物理 > 第1編 力と運動 > 第3章 運動量の保存
「衝突で個々の運動量は変化するが、その和は一定に保たれる」——これが運動量保存則です。
速度 \(v_1\) の物体Aが速度 \(v_2\) の物体Bに衝突し、それぞれ \(v_1'\), \(v_2'\) になったとします。作用反作用の法則から、AとBの運動量変化の和はゼロになります。
弾性衝突では運動エネルギーも保存されますが、完全非弾性衝突では一部が熱や音に変わり減少します。切り替えて違いを確認しましょう。
運動量保存則は、衝突だけでなく、分裂（爆発）やくっつく場合にも成り立つ。外力がはたらいていても、その力積が衝撃力に比べて無視できれば、衝突の直前・直後で成立する。
物体A（質量 \(m_1\)）と物体B（質量 \(m_2\)）が衝突するとき、AがBから受ける力を \(\vec{F}\)、BがAから受ける力を \(-\vec{F}\)（作用反作用）とする。
衝突時間を \(\Delta t\) とすると、各物体の運動量変化は：
$$ m_1\vec{v}_1' - m_1\vec{v}_1 = \vec{F}\Delta t $$
一方、物体Bは作用反作用の法則により逆向きの力積を受けるので：
$$ m_2\vec{v}_2' - m_2\vec{v}_2 = -\vec{F}\Delta t $$
両辺を足すと右辺が0になるので：
$$ m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2' = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 $$
つまり、作用反作用の法則により、系全体の運動量の和は衝突前後で変わらない。
運動量保存則が成り立たない場合もある。系に外力がはたらくとき（例：摩擦のある面上での衝突で接触時間が長い場合や，衝突中に重力の効果が無視できないほどゆっくりした衝突）は，外力の力積が無視できず運動量は保存されない。「外力の力積が衝撃力に比べて十分小さいか」を常に確認しよう。
条件：質量 2.0 kg の物体 A が 6.0 m/s で右向きに進み、質量 3.0 kg の静止した物体 B に正面衝突してくっついた。
運動量保存則より（右向きを正）
$$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)V $$数値を代入して整理すると、
$$ 2.0 \times 6.0 + 3.0 \times 0 = (2.0 + 3.0) \times V $$両辺を計算して \(V\) を求めると、
$$ 12 = 5.0 \times V \quad \therefore\ V = 2.4 \text{ m/s} $$失われた運動エネルギーは
$$ \Delta K = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 6.0^2 - \frac{1}{2} \times 5.0 \times 2.4^2 = 36 - 14.4 = 21.6 \text{ J} $$答え：合体後の速度は右向きに \(2.4\) m/s。運動エネルギーの \(21.6\) J（60%）が熱や音に変換された。
運動量保存則は「系全体に外力がはたらかない」（または外力の和が0の）ときに成り立ちます。重力がはたらいている場合でも、衝突の瞬間は衝撃力が重力より圧倒的に大きいため、近似的に運動量保存が成立します。ただし、衝突後に時間が経つと重力の効果が現れます。
打ち上げ花火：爆発前の運動量＝爆発後の全破片の運動量の合計。花火が球形に広がるのは各方向の破片の運動量がバランスよく配分されるよう火薬が詰められているから。最高点（速度 0）で爆発すると合計運動量が 0 なので完全な球形になる。
ロケット：燃焼ガスを後方に噴射して加速。ガスの運動量（後方）とロケットの運動量（前方）の和が保存されるので、ガスを噴射するほどロケットは加速する。宇宙空間でも地面を蹴らずに加速できるのはこの原理のおかげだ。
前述の運動量保存則は，運動が一直線上に限られません。2次元の衝突でも，ベクトルの形で同じ法則が成立します。成分ごとに運動量が保存されることを理解しよう。
2物体が斜めに衝突する場合、運動量保存則はベクトルの式で表され、成分ごとに独立に成り立ちます。
2球が斜めに衝突する様子を観察します。緑の矢印（全運動量）が衝突前後で変化しないことを確認しましょう。
ビリヤードで手球が的球に斜めに当たると、2球はほぼ直角に分かれます。これは同じ質量の弾性衝突（e≒1）で運動量とエネルギーが保存される結果です。プロ選手は無意識にこの物理法則を活用しています。
物体AとBが内力のみで相互作用する系を考えます。AがBから受ける力を \(\vec{F}\)、BがAから受ける力を \(-\vec{F}\)（作用反作用）とすると：
$$ \frac{d\vec{p}_A}{dt} = \vec{F}, \quad \frac{d\vec{p}_B}{dt} = -\vec{F} $$
両辺を足すと：
$$ \frac{d}{dt}(\vec{p}_A + \vec{p}_B) = \vec{0} $$
よって系全体の運動量 \(\vec{p}_A + \vec{p}_B\) は時間変化しません。外力が 0 であれば（または外力の和が 0 であれば）、何体の系でも運動量は保存されます。
大学入試で頻出のテーマと解法のポイントを整理しよう。
質量 \(m_1\)（速度 \(v_1\)）と \(m_2\)（速度 \(v_2\)）の正面衝突。反発係数 \(e\)。
【立式】運動量保存則より：
$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \quad \cdots (1) $
反発係数の定義より：
$ e = -\frac{v_1' - v_2'}{v_1 - v_2} \quad \cdots (2) $
(2) を変形すると \(v_1' - v_2' = -e(v_1 - v_2)\)。(1) と連立して \(v_1', v_2'\) について解くと：
$ v_1' = \frac{(m_1 - em_2)v_1 + (1+e)m_2 v_2}{m_1 + m_2} $
同様に \(v_2'\) についても解くと、物体Bの衝突後の速度は次のようになる。
$ v_2' = \frac{(1+e)m_1 v_1 + (m_2 - em_1)v_2}{m_1 + m_2} $
\(e = 0\) のとき衝突後は一体（\(v_1' = v_2' = V\)）。運動エネルギーの損失が最大になる。
【立式】運動量保存 \(m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)V\) より、合体後の速度は：
$ V = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} $
失われる運動エネルギーは、衝突前後の差を計算して整理すると：
$ \Delta K = \frac{1}{2}\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}(v_1 - v_2)^2 $
この式は「換算質量 \(\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\)」と「相対速度 \(v_1 - v_2\)」で表される。
質量 \(m_1\) が速度 \(\vec{v}_1\) で静止物体 \(m_2\) に衝突するとき、x成分とy成分でそれぞれ運動量保存の式を立てます。
【立式】衝突後、\(m_1\) が角度 \(\alpha\)、\(m_2\) が角度 \(\beta\) の方向に散乱するとすると：
x成分の運動量保存：
$ m_1 v_1 = m_1 v_1'\cos\alpha + m_2 v_2'\cos\beta $
一方，y成分では衝突前の運動量が0なので：
$ 0 = m_1 v_1'\sin\alpha - m_2 v_2'\sin\beta $
弾性衝突（\(e=1\)）の場合はエネルギー保存も加えて3式。特に等質量の弾性衝突では \(\alpha + \beta = 90°\)（散乱角の和が直角）。