「剛体にはたらく2力を，1つの力にまとめられる？」——作用線の交点を利用した合力の求め方を学ぼう。
質点にはたらく複数の力の合力を考えたように，1つの剛体に複数の力がはたらく場合も， 並進運動や回転運動に対する効果が同じとなるような1つの力として， 合力を考えることができる。
\(\vec{F}_{\mathrm{1}}\)，\(\vec{F}_{\mathrm{2}}\) が平行でない場合， これら2力をそれぞれの作用線の交点まで移動して， 平行四辺形の法則によって合成すると，合力 \(\vec{F}\) が得られる。
剛体にはたらく力は作用線上で自由に移動できるため， 2力の作用線が交わる点まで各力を滑らせることで， 通常のベクトルの合成と同じ方法で合力を求められる。
平行でない2力の合力は，作用線の交点に2力を移動させて， 平行四辺形の法則で合成する。 合力の作用線は，この交点を通る。
建設現場のクレーンでは、ワイヤーの張力と重力という「平行でない力」の合力を考える必要があります。2本のワイヤーで吊る場合、ワイヤーの角度が広がるほど各ワイヤーにかかる張力は大きくなります。角度が120度を超えると各ワイヤーの張力が荷重より大きくなり危険です。
「2力が平行だと作用線が交わらない？」——Card 1では作用線が交わる場合を扱った。ここでは，作用線が平行な場合を考えよう。日常のシーソーや天秤もこのケースである。
\(\vec{F}_{\mathrm{1}}\)，\(\vec{F}_{\mathrm{2}}\) が平行で同じ向きの場合の合力 \(\vec{F}\) を考える。
合力 \(\vec{F}\) の大きさは \(F_{\mathrm{1}} + F_{\mathrm{2}}\)， 向きは \(\vec{F}_{\mathrm{1}}\)，\(\vec{F}_{\mathrm{2}}\) と同じ向きで，同一作用線上にある。 また，合力 \(\vec{F}\) の作用線は，線分 AB を力の大きさの逆比 \(F_{\mathrm{2}} : F_{\mathrm{1}}\) に内分する点 O を通る。
条件：棒の点 A に下向き 60 N、点 B（A から 0.80 m）に下向き 40 N の平行な力がはたらいている。合力の大きさと位置を求める。
同じ向きの平行な力なので、合力の大きさは
$$ F = F_1 + F_2 = 60 + 40 = 100 \text{ N} $$合力の作用線は AB を \(F_2 : F_1 = 40 : 60 = 2 : 3\) に内分する点 O を通る。A から O までの距離 \(l_1\) は
$$ l_1 = \frac{2}{2+3} \times 0.80 = \frac{2}{5} \times 0.80 = 0.32 \text{ m} $$検算：A まわりのモーメント \(100 \times 0.32 = 32\) N·m、B の力のモーメント \(40 \times 0.80 = 32\) N·m で一致。
答え：合力は下向き \(100\) N、A から \(0.32\) m（大きい力の方に寄る）。
点 O のまわりの力のモーメントの和について
$$ F_{\mathrm{1}} \cdot l_{\mathrm{1}} - F_{\mathrm{2}} \cdot l_{\mathrm{2}} = 0 $$
であるから，点 O は \(l_{\mathrm{1}} : l_{\mathrm{2}} = F_{\mathrm{2}} : F_{\mathrm{1}}\) となる位置にある。
\(\vec{F}_{\mathrm{1}}\)，\(\vec{F}_{\mathrm{2}}\) が平行で逆向きの場合の合力 \(\vec{F}\) を考える。 ただし，\(F_{\mathrm{1}} \gt F_{\mathrm{2}}\) とする。
合力 \(\vec{F}\) の大きさは \(F_{\mathrm{1}} - F_{\mathrm{2}}\)， 向きは大きい方（\(\vec{F}_{\mathrm{1}}\)）と同じ向きで，同一作用線上にある。 また，合力 \(\vec{F}\) の作用線は，線分 AB を力の大きさの逆比 \(F_{\mathrm{2}} : F_{\mathrm{1}}\) に外分する点 O を通る。
平行な2力の合力の作用点は，力の大きさの逆比で決まる。 同じ向きなら内分，逆向きなら外分する位置を通る。
「大きさが等しく，平行で逆向きの2力は合成できない？」——偶力という特別な力の組み合わせを学ぼう。
大きさは等しいが，平行で逆向きの2力 \(\vec{F}\)，\(-\vec{F}\) が剛体に加わっている場合には， 線分 AB を \(F : F = 1 : 1\) に外分する点は存在しない。 したがって，この2力を1つの力に合成することはできない。
このような場合，この2力を1対のものと考えて偶力（couple）という。 偶力は1つの力に合成できない。
偶力の作用線間の距離を \(l\) とすると， どの点のまわりの力のモーメントを考えても，その和は
偶力は，剛体を回転させるはたらきをもつが， 剛体を移動（並進運動）させるはたらきはもたない。
条件：蛇口のハンドル（直径 0.060 m）の両端に、互いに逆向きで大きさ 25 N の力を加える。
2力の作用線間の距離は \(l = 0.060\) m。偶力のモーメントは
$$ M = Fl = 25 \times 0.060 = 1.5 \text{ N·m} $$基準点をどこにとっても同じ値。例えば左端から \(x = 0.020\) m の点まわりで確認すると
$$ M = 25 \times 0.020 + 25 \times (0.060 - 0.020) = 0.50 + 1.0 = 1.5 \text{ N·m} $$答え：偶力のモーメントは \(1.5\) N·m（基準点によらず一定）。
偶力の作用線間の距離を \(l\)，任意の点 C から一方の作用線までの距離を \(x\) とする。 点 C のまわりの力のモーメントの和は
$$ Fx + F(l - x) = Fl $$
\(x\)（C の位置）によらず，モーメントの和は常に \(Fl\) となる。
偶力のモーメント \(M = Fl\) は，基準点をどこにとっても同じ値になる。 偶力は回転の効果のみをもち，並進運動の効果はない。
「物体をどこで支えればつりあう？」——これまで学んだ平行な力の合力の考え方を使えば，物体の各部分にはたらく重力を1つの力にまとめることができる。その合力の作用点が重心である。
物体を多数の小さな部分に分けて考えるとき，各部分には鉛直下向きの重力が作用する。 これらの力の総和が物体にはたらく重力となり， この合力の作用点を重心（center of gravity）という。
物体の各部分に作用する重力は，物体全体を代表する一点， すなわち重心に作用するものとして扱うことができる。 物体の姿勢を変えても，重心は常に物体の同じ点を通る。
軽い棒で結ばれた小物体 A，B の重心を考える。 物体 A，B にそれぞれ大きさが \(m_{\mathrm{1}} g\)，\(m_{\mathrm{2}} g\) の 平行な重力がはたらく（\(g\) は重力加速度の大きさ）。
この2力の合力の作用点は，線分 AB を力の大きさの逆比 \(m_{\mathrm{2}} : m_{\mathrm{1}}\) に内分する点 G であり， これが重心である。座標を用いると，
1次元（直線上）の場合は \(l_{\mathrm{1}} : l_{\mathrm{2}} = m_{\mathrm{2}} : m_{\mathrm{1}}\) に内分。 xy 平面上では，x 座標・y 座標それぞれに同じ式を適用すればよい。
条件：質量 3.0 kg の物体 A が座標 (1.0, 2.0) m に、質量 1.0 kg の物体 B が座標 (5.0, 6.0) m にある。
x 方向の重心座標は
$$ x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{3.0 \times 1.0 + 1.0 \times 5.0}{3.0 + 1.0} = \frac{3.0 + 5.0}{4.0} = 2.0 \text{ m} $$y 方向の重心座標は
$$ y_G = \frac{3.0 \times 2.0 + 1.0 \times 6.0}{4.0} = \frac{6.0 + 6.0}{4.0} = 3.0 \text{ m} $$答え：重心は \((2.0,\; 3.0)\) m。質量の大きい A に寄っている。
3つ以上の小物体や，一般の剛体の重心の座標を求めるときは， 2物体の重心を求める操作をくり返せばよい。
「実際に重心はどうやって求める？」——実験による求め方と，一様な物体の重心・重心の運動について学ぼう。
糸で物体を吊るすと，糸が引く力と重力がつりあうため， 重心は糸の延長線上にある。 2つの異なる点から物体を吊るし， それぞれの糸の延長線が交わる点が重心である。
一様な物体（密度が一定）の重心は，その物体の幾何学的な中心（図心）と一致する。
大きさのある物体の運動は回転を伴い，一見複雑に見えることがある。 しかし，物体の重心の動きに注目すると， 三角定規や木槌が回転しながら飛ぶ場合でも， 重心は放物線を描いて運動していることがわかる。
重心は「質量の重みづけ平均」の位置にある。 質量が大きい物体の方が重心に近い。 xy 座標は x，y それぞれについて同じ式で計算する。
重心は「各部分にはたらく重力の合力の作用点」です。一様な物体では幾何学的な中心と一致しますが、密度が不均一な物体では重い部分に偏ります。やじろべえが倒れないのは、重心が支点の真下に来るように設計されているからです。
「物体はいつ転倒する？」——重力の作用線と支点の位置関係が，安定性を決める。
粗い水平面上に置かれた直方体の上端を指で水平に押すとき， 押す力が大きくなると物体は傾き始める。 垂直抗力と摩擦力の合力（抗力）の作用点が， 物体の下面の角（支点）に達したときが傾き始める境界である。 それ以上押すと，物体は支点のまわりに回転して傾く。
なお，傾く前に押す力が最大摩擦力を超えた場合は， 物体は傾かずに水平面上をすべり始める。
少し傾けた直方体が，もとの状態に戻るか，転倒するかは， 重力の作用線が回転の支点をこえるかどうかで決まる。
重力の作用線が，回転軸（支点）をこえると転倒する。 やじろべえは重心が支点より下にあるため安定し， 重心が支点より上にあると不安定になる。
ピサの斜塔は約5.5度傾いていますが、重力の作用線が底面（支持面）の端を越えていないため転倒しません。1990年から2001年にかけて行われた修復工事では、北側の地盤から土を除去して傾斜を約0.5度戻しました。現在の傾斜角では、重力の作用線は底面の中心から約2.3 m外側にありますが、まだ底面内に収まっています。
連続的な質量分布をもつ物体の重心は積分で求めます。
$$ x_G = \frac{\int x\,dm}{\int dm} = \frac{\int x\,\rho(x)\,dV}{\int \rho(x)\,dV} $$
一様な密度の三角形板なら重心は「各頂点から対辺の中点を結ぶ線（中線）の交点」に位置し、これは各頂点座標の平均 \(\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\) で求められます。
大学入試で頻出のテーマと解法のポイントを整理しよう。
偶力（大きさが等しく向きが反対の2力）は物体を回転させますが、並進させません。入試では「直方体が斜面上で滑るか倒れるか」を判別する問題が出ます。重心からの垂線が底面（支持面）の外に出ると転倒します。
幅 \(a\)、高さ \(b\) の直方体が角度 \(\theta\) の粗い斜面（静止摩擦係数 \(\mu\)）に置かれている。
滑り出す条件：\(\tan\theta \gt \mu\)
転倒する条件：重力の作用線が底面の角を越える → \(\tan\theta \gt a/b\)
\(\mu \lt a/b\) なら滑りが先に起きる（転倒前に滑る）。\(\mu \gt a/b\) なら転倒が先（滑る前に倒れる）。
質量 \(m_1\)（位置 \(x_1\)）と \(m_2\)（位置 \(x_2\)）の物体の重心を求める。
【立式】重心 \(x_G\) は重力の合力の作用点であり、重心まわりのモーメントのつりあいから：
$ m_1 g(x_G - x_1) = m_2 g(x_2 - x_G) $
両辺の \(g\) を約分して展開すると：
$ m_1 x_G - m_1 x_1 = m_2 x_2 - m_2 x_G $
\(x_G\) の項を左辺にまとめると：
$ (m_1 + m_2)x_G = m_1 x_1 + m_2 x_2 $
したがって：
$ x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} $
これは「質量による重みつき平均」であり、3個以上の物体にも自然に拡張できる。