物理 > 第1編 力と運動 > 第4章 円運動と万有引力
「ばねにつけたおもりの往復運動」——変位に比例した復元力による振動が単振動です。
ばねにつけた物体を引いて離すと、物体は振動します。物体に変位に比例し、変位と逆向きの力（復元力）がはたらくとき、この振動を単振動といいます。
左のばね振り子と右の単振り子を並べて比較できます。赤い矢印が復元力 F です。k や l を変えて周期の変化を確認しましょう。
| ばね振り子 | 単振り子 | |
|---|---|---|
| 復元力 | \(F = -kx\) | \(F \ fallingdotseq -\dfrac{mg}{l}x\)（微小振幅） |
| 角振動数 ω | \(\sqrt{k/m}\) | \(\sqrt{g/l}\) |
| 周期 T | \(2\pi\sqrt{m/k}\) | \(2\pi\sqrt{l/g}\) |
| 周期が依存する量 | 質量 \(m\)、ばね定数 \(k\) | 糸の長さ \(l\)、重力加速度 \(g\) |
| 質量への依存 | あり（\(m\) が大きいと周期が長い） | なし（質量によらない） |
| 成立条件 | ばねの弾性限界内 | 振れ角が十分小さいとき |
単振動の周期は振幅によらず一定（等時性）。ばね振り子なら \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\)、単振り子なら \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) で、どちらも振幅 \(A\) を含まない。大きく振っても小さく振っても1往復の時間は同じである。
条件：ばね定数 \(k = 50\) N/m のばねに質量 \(m = 0.20\) kg のおもりをつけて振動させる。
角振動数は
$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0.20}} = \sqrt{250} \fallingdotseq 15.8 \text{ rad/s} $$周期は
$$ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{15.8} \fallingdotseq 0.40 \text{ s} $$検算：\(T = 2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{0.20/50} = 2\pi\sqrt{0.004} = 2\pi \times 0.0632 \fallingdotseq 0.40\) s。
答え：周期 \(T \fallingdotseq 0.40\) s（1秒間に約2.5往復）。
条件：糸の長さ \(l = 1.0\) m の単振り子。\(g = 9.8\) m/s²。
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1.0}{9.8}} = 2\pi\sqrt{0.102} = 2\pi \times 0.319 \fallingdotseq 2.0 \text{ s} $$糸の長さを 4 倍の 4.0 m にすると \(T = 2\pi\sqrt{4.0/9.8} \fallingdotseq 4.0\) s と2倍になる（\(\sqrt{4} = 2\) 倍）。
答え：周期 \(T \fallingdotseq 2.0\) s。長さ1 m の振り子はほぼ2秒で1往復する。
「変位は正弦関数、速度は余弦関数で表される」——単振動の運動を数式で記述しよう。
半径 \(A\)、角速度 \(\omega\) の等速円運動を真横（直径方向）から見ると、往復運動に見えます。この等速円運動の \(x\) 軸への正射影がまさに単振動です。円運動する点 P の \(x\) 座標が \(x = A\sin\omega t\) となり、これが単振動の変位の式になります。
速度 \(v\) は等速円運動の速さ \(A\omega\) の \(x\) 成分なので \(\cos\) で表される。加速度 \(a\) は向心加速度 \(A\omega^2\) の \(x\) 成分なので \(-\sin\) で表される。変位に対して速度は \(\pi/2\) 進み、加速度は \(\pi\) 進む（逆位相）。
左のばね−質点系と右の x-t グラフが連動しています。●変位x・●速度v・●復元力F のベクトルの変化に注目しましょう。振幅 A・ばね定数 k・質量 m を変えて、周期や波形の変化を確認できます。
単振動の周期 \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\) は振幅に依存しない（等時性）。大きく振っても小さく振っても周期は同じ。
ステップ1：復元力 \(F = -kx\) と運動方程式 \(F = ma\) から \(a = -\frac{k}{m}x = -\omega^2 x\)。
ステップ2：\(\omega = \sqrt{k/m}\) は角振動数で、1周期 \(T\) の間に位相が \(2\pi\) 進むから：
$$ \omega T = 2\pi \quad \Longrightarrow \quad T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$
単振り子の場合は、ばね定数に相当する量が \(mg/l\) なので \(\omega = \sqrt{g/l}\)、\(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) となる。
ガリレオの発見：教会の天井から揺れるシャンデリアを見て、振り子の等時性（振幅によらず周期が一定）を発見したとされる。単振り子の周期は \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) で、振幅が小さいとき成り立つ。
変位最大のとき速度が 0 になる理由：エネルギー保存から理解するのが最も明快。端では全エネルギーが弾性エネルギー \(\tfrac{1}{2}kA^2\)、中心では全エネルギーが運動エネルギー \(\tfrac{1}{2}mv_{\max}^2\)になるため、中心で速度が最大になる。
復元力 \(F = -kx\) と運動方程式 \(F = ma\) から：
$$ m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx \quad \Longrightarrow \quad \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 \quad (\omega = \sqrt{k/m}) $$
この2階線形微分方程式の一般解は \(x(t) = A\sin(\omega t + \varphi)\) です。変位を時間で微分すると速度が得られます。
$$ v = \frac{dx}{dt} = A\omega\cos(\omega t + \varphi) $$
さらに速度を時間で微分すると加速度になり、変位との関係が明らかになります。
$$ a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\sin(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x $$
加速度が変位に比例し逆符号（\(a = -\omega^2 x\)）であることが、「単振動の条件」そのものです。この微分方程式の形を見抜けば、周期が \(T = 2\pi/\omega\) であることは自動的に出てきます。
エネルギー保存の微積分的導出：運動方程式 \(\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x\) の両辺に \(\frac{dx}{dt}\) をかけて時間で積分すると、次の保存量が得られます。
$$ \frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \frac{1}{2}\omega^2 x^2 = \text{一定} $$
両辺に質量 \(m\) をかけ、\(k = m\omega^2\) を用いると、これは力学的エネルギー保存 \(\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = E\) そのものであることがわかります。
変位や速度は時間とともに変わるが、全体のエネルギーはどうなるだろう？——運動エネルギーと弾性エネルギーが交互に変換され、力学的エネルギーは保存される。
上のばねが振動すると、運動エネルギー ½mv² と弾性エネルギー ½kx² が交互に変換されます。全エネルギー ½kA² は常に一定です。
| 位置 | 変位 x | 速度 v | 運動エネルギー | 弾性エネルギー |
|---|---|---|---|---|
| つりあい位置 | 0 | 最大 (\(A\omega\)) | 最大 (\(\frac{1}{2}kA^2\)) | 0 |
| 振幅の端 | \(\pm A\) | 0 | 0 | 最大 (\(\frac{1}{2}kA^2\)) |
| 中間点 | \(\pm A/\sqrt{2}\) | \(\pm A\omega/\sqrt{2}\) | \(\frac{1}{4}kA^2\) | \(\frac{1}{4}kA^2\) |
条件：ばね定数 \(k = 200\) N/m、質量 \(m = 0.50\) kg、振幅 \(A = 0.10\) m のばね振り子。つりあい位置での速さ（最大速度）を求める。
全エネルギーは
$$ E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times 0.10^2 = 1.0 \text{ J} $$つりあい位置（\(x = 0\)）では全エネルギーが運動エネルギーになるので
$$ \frac{1}{2}mv_{\max}^2 = E \quad \therefore\ v_{\max} = \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.0}{0.50}} = \sqrt{4.0} = 2.0 \text{ m/s} $$検算：\(v_{\max} = A\omega = 0.10 \times \sqrt{200/0.50} = 0.10 \times 20 = 2.0\) m/s で一致。
答え：最大速度 \(v_{\max} = 2.0\) m/s。
振り子時計：単振り子の等時性（周期が振幅に依存しない）を利用。厳密には \(\sin\theta \ fallingdotseq \theta\) の近似で成り立つため、振幅が大きくなると周期はわずかに長くなります。ホイヘンスはサイクロイド曲線のガイドを使って完全な等時性を実現しようとした。
車のサスペンション：ばねとダンパー（減衰器）の組合せ。ばねだけなら単振動が続くが、ダンパーがエネルギーを熱に変換して振動を素早く減衰させる。ばね定数が大きい（硬い足回り）と周期が短くなる。
糸の長さ \(l\)、質量 \(m\) の単振り子を考える。鉛直方向からの振れ角を \(\theta\) とすると、円弧に沿った接線方向の復元力は：
$$ F = -mg\sin\theta $$
振れ角が十分小さいとき、\(\sin\theta \ fallingdotseq \theta \ fallingdotseq x/l\)（小角近似、\(x\) はつりあい位置からの水平変位）を使うと：
$$ F \ fallingdotseq -mg \cdot \frac{x}{l} = -\frac{mg}{l}\,x $$
これは「ばね定数 \(k\) に相当する量が \(mg/l\)」の単振動。したがって角振動数 \(\omega = \sqrt{mg/(ml)} = \sqrt{g/l}\)、周期は：
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $$
質量 \(m\) によらない（等時性）。糸の長さと重力加速度だけで決まります。
大学入試で頻出のテーマと解法のポイントを整理しよう。
ばね定数 \(k\) のばねに質量 \(m\) の物体をつるすと、自然長から \(\Delta l = mg/k\) だけ伸びた位置がつりあい位置。
【立式】つりあい位置からの変位を \(x\) とすると、ばねの全伸びは \(\Delta l + x\) である。運動方程式は：
$ ma = mg - k(\Delta l + x) = mg - k\Delta l - kx $
つりあい条件 \(mg = k\Delta l\) より \(mg - k\Delta l = 0\) なので：
$ ma = -kx $
重力と \(\Delta l\) 分の弾性力が相殺するため、水平の場合と同じ \(F = -kx\) の単振動になる。周期も同じ \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\)。
ばね（定数 \(k\)）の両端に質量 \(m_1, m_2\) をつけて振動させる。重心は動かず、各物体は重心に対して単振動する。
【導出】2体の相対変位 \(x = x_1 - x_2\) に対する運動方程式を立てると、換算質量 \(\mu\) を用いて1体の単振動に帰着できます：
$ T = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{k}}, \quad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} $
\(\mu\) は換算質量（reduced mass）。2体問題を1体問題に帰着させる重要な概念で、大学物理でも頻出。
振幅 \(A\) の単振動で、変位 \(x\) のときの速さ \(v\) をエネルギー保存から求める。
【立式】力学的エネルギー保存より、任意の位置での運動エネルギーと弾性エネルギーの和は振幅端での弾性エネルギーに等しい：
$ \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2 $
\(v\) について解くと（\(\omega = \sqrt{k/m}\) を用いて）：
\(v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}\)
\(x = 0\) で \(v_{\max} = A\omega\)、\(x = \pm A\) で \(v = 0\)（端で折り返し）。
ばね振子・単振り子・U字管の3タイプを切り替えて、周期 T を予測しよう。練習問題ボタンでランダムな値が出題されます。エネルギー図も同時に確認できます。