「レンズは光をどう曲げるのか？」——凸レンズと凹レンズの性質と作図法を学ぶ。
中央が厚く，端が薄いレンズを凸レンズ（converging lens）という。 光軸に平行な光線を入射すると，レンズを通過後に1点（焦点 F）に集まる。 レンズの中心から焦点までの距離を焦点距離 \(f\) という。
中央が薄く，端が厚いレンズを凹レンズ（diverging lens）という。 光軸に平行な光線を入射すると，レンズを通過後に広がり， その延長線が光軸上の1点（虚焦点）から発散するように見える。
物体距離を変えて，凸レンズと凹レンズでの像の変化を確認しよう。 3本の主光線が像をどう決めるかをリアルタイムで観察できる。
凸レンズで物体の像を作図するには，次の3本の光線のうち2本を描けばよい。
これら2本の光線の交点に実像ができる。 物体が焦点より内側にある場合は，交点がレンズの物体側にでき，虚像となる。
物体（赤い矢印）を左右にドラッグして，像の位置・大きさ・種類がどう変わるかを確認しよう。 焦点距離はスライダーで変更できる。
条件：焦点距離 \(f = 15\) cm の凸レンズの前方 \(a = 30\) cm に物体を置く。
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a} = \frac{1}{15} - \frac{1}{30} = \frac{2 - 1}{30} = \frac{1}{30} $$逆数をとって像の位置を求めると、
$$ b = 30 \text{ cm} $$\(b > 0\) なのでレンズの反対側に実像ができる。
倍率：\(|m| = b/a = 30/30 = 1.0\)（等倍の倒立像）。
ちなみに \(a = 2f\) のとき等倍になることがわかる。
答え：\(b = 30\) cm，等倍の倒立実像
条件：焦点距離 \(f = 10\) cm の凸レンズから \(a = 6.0\) cm（焦点の内側）に物体を置く。
$$ \frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a} = \frac{1}{10} - \frac{1}{6.0} = \frac{3 - 5}{30} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15} $$逆数をとると像の位置が得られる。
$$ b = -15 \text{ cm} $$\(b < 0\) なのでレンズの物体側に虚像ができる。
倍率：\(|m| = |b|/a = 15/6.0 = 2.5\)（2.5 倍に拡大された正立虚像）。
答え：\(b = -15\) cm，2.5 倍の正立虚像
カメラのレンズは凸レンズ（または複数のレンズの組み合わせ）で， フィルムやセンサー上に実像を作る仕組みである。 焦点距離が短いレンズ（広角レンズ）は広い範囲が映り， 焦点距離が長いレンズ（望遠レンズ）は遠くのものが大きく映る。
「像はどこにできて，どれくらいの大きさになるか？」——様々な物体位置での像の位置をまとめると、物体距離と像距離の間に一つの法則が見えてくる。レンズの式で定量的に求めよう。
薄いレンズにおいて，物体からレンズまでの距離を \(a\)， レンズから像までの距離を \(b\)，焦点距離を \(f\) とすると
凸レンズの光軸上で，物体からレンズまでの距離を \(a\)，レンズから像までの距離を \(b\)，焦点距離を \(f\) とする。 物体の高さを \(h\)，像の高さを \(h'\) とする。
ステップ 1：レンズ中心を通る光線から倍率を求める
レンズの中心を通る光線は直進するので，物体の先端・レンズ中心・像の先端を結ぶ三角形について
$$ \frac{h'}{h} = \frac{b}{a} \quad \cdots\text{(i)} $$ステップ 2：光軸に平行な光線から別の関係を得る
物体の先端から光軸に平行に出た光線は，レンズ通過後に焦点 F を通る。 この光線と像の位置での垂直線がつくる三角形と，焦点 F を頂点とし光軸上で高さ \(h\) をもつ三角形は相似であるから
$$ \frac{h'}{h} = \frac{b - f}{f} \quad \cdots\text{(ii)} $$ステップ 3：(i) と (ii) から \(f\) を求める
(i) と (ii) の左辺が等しいので
$$ \frac{b}{a} = \frac{b - f}{f} $$両辺に \(af\) をかけると
$$ bf = a(b - f) = ab - af $$両辺を \(abf\) で割ると
$$ \frac{1}{a} = \frac{1}{f} - \frac{1}{b} $$整理して
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} $$これがレンズの式（写像公式）である。
凸レンズでは \(f \gt 0\)，凹レンズでは \(f < 0\) とする。 実像のとき \(b \gt 0\)，虚像のとき \(b < 0\) となる。 物体距離 \(a\) は常に正（\(a \gt 0\)）とする。
像の大きさと物体の大きさの比を倍率（magnification）\(m\) という。
符号を含めて考えると，実像は \(b \gt 0\) なので \(m \gt 0\) だが， 実際には像は倒立（上下逆）である。 教科書によっては \(m = -b/a\) と定義して \(m < 0\) を倒立とする流儀もある。 ここでは倍率の大きさ \(|m| = b/a\) を像の拡大・縮小の指標として使う。
物体（青い矢印）をドラッグして，像の位置・大きさ・種類がどう変わるかを確認しよう。 \(1/a + 1/b = 1/f\) の関係がリアルタイムで表示される。
レンズによる結像を3D空間で観察しよう。マウスドラッグで視点を回転させ， 3本の主光線がどのように像を決めるかを立体的に確認できる。
| 物体の位置 | 像の種類 | 像の大きさ |
|---|---|---|
| \(a \gt 2f\) | 実像（倒立） | 縮小 |
| \(a = 2f\) | 実像（倒立） | 等倍 |
| \(f < a < 2f\) | 実像（倒立） | 拡大 |
| \(a = f\) | 像は無限遠（平行光線が出る） | |
| \(a < f\) | 虚像（正立） | 拡大 |
虫眼鏡（ルーペ）は凸レンズで，物体を焦点距離の内側に置いて観察する。 このとき正立・拡大の虚像が見える。 焦点距離が短いレンズほど倍率が大きくなるが， レンズと物体の距離が非常に近くなるため扱いにくくなる。
「虚像はスクリーンに映らない」と習いますが、目で見ることはできます。鏡に映る自分の姿は虚像です。凸レンズの虫眼鏡で物体を拡大して見ているとき（焦点より近い場合）も虚像を見ています。虚像は光が実際に集まる点ではなく、光線を逆方向に延長した交点に見えます。
カメラのレンズは凸レンズの原理で実像をセンサー上に結びます。ピント合わせは「レンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\)」で像の位置 \(b\) を被写体距離 \(a\) に合わせる操作です。被写体が近いときは像の位置が遠くなるため、レンズを前に出す（\(b\) を増やす）必要があります。
「鏡の曲面で光を集めたり広げたりできる」——球面鏡の性質とレンズとの類似性を学ぶ。
内側が反射面の球面鏡を凹面鏡（concave mirror）という。 光軸に平行な光線は反射後，焦点 F に集まる。 焦点距離 \(f\) は球面の曲率半径 \(R\) の半分である。
外側が反射面の球面鏡を凸面鏡（convex mirror）という。 光軸に平行な光線は反射後に広がり，その延長線が鏡の裏側の虚焦点から発散するように見える。 凸面鏡の焦点距離は負（\(f < 0\)）として扱う。
球面鏡もレンズと同じ形の式が成り立つ。
倍率もレンズと同様に \(m = \dfrac{b}{a}\) で表される。
凹面鏡は凸レンズと似た性質（実像を作れる），凸面鏡は凹レンズと似た性質（虚像のみ）をもつ。 式の形は同じ \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}\) であり， 符号の約束に注意すれば同じ方法で計算できる。
条件：曲率半径 \(R = 40\) cm の凹面鏡の前方 \(a = 60\) cm に物体を置く。
焦点距離：\(f = R/2 = 40/2 = 20\) cm
$$ \frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a} = \frac{1}{20} - \frac{1}{60} = \frac{3 - 1}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} $$逆数をとって像の位置を求めると、
$$ b = 30 \text{ cm} $$\(b > 0\) なので鏡の前方に実像ができる。
倍率：\(|m| = b/a = 30/60 = 0.50\)（半分の大きさの倒立実像）。
答え：\(b = 30\) cm，0.50 倍の倒立実像
ニュートン式反射望遠鏡は凹面鏡（放物面鏡）を使って遠方の天体からの光を集める。 レンズ（屈折）式に比べて色収差がなく，大型化が容易である。 ハッブル宇宙望遠鏡の主鏡は直径 2.4 m の凹面鏡で， ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡の主鏡は直径 6.5 m にもなる。
物体（青い矢印）を左右にドラッグして，像の位置・大きさ・種類がどう変わるかを確認しよう。 凹面鏡／凸面鏡をボタンで切り替え，焦点距離もスライダーで変更できる。
道路のカーブに設置されているカーブミラー（道路反射鏡）は凸面鏡である。 凸面鏡は常に正立・縮小の虚像を作り，広い範囲を映すことができるため， 見通しの悪い交差点やカーブの安全確認に利用される。 ただし像は実際より小さく（遠く）見えるので，距離感に注意が必要である。
薄レンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) はスネルの法則 \(n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2\) と近軸近似（\(\sin\theta \ fallingdotseq \theta\)）から導かれます。レンズメーカーの式：
$$ \frac{1}{f} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) $$
ここで \(R_1, R_2\) はレンズ面の曲率半径、\(n\) は屈折率です。凸レンズの焦点距離が正、凹レンズが負になる符号規則を使えば、すべての場合を統一的に扱えます。
大学入試で頻出のテーマと解法のポイントを整理しよう。
凸レンズの像は3本の光線で作図します。①軸に平行な光→焦点を通る、②焦点を通る光→軸に平行、③レンズの中心を通る光→直進。物体が焦点より遠ければ実像、焦点より近ければ虚像です。入試では「物体を動かしたとき像がどう変化するか」「倍率の計算」が問われます。
符号規約のまとめ：
| 量 | 正 | 負 |
|---|---|---|
| \(a\)（物体距離） | 常に正 | — |
| \(b\)（像距離） | 実像（レンズの反対側） | 虚像（レンズの同じ側） |
| \(f\)（焦点距離） | 凸レンズ / 凹面鏡 | 凹レンズ / 凸面鏡 |
典型的な計算手順：
具体例：凸レンズ \(f = 10\) cm，物体距離 \(a = 15\) cm のとき
$ \frac{1}{b} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30} $よって \(b = 30\) cm（正なので実像）。倍率は \(|m| = 30/15 = 2\) で、2倍に拡大された倒立実像ができる。
凸レンズの光軸上に、レンズから距離 \(a\) の位置に高さ \(h\) の物体を置く。
光線1：光軸に平行にレンズに入り、焦点 F' を通って進む。
光線2：レンズの中心を通り、直進する。
2本の光線の交点が像の位置（距離 \(b\)、高さ \(h'\)）。相似な三角形から
$ \frac{h'}{h} = \frac{b}{a} \quad \text{（中心を通る光線から）} $一方、焦点を通る光線から得られる相似比は
$ \frac{h'}{h} = \frac{b - f}{f} \quad \text{（焦点を通る光線から）} $両辺を等しくおくと
$ \frac{b}{a} = \frac{b - f}{f} $交差乗法で展開すると
$ bf = a(b - f) = ab - af $右辺の \(-af\) を左辺に移項して整理すると
$ af + bf = ab $両辺を \(abf\) で割ると
$ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{f} $