物理 > 第3編 波 > 第1章 波の伝わり方
「波をひとつの式で表せるか？」——位置と時刻の両方を含む正弦波の式を導く。
x 軸の正の方向に速さ \(v\) で進む正弦波を考える。 原点 \(x = 0\) における媒質の変位が
$$ y(0, t) = A\sin\frac{2\pi t}{T} $$で表されるとする。ここで \(A\) は振幅，\(T\) は周期である。
原点で起きた振動は，位置 \(x\) には時間 \(\dfrac{x}{v}\) だけ遅れて届く。 したがって，位置 \(x\) での変位は，原点での時刻 \(t - \dfrac{x}{v}\) の振動に等しい。
ここで \(v = \dfrac{\lambda}{T}\) を用いて \(\dfrac{x}{v} = \dfrac{xT}{\lambda}\) と変形し， \(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\) の形にまとめた。
スライダーで振幅 \(A\)・波長 \(\lambda\)・周期 \(T\) を変えて，波の式がどのような波形を表すか確かめよう。 「比較波」をオンにすると，パラメータの異なる2つ目の波（破線）を重ねて表示できる。
x 軸の負の方向に進む波の場合は，位置 \(x\) に原点より早く届くため， 符号が逆になり \(y = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} + \dfrac{x}{\lambda}\right)\) となる。
角振動数 \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\)〔rad/s〕と波数 \(k = \dfrac{2\pi}{\lambda}\)〔rad/m〕を導入すると， 正弦波の式はよりコンパクトに書ける。
波の速さは \(v = \dfrac{\omega}{k} = f\lambda\) と表される。
条件：振幅 \(A = 0.10\) m，波長 \(\lambda = 2.0\) m，周期 \(T = 0.50\) s の正弦波が x 軸正方向に進む。
正弦波の式に代入すると
$$ y = 0.10 \sin 2\pi\left(\frac{t}{0.50} - \frac{x}{2.0}\right) = 0.10 \sin 2\pi(2.0t - 0.50x) \text{ [m]} $$角振動数と波数を使うと \(\omega = 2\pi/T = 2\pi/0.50 = 4\pi\) rad/s，\(k = 2\pi/\lambda = 2\pi/2.0 = \pi\) rad/m より
$$ y = 0.10\sin(4\pi t - \pi x) \text{ [m]} $$波の速さは \(v = \lambda/T = 2.0/0.50 = 4.0\) m/s。確認：\(v = \omega/k = 4\pi/\pi = 4.0\) m/s ✓
答え：\(y = 0.10\sin(4\pi t - \pi x)\) [m]，\(v = 4.0\) m/s
y-x グラフ（\(t = 0\) のスナップショット）が \(y = A\sin\left(-\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right)\) であるとする。 時刻 \(t\) には波形が \(vt\) だけ正の方向に移動しているので， \(x\) を \(x - vt\) に置き換えて \(y = A\sin\left(-\dfrac{2\pi(x - vt)}{\lambda}\right) = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\) を得る。
「山どうし・谷どうしの関係を数値で表す」——位相の概念を理解する。この式の中にある sin の中身（位相）が、2つの波の関係を理解する鍵となる。
正弦波の式 \(y = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\) において， sin の引数 \(2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\) を位相（phase）という。 位相はラジアン〔rad〕の単位をもつ。
同じ時刻 \(t\) における位置 \(x_1\) と \(x_2\) の位相差は
| 位相差 \(\Delta\phi\) | 距離 \(\Delta x\) | 振動状態 | 重ね合わせ |
|---|---|---|---|
| \(0, 2\pi, 4\pi, \ldots\) | \(0, \lambda, 2\lambda, \ldots\) | 同位相（山と山） | 強め合う |
| \(\pi, 3\pi, 5\pi, \ldots\) | \(\lambda/2, 3\lambda/2, \ldots\) | 逆位相（山と谷） | 弱め合う |
同じ位置 \(x\) における時刻 \(t_1\) と \(t_2\) の位相差は
スライダーで位相差 \(\Delta\phi\) と波長 \(\lambda\) を変えて，2点間の位相の関係を確かめよう。 右の位相円では各点の位相角が回転する様子が見える。
2つのほぼ同じ振動数の音叉を同時に鳴らすと，「ワンワン」と音が大きくなったり小さくなったりする（うなり）。 これは2つの波の位相が時間とともにずれていき， 同位相のとき強め合い，逆位相のとき弱め合うことで起こる現象である。
条件：波長 \(\lambda = 0.60\) m の波について，位置 \(x_1 = 1.0\) m と \(x_2 = 1.3\) m の2点の位相差を求める。
$$ \Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda}(x_2 - x_1) = \frac{2\pi}{0.60} \times (1.3 - 1.0) = \frac{2\pi}{0.60} \times 0.30 = \pi \text{ rad} $$位相差が \(\pi\) なので，この2点は逆位相（一方が山のとき他方は谷）である。
答え：\(\Delta\phi = \pi\) rad（逆位相）
\(y = A\sin(kx - \omega t)\) は正の \(x\) 方向に進む波、\(y = A\sin(kx + \omega t)\) は負の \(x\) 方向に進む波です。覚え方：「\(x\)と\(t\)の符号が逆→正方向」。これは位相 \(kx - \omega t\) が一定な点（波形上の同じ位置）が正方向に移動するためです。
「2つの波が出会ったらどうなる？」——重ね合わせの原理から定常波を理解する。
2つ以上の波が同じ場所を通過するとき，媒質の変位はそれぞれの波による変位の和（代数和）になる。 これを重ね合わせの原理（principle of superposition）という。
波が通過した後は，各波はもとの形のまま進み続ける（波は互いに影響を与えない）。
同じ振幅・波長・速さの2つの正弦波が逆向きに進んで重なると， 進行しない波（定常波，standing wave）が生じる。
正の方向に進む波 \(y_1 = A\sin(\omega t - kx)\) と 負の方向に進む波 \(y_2 = A\sin(\omega t + kx)\) を重ね合わせると
この式は「位置 \(x\) で決まる振幅 \(2A\sin kx\)」で振動する形であり，波形は進行しない。
隣り合う節と節の間隔は \(\dfrac{\lambda}{2}\) であり，節と隣の腹の間隔は \(\dfrac{\lambda}{4}\) である。
上段が正方向に進む波 \(y_1\)（青），中段が負方向に進む波 \(y_2\)（赤）， 下段がその重ね合わせ（緑）＝定常波。振幅・波長を変えて節と腹の位置を確かめよう。
定常波は進行しないが，節と腹は固定された位置に現れる。 弦の振動や気柱の共鳴は定常波の典型例である。
和積公式による定常波の導出
三角関数の和積公式 \(\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2}\) を用いる。
\(\alpha = \omega t - kx\)，\(\beta = \omega t + kx\) とすると
$$ y_1 + y_2 = A(\sin\alpha + \sin\beta) = 2A\sin\frac{2\omega t}{2}\cos\frac{-2kx}{2} = 2A\sin(\omega t)\cos(kx) $$\(\cos(-kx) = \cos(kx)\) より，\(y = 2A\cos(kx)\sin(\omega t)\) となる。 （\(\sin\) と \(\cos\) の順序は文献により異なるが等価。）
条件：波長 \(\lambda = 1.2\) m の2つの波が逆向きに進んで定常波を作る。
節の位置は \(\sin kx = 0\) すなわち \(kx = n\pi\) を満たす。\(k = 2\pi/\lambda = 2\pi/1.2\) より
$$ x = n \cdot \frac{\lambda}{2} = n \times 0.60 \text{ m} \quad (n = 0, 1, 2, \ldots) $$節の位置：\(x = 0,\ 0.60,\ 1.2,\ 1.8, \ldots\) m
腹の位置は \(\sin kx = \pm 1\) すなわち \(x = (2n+1) \cdot \lambda/4\) より
$$ x = 0.30,\ 0.90,\ 1.5, \ldots \text{ m} $$節と節の間隔は \(\lambda/2 = 0.60\) m，節と腹の間隔は \(\lambda/4 = 0.30\) m。
答え：節の間隔 0.60 m，腹の間隔 0.60 m
ギターのハーモニクス奏法
ギターの弦の特定の位置（1/2，1/3，1/4 の点など）を軽く触れながら弾く「ハーモニクス奏法」は， 定常波の節を指で作り出す技法である。 触れた点が節になるような倍振動だけが生き残り， 澄んだ高い音（フラジオレット）が鳴る。
y-xグラフ（ある瞬間の波形）から各点の次の瞬間の速度を知る方法：正方向に進む波なら、波形全体を右にわずかにずらしたものが「次の瞬間」です。ある点の変位が増えるなら上向きの速度、減るなら下向きの速度を持ちます。入試でよく問われるテクニックです。
正弦波 \(y = A\sin(kx - \omega t)\) を時間で偏微分すると、媒質の速度が得られます。
$$ v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\cos(kx - \omega t) $$
さらに微分すると媒質の加速度：
$$ a_y = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -A\omega^2\sin(kx - \omega t) = -\omega^2 y $$
各媒質点は単振動していることがわかります（\(a_y = -\omega^2 y\) は単振動の条件）。つまり、波は媒質各点の単振動が位相をずらして並んだものといえます。
大学入試で頻出のテーマと解法のポイントを整理しよう。
入試ではy-xグラフ（ある瞬間のスナップショット）とy-tグラフ（ある点の時間変化）を読み分ける問題が頻出です。y-xグラフの傾き \(\partial y/\partial x\) は波の「傾き」、y-tグラフの傾き \(\partial y/\partial t\) は媒質の速度です。波が正方向に進むとき、y-xグラフ上で媒質の速度の向きは「右に進むグラフのスナップショットを少し右にずらした方向」で判断できます。
手順：
入試では「y-xグラフと進行方向が与えられ、波の式を書け」が定番。符号に注意。