物理 > 第1編 力と運動 > 第4章 円運動と万有引力
ケプラーは惑星の運動を観測データから3つの法則にまとめた。ニュートンはその背後にすべての質量間にはたらく引力＝万有引力があることを見抜いた。「リンゴが落ちるのも月が回るのも同じ力」——まずは万有引力の法則から始めよう。
地表での重力 \(mg\) は、厳密には万有引力と地球の自転による遠心力の合力です。ただし遠心力は赤道上でも万有引力の約 \(\frac{1}{290}\) 程度と非常に小さいため、通常は重力 ≒ 万有引力として扱います。
地球の質量 \(M\)、半径 \(R\) を用いると \(mg = G\dfrac{Mm}{R^2}\)。両辺を \(m\) で割ると：
右の質点 m をドラッグして距離 r を変えてみましょう。距離が半分になると力は4倍になります。
万有引力定数 \(G\) は非常に小さい（\(6.67 \times 10^{-11}\)）ため、日常的な物体どうしの万有引力は極めて弱く測定困難。地球のような巨大質量があってはじめて、私たちが「重力」として体感できる大きさになる。
条件：地球の質量 \(M = 5.97 \times 10^{24}\) kg、半径 \(R = 6.37 \times 10^{6}\) m、\(G = 6.67 \times 10^{-11}\) N·m²/kg²。
$$ g = \frac{GM}{R^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^6)^2} $$分子：\(6.67 \times 5.97 = 39.8\) → \(39.8 \times 10^{13}\)
分母：\(6.37^2 = 40.6\) → \(40.6 \times 10^{12}\)
$$ g = \frac{39.8 \times 10^{13}}{40.6 \times 10^{12}} = \frac{39.8}{40.6} \times 10 \fallingdotseq 9.8 \text{ m/s}^2 $$答え：\(g \fallingdotseq 9.8\) m/s²。万有引力の法則から地表の重力加速度を正しく再現できる。
国際宇宙ステーション（ISS, 高度約400km）での重力加速度は地表の約90%（約8.8 m/s²）もあります。宇宙飛行士が浮いて見えるのは、ISSと乗組員が一緒に自由落下（地球の周りを落ち続けている=軌道運動）しているからです。正確には「無重力」ではなく「微小重力」または「自由落下状態」といいます。
万有引力定数 G を初めて測定したのはキャベンディッシュ（1798年）。鉛球どうしの微小な引力をねじりはかりで測り、「地球の重さを量った男」と呼ばれました。
万有引力が向心力としてはたらくことで、惑星や衛星の軌道運動が実現する。この関係から人工衛星の速さとケプラーの3法則を導こう。
万有引力が向心力となるので \(G\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}\) より
質量 \(m\) の衛星が半径 \(r\) の円軌道を速さ \(v\) で回るとき、万有引力が向心力を提供します。
$$ G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} $$両辺を \(m\) で割り、\(r\) をかけると
$$ \frac{GM}{r} = v^2 $$したがって
$$ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$円軌道の周期 \(T\) は円周の長さを速さで割ったものです。
$$ T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r}{\sqrt{GM/r}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} $$両辺を2乗すると
$$ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3 $$これがケプラーの第3法則の理論的な裏付けです。\(T^2\) は \(r^3\) に比例し、比例定数は中心天体の質量 \(M\) だけで決まります。
スライダーで軌道半径を変えると、速さ・周期・万有引力がどう変化するか確認しよう。
条件：高度 400 km の人工衛星（ISS の高度）。地球の半径 \(R = 6.4 \times 10^3\) km、\(g = 9.8\) m/s² とする。
軌道半径は \(r = R + h = 6400 + 400 = 6800\) km \(= 6.8 \times 10^6\) m。
\(GM = gR^2 = 9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2 = 9.8 \times 4.10 \times 10^{13} \fallingdotseq 4.01 \times 10^{14}\) m³/s²
軌道速度は
$$ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{4.01 \times 10^{14}}{6.8 \times 10^6}} = \sqrt{5.90 \times 10^7} \fallingdotseq 7.7 \times 10^3 \text{ m/s} \fallingdotseq 7.7 \text{ km/s} $$周期は
$$ T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \times 6.8 \times 10^6}{7.7 \times 10^3} \fallingdotseq 5500 \text{ s} \fallingdotseq 92 \text{ min} $$答え：軌道速度約 \(7.7\) km/s（時速約 28000 km）、周期約 \(92\) 分。ISS は1日に約15.5周する。
条件：\(g = 9.8\) m/s²、地球の半径 \(R = 6.4 \times 10^6\) m。
第1宇宙速度（地表すれすれの円軌道）
$$ v_1 = \sqrt{gR} = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{6.27 \times 10^7} \fallingdotseq 7.9 \times 10^3 \text{ m/s} = 7.9 \text{ km/s} $$第2宇宙速度（地球脱出速度）
$$ v_2 = \sqrt{2gR} = \sqrt{2} \times v_1 = 1.414 \times 7.9 \fallingdotseq 11.2 \text{ km/s} $$\(v_2/v_1 = \sqrt{2} \fallingdotseq 1.41\)。あと約41%速くするだけで地球を脱出できる。
答え：\(v_1 \fallingdotseq 7.9\) km/s、\(v_2 \fallingdotseq 11.2\) km/s。
静止衛星は地球の自転と同じ周期（24時間）で公転するため、地上から見ると空の一点に静止して見えます。ケプラーの第3法則から軌道半径を求めると、地表から約36,000km。地球の半径（約6,400km）の約5.6倍です。BS放送やGPS補完に使われる衛星の多くがこの軌道にあります。
初速度を大きくするほど軌道の形が変化し、ある速さを超えると地球を脱出する。第1〜第3宇宙速度の意味と、軌道形状（円・楕円・脱出）の違いを理解しよう。
初速度を変えると、軌道の形が変わります。円速度 \(v_{\text{円}} = \sqrt{GM/r}\) を基準に、速さを変えて円軌道・楕円軌道・脱出軌道を観察しましょう。
軌道を3Dで観察しましょう。傾斜角と離心率を変え、近日点で速く遠日点で遅くなる様子や、ケプラー面積（等時間に掃く面積が一定）を確認できます。
| 名称 | 速さ | 意味 | 導出式 |
|---|---|---|---|
| 第1宇宙速度 | 約 7.9 km/s | 地表すれすれで円軌道に乗る速さ | \(v_1 = \sqrt{gR}\) |
| 第2宇宙速度 | 約 11.2 km/s | 地球の重力圏を脱出する速さ | \(v_2 = \sqrt{2gR} = \sqrt{2}\,v_1\) |
| 第3宇宙速度 | 約 16.7 km/s | 太陽系を脱出する速さ | 地球の公転速度も考慮 |
地表での重力 \(mg = \frac{GMm}{R^2}\) から \(GM = gR^2\) が得られる。この関係を使えば、G や M の値を知らなくても問題が解ける。例えば第1宇宙速度 \(v_1 = \sqrt{GM/R} = \sqrt{gR} \fallingdotseq 7.9\) km/s、第2宇宙速度 \(v_2 = \sqrt{2gR} \fallingdotseq 11.2\) km/s と簡単に求められる。入試では \(GM = gR^2\) の変換が頻出。
第1宇宙速度（約7.9 km/s）：地表すれすれの円軌道に乗る速さ。第2宇宙速度（約11.2 km/s）：地球の重力を脱出する速さ。第3宇宙速度（約16.7 km/s）：太陽系を脱出する速さ。
万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準にとるため常に負の値をとる。この性質を理解すると、脱出速度の導出や軌道エネルギーの議論が自然にできるようになる。
万有引力 \(F = -\frac{GMm}{r^2}\)（引力方向を負）から位置エネルギーを求めます。
$$ U(r) = -\int_{\infty}^{r} F\,dr' = -\int_{\infty}^{r}\left(-\frac{GMm}{r'^2}\right)dr' = -\frac{GMm}{r} $$
基準を無限遠（\(U(\infty) = 0\)）にとるため、すべての \(r\) で \(U < 0\) です。
第二宇宙速度の導出：地表から打ち出した物体が無限遠に到達する条件は、力学的エネルギーが 0 以上であることです：
$$ \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad v \geq \sqrt{\frac{2GM}{R}} $$
これにケプラーの第3法則を組み合わせると、楕円軌道のエネルギーや惑星間航行の計算ができます。
入試で頻出のポイントを確認しましょう。
周期 \(T = 24\) 時間 = 86400 s、ケプラーの第3法則 \(T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3\) より
$ r = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} $
\(GM = gR^2\) を代入すると \(r \ fallingdotseq 4.2 \times 10^7\) m（地表から約 36,000 km）。
第1宇宙速度：地表すれすれの円軌道条件 \(mg = m\frac{v_1^2}{R}\) より \(v_1 = \sqrt{gR} \ fallingdotseq 7.9\) km/s。
第2宇宙速度：力学的エネルギー = 0 の条件 \(\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GMm}{R} = 0\) より \(v_2 = \sqrt{2gR} = \sqrt{2}\,v_1 \ fallingdotseq 11.2\) km/s。
入試では \(GM = gR^2\) の変換がよく問われる。
ケプラーの第3法則 \(T^2 \propto r^3\) を使う。軌道半径が \(n\) 倍なら周期は \(n^{3/2}\) 倍。
例：軌道半径が4倍 → \(T = 4^{3/2} = 8\) 倍。
2つの惑星の比を取ると \(\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}\) で未知量を求められる。