② 慣性力

🛗 2. 慣性力を使った運動方程式

Card 1 で導いた慣性力を運動方程式に組み込むと、エレベーターで感じる「体の重さの変化」まで式で言い当てられます。

立式の2つの立場（一般則）

慣性力は電車に限らず、加速するあらゆる系で同じように使えます。加速度 \(\vec{a}\) で動く観測者が、質量 \(m\) の物体（その観測者から見た加速度を \(\vec{a}'\) とする）を見るとき、実在の力の合力 \(\vec{F}\) に慣性力 \(-m\vec{a}\) を加えれば、非慣性系でもそのまま運動方程式を立てられます。

物体が車内で静止して見えるとき \(\vec{a}' = 0\) なので、右辺は「つりあいの式」になります。これがエレベーターの見かけの重さの計算に直結します。

エレベーターの見かけの重さ

エレベーターの天井のばねはかりに、質量 \(m\) の物体をつるします。車内では物体は静止して見えるので、物体には重力・ばねの弾性力・慣性力の3つの力がはたらいてつりあっています。

鉛直上向きを正とし、エレベーターの上向きの加速度の大きさを \(a\) とします。慣性力は下向きに大きさ \(ma\)。ばねはかりの示す値を \(N\)（上向き）とすると、つりあいの式は

$$ N - mg - ma = 0 $$

これを \(N\) について解くと、上昇加速・下降減速のときの見かけの重さが得られます。

下降加速・上昇減速のときは慣性力が上向きになるので、同じ立式から \(N = m(g - a)\) となります。

🎡 3. 遠心力（回転系の慣性力）

カーブを曲がる車やメリーゴーラウンドで体が外へ振られる——回転する乗り物の中で現れる慣性力が遠心力です（Card 1 の直線加速版を円運動へ広げます）。

円運動を2つの立場で見る

円運動のページで学んだ通り、円運動する物体の中心向き加速度は \(a = \dfrac{v^2}{r} = r\omega^2\) でした。これを「地上から見る立場」と「回転する物体と一緒に回る立場」の2つで見てみましょう。

遠心力はなぜ \(\dfrac{mv^2}{r} = mr\omega^2\) か（座標図で導く）

中心 O へ向かう向きを正とします。地上（慣性系）から見ると、物体は中心向きに加速しているので、糸の張力などが担う向心力 \(F\) は運動方程式より次のようになります。

$$ F = \frac{mv^2}{r} = mr\omega^2 $$

一方、物体と一緒に回転する立場（非慣性系）から見ると、物体は静止して見えます。静止＝つりあいであるためには、向心力 \(F\) を打ち消す外向き（負）の力 \(f\) が必要です。つりあいの式 \(F + (-f) = 0\) より \(f = F\)、すなわち

$$ f = \frac{mv^2}{r} = mr\omega^2 $$

この外向きの見かけの力が遠心力です。

見かけの力の全体像

ここまでに登場した「見かけの力（慣性力）」を、いつ・どちら向きに・どれだけの大きさで現れるかで整理します。

🎯 4. 入試対策

Card 1〜3 で立てた式を、入試で頻出の3つのタイプで使い分けます。

🎯 入試の前に：慣性系と非慣性系の使い分け

回転・加速する物体の問題は、「地上の運動方程式」と「物体と一緒に動く立場のつりあい」のどちらでも解けます。慣性力・遠心力を書き加えれば、静止＝つりあいの式にできて計算が楽になることが多いです。

🧮 ① 加速する電車内の振り子と実効重力

加速する電車内でつるした振り子は、鉛直から傾いた位置で静止します。非慣性系のつりあいでこの傾きを求めましょう。下の図でスライダーを動かすと、加速度に応じて糸の傾きと力の合成が変わります。

糸の張力を \(S\)、鉛直からの傾きを \(\theta\) とします。

【立式】車内（非慣性系）では、重力 \(mg\)（下向き）・慣性力 \(ma\)（加速と逆向きの水平）・張力 \(S\) がつりあいます。水平・鉛直に分けると

$$ S\sin\theta = ma, \qquad S\cos\theta = mg $$

【計算】辺々を割ると \(S\) が消えて傾きが、2式を合成すると張力が求まります。

$$ \tan\theta = \frac{a}{g}, \qquad S = m\sqrt{g^2 + a^2} $$

このとき振り子から見た「みかけの重力加速度」は \(g' = \sqrt{g^2 + a^2}\) です。

【数値例】\(a = 9.8\) m/s²、\(m = 2.0\) kg のとき

$$ \tan\theta = \frac{9.8}{9.8} = 1 \ \Rightarrow\ \theta = 45^\circ, \qquad g' = 9.8\sqrt{2} \fallingdotseq 13.9, \qquad S = 2.0 \times 13.9 \fallingdotseq 28 \text{ N} $$

【結果】糸の傾きから加速度が読めます（\(a = g\tan\theta\)）。傾きを測るだけで加速度が分かるのがこの型のうまみです。

🧮 ② 円錐振り子（加速系／回転系の二刀流）

糸につけたおもりが水平な円を描いて回る円錐振り子も、回転系のつりあいで攻めると見通しよく解けます。下の図でおもりが円を回るようすと、力のつりあいを確かめましょう。

糸の長さを \(l\)、糸と鉛直のなす角を \(\theta\)、回転半径を \(r = l\sin\theta\)、速さを \(v = r\omega\)、張力を \(S\) とします。

【立式】回転系で見るとおもりは静止し、中心向きに遠心力とつりあいます。水平（中心向き）と鉛直に分けると

$$ S\sin\theta = \frac{mv^2}{r} = mr\omega^2, \qquad S\cos\theta = mg $$

【計算】辺々を割ると

$$ \tan\theta = \frac{r\omega^2}{g} = \frac{v^2}{rg}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{l\cos\theta}{g}} $$

【数値例】\(l = 0.50\) m、\(\theta = 60^\circ\) のとき（\(\cos 60^\circ = 0.5\)）

$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{0.50 \times 0.5}{9.8}} \fallingdotseq 1.0 \text{ s} $$

【結果】遠心力とつりあいの視点をとれば、複雑に見える円運動も静力学の問題に落とし込めます。

🧮 ③ 回転する液体の水面の傾き

容器ごと液体を回転させると、水面は中心がくぼみ縁が盛り上がった曲面になります。水面のどの点でも、回転系での実効重力に水面が垂直になることから形が決まります。下の図で回転の速さを変えて水面の変化を見ましょう。

中心軸からの距離を \(x\)、水面と水平のなす角を \(\alpha\) とします。

【立式】水面上の質量 \(m\) の微小要素には、重力 \(mg\)（下向き）と遠心力 \(mx\omega^2\)（外向き）がはたらきます。水面はこの合力（実効重力）に垂直なので

$$ \tan\alpha = \frac{\omega^2 x}{g} $$

【計算】各点の傾きを中心から積み上げると、水面の高さは

$$ y = \frac{\omega^2 x^2}{2g} $$

で表され、これは回転放物面になります。

【数値例】\(\omega = 4.0\) rad/s、\(x = 0.10\) m、\(g = 9.8\) m/s² のとき

$$ y = \frac{16 \times 0.01}{19.6} \fallingdotseq 8.2 \times 10^{-3} \text{ m}\ (\text{約 } 8 \text{ mm}) $$

【結果】回転が速いほど（\(\omega\) が大きいほど）水面は縁で高く盛り上がります。

🔑 まとめ

• 慣性力：加速する系で現れる見かけの力 \(f = -ma\)。加速度と逆向き、大きさ \(ma\)、作用・反作用の相手がいない。
• 非慣性系の立式：実在の力に慣性力を加えれば、静止＝つりあいの式で解ける（\(m\vec{a}' = \vec{F} + (-m\vec{a})\)）。
• 見かけの重さ：\(N = m(g \pm a)\)。上昇加速で重く、自由落下で無重量（\(N = 0\)）。
• 遠心力：回転系の慣性力 \(f = \dfrac{mv^2}{r} = mr\omega^2\)、向きは外向き。