}} + F_{\mathrm{3}}) x $$
力のベクトルの和が 0 なので \(F_{\mathrm{1}} - F_{\mathrm{2}} + F_{\mathrm{3}} = 0\)， またモーメントの和も 0 なので，\(M_{\mathrm{P}} = 0\) が常に成り立つ。 つまり，点 P のとり方（\(x\) の値）によらず，モーメントの和は 0 である。
条件：長さ 1.0 m の軽い棒の両端 A, B をばねはかりで水平に支え、A から 0.30 m の位置に質量 2.0 kg のおもりを吊るす。\(g = 9.8\) m/s² とする。
力のつりあい：\(F_A + F_B = mg = 2.0 \times 9.8 = 19.6\) N
A まわりのモーメントのつりあい（反時計回りを正）：
$$ F_B \times 1.0 = mg \times 0.30 = 19.6 \times 0.30 = 5.88 \text{ N·m} $$両辺を 1.0 で割ると \(F_B\) が求まり、
$$ F_B = 5.88 \text{ N} \fallingdotseq 5.9 \text{ N} $$力のつりあいの式に代入すると \(F_A\) が得られる。
$$ F_A = 19.6 - 5.9 = 13.7 \text{ N} \fallingdotseq 14 \text{ N} $$答え：A 側のばねはかりは約 \(14\) N、B 側は約 \(5.9\) N。おもりに近い A の方が大きな力を受ける。
計算を楽にする回転軸の選び方：モーメントのつりあいの式を立てるとき、回転軸はどこに選んでもよいが、「未知の力の作用点」を軸に選ぶとその力のモーメントが 0 になり、未知数が 1 つ減って計算が楽になる。壁に立てかけた棒の問題なら、壁との接点を軸にすると壁からの抗力が消える。
建築への応用：建物の梁（はり）や橋の設計は剛体のつりあいそのもの。支点の反力を求め、各部にかかるモーメントを計算して強度を確保する。東京スカイツリーは重心を低く保ちながら柔軟に揺れる「心柱制振」を採用し、地震時の転倒を防いでいる。
大学入試で頻出のテーマと解法のポイントを整理しよう。
剛体のつりあい条件は①合力＝0 と②任意の点まわりのモーメントの和＝0 の2つです。入試では「壁に立てかけた棒」「ヒンジで支えられた棒」の問題が定番で、回転軸の取り方で計算の簡単さが変わります。未知の力の作用点を回転軸に選ぶと、その力のモーメントが 0 になり計算が楽になります。
長さ \(L\)、質量 \(M\) の一様な棒を滑らかな壁に角度 \(\theta\) で立てかける。床は粗い（摩擦あり）。
つりあい条件：
水平方向：\(N_{\text{壁}} = f\)（床の摩擦力）
鉛直方向：\(N_{\text{床}} = Mg\)
【立式】床の接点まわりのモーメントのつりあいを考える。壁からの抗力 \(N_{\text{壁}}\) のうでの長さは \(L\sin\theta\)、重力 \(Mg\) のうでの長さは \(\frac{L}{2}\cos\theta\) なので：
$ N_{\text{壁}} \cdot L\sin\theta = Mg \cdot \frac{L}{2}\cos\theta $
→ \(N_{\text{壁}} = \dfrac{Mg}{2\tan\theta}\)。滑らない条件は \(f = N_{\text{壁}} \leq \mu N_{\text{床}} = \mu Mg\) → \(\tan\theta \geq \dfrac{1}{2\mu}\)。
長さ \(L\) の軽い棒の両端 A, B をばねはかりで支え、A から距離 \(d\) の位置に質量 \(M\) のおもりを吊るす。
力のつりあい：\(F_A + F_B = Mg\)
A まわりのモーメント：\(F_B \cdot L = Mg \cdot d\) → \(F_B = Mgd/L\)
\(F_A = Mg - F_B = Mg(L-d)/L\)
ポイント：おもりに近い方のばねはかりの値が大きくなる。