「光は波である」——ヤングの実験が光の波動性を決定的に示した。
光を2つの狭いスリットに通すと、スクリーン上に明暗の縞模様（干渉縞）が現れます。これは2つのスリットからの光が干渉するためです。
2つの波源から出た波はどのように重なり合うのでしょうか？水面上の2つの波源から広がる円形波が重なり合う様子を3Dで観察しましょう。山と山が重なる場所（強め合い）は白く盛り上がり、山と谷が打ち消し合う場所（弱め合い）は暗く平坦になります。破線は節線（弱め合いの線）です。マウスドラッグで視点を変えられます。
この干渉現象を定量的に見てみましょう。スリット間隔 \(d\) や波長 \(\lambda\) を変えて、干渉縞のでき方と強度分布を観察しましょう。
スクリーンの中心 O から \(x\) だけ離れた点 P が明線（強め合い）か暗線（弱め合い）かは，S\(_1\) と S\(_2\) からの経路差で決まる。
では，スリット間隔 \(d\)，スリットからスクリーンまでの距離 \(L\)，スクリーン上の位置 \(x\) を使って経路差を求めよう。
S\(_1\)，S\(_2\) からスクリーン上の点 P までの距離をそれぞれ \(r_1\)，\(r_2\) とする。下図のように，スクリーン上で S\(_1\) の正面から P までの距離は \(x_1 = x + d/2\)，S\(_2\) の正面から P までは \(x_2 = x - d/2\) である。
三平方の定理より
$$ r_1 = \sqrt{L^2 + \left(x + \frac{d}{2}\right)^2}, \quad r_2 = \sqrt{L^2 + \left(x - \frac{d}{2}\right)^2} $$ここで \(L\) がスリット間隔 \(d\) や位置 \(x\) に比べて十分大きいので，二項近似 \((1 + a)^n \fallingdotseq 1 + na\)（\(|a| \ll 1\)）を使う。
$$ r_1 = L\sqrt{1 + \left(\frac{x + d/2}{L}\right)^2} \fallingdotseq L\left\{1 + \frac{1}{2}\left(\frac{x + d/2}{L}\right)^2\right\} = L + \frac{1}{2L}\left(x + \frac{d}{2}\right)^2 $$同様に
$$ r_2 \fallingdotseq L + \frac{1}{2L}\left(x - \frac{d}{2}\right)^2 $$よって経路差は
$$ \text{（経路差）} = r_1 - r_2 = \frac{1}{2L}\left\{\left(x + \frac{d}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{d}{2}\right)^2\right\} = \frac{1}{2L} \times 2xd = \frac{d \cdot x}{L} $$\(\left(x + \frac{d}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{d}{2}\right)^2 = 2xd\) は和と差の積の公式 \((A^2 - B^2 = (A+B)(A-B))\) を使えば一瞬で計算できる。
\(L\) が十分大きいとき，S\(_1\) P と S\(_2\) P はほぼ平行とみなせる。下図のように S\(_2\) から S\(_1\) の光線に垂線を下ろすと，直角三角形から経路差が求まる。
$$ \text{（経路差）} = r_1 - r_2 \fallingdotseq d\sin\theta $$\(\theta\) が十分小さいとき \(\sin\theta \fallingdotseq \tan\theta = x/L\) であるから
$$ \text{（経路差）} \fallingdotseq \frac{d \cdot x}{L} $$①の代数的方法と同じ結果が得られた。
経路差 \(= d \cdot x / L\) を干渉の条件式に代入すると，明線・暗線の位置が求まる。
明線の位置：\(x = m \dfrac{\lambda L}{d}\)，暗線の位置：\(x = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\dfrac{\lambda L}{d}\)
隣り合う明線の間隔 \(\Delta x\) は
$$ \Delta x = (m+1)\frac{\lambda L}{d} - m\frac{\lambda L}{d} = \frac{\lambda L}{d} $$整理すると、明線間隔は次の重要公式にまとまる。
明線間隔は波長 \(\lambda\) と距離 \(L\) に比例し，スリット間隔 \(d\) に反比例する。\(m\) に依存しないため，すべての明線は等間隔に並ぶ。
条件：スリット間隔 \(d = 0.20\) mm = \(2.0 \times 10^{-4}\) m，スクリーンまでの距離 \(L = 1.5\) m，ナトリウムランプの波長 \(\lambda = 589\) nm = \(5.89 \times 10^{-7}\) m。
$$ \Delta x = \frac{\lambda L}{d} = \frac{5.89 \times 10^{-7} \times 1.5}{2.0 \times 10^{-4}} = \frac{8.835 \times 10^{-7}}{2.0 \times 10^{-4}} = 4.4 \times 10^{-3} \text{ m} = 4.4 \text{ mm} $$3次の明線（\(m = 3\)）の位置は \(x_3 = 3 \times 4.4 = 13.2\) mm。
答え：\(\Delta x \fallingdotseq 4.4\) mm
トーマス・ヤング（1801年）の二重スリット実験は、ニュートンの「光は粒子」説に対して「光は波」であることを示した歴史的実験です。後に量子力学では光は波と粒子の二重性をもつことが判明しました。
「多数のスリットで鋭い干渉縞を作る」——回折格子は光の波長を精密に測定する道具。
スリット数が多いほど干渉縞が鮮明（幅が狭く明るい）になります。CDやDVDの表面が虹色に見えるのは回折格子と同じ原理です。
格子定数 \(d\) と波長 \(\lambda\) を変えて、各次数の回折角と干渉縞の鋭さを確認しましょう。下のグラフは強度分布を示します。
2つの点波源から広がる円形波の干渉を俯瞰で観察しよう。波長と波源間隔を変えて，スクリーン上の明暗縞がどう変わるか確認できる。
| 現象 | 条件式 | 特徴 |
|---|---|---|
| 二重スリット | \(\frac{d}{L}x = m\lambda\) | 幅広い明線、間隔 \(\Delta x = \lambda L/d\) |
| 薄膜干渉 | 経路差 \(2nd\)（+位相変化） | 反射光の色が膜厚で変化 |
| 回折格子 | \(d\sin\theta = m\lambda\) | 鋭い明線、波長の精密測定に利用 |
条件：1 mm あたり 500 本の溝をもつ回折格子に波長 \(\lambda = 550\) nm の光を垂直に入射させる。1次と2次の回折角を求める。
格子定数：\(d = 1/(500 \text{ mm}^{-1}) = 1/500 \text{ mm} = 2.0 \times 10^{-3}\) mm = \(2.0 \times 10^{-6}\) m
1次（\(m = 1\)）：
$$ \sin\theta_1 = \frac{m\lambda}{d} = \frac{1 \times 550 \times 10^{-9}}{2.0 \times 10^{-6}} = 0.275 \quad \Rightarrow \quad \theta_1 \fallingdotseq 16.0° $$次に2次回折（\(m = 2\)）について同様に求めると、
$$ \sin\theta_2 = \frac{2 \times 550 \times 10^{-9}}{2.0 \times 10^{-6}} = 0.550 \quad \Rightarrow \quad \theta_2 \fallingdotseq 33.4° $$答え：\(\theta_1 \fallingdotseq 16°\)，\(\theta_2 \fallingdotseq 33°\)
CDの虹色
CDの記録面には約1.6μm間隔でトラック（溝）が刻まれています。これが回折格子として機能し、白色光が各波長に分かれて虹色に見えます。格子定数 d = 1.6μm を使えば、回折角から光の波長を計算できます。
CDやDVDの表面が虹色に光るのは回折格子による干渉です。シャボン玉や油膜の虹色は薄膜干渉です。反射防止コーティング（カメラのレンズが薄紫に見えるもの）も薄膜干渉を利用して特定波長の反射を抑えています。干渉は光が波である証拠であり、身の回りにたくさん存在します。
二項近似または平行線近似から経路差 \(= d \cdot x / L\) が得られるので、明線条件 \(\frac{d}{L}x = m\lambda\) から明線の位置 \(x_m = \frac{m\lambda L}{d}\) がすぐ求まります。隣り合う明線の間隔 \(\Delta x = \frac{\lambda L}{d}\) は波長に比例し、スリット間隔に反比例します。
「シャボン玉が虹色に見える」——ヤングの実験の本質は「2つの光の経路差による干渉」だった。薄膜でも、膜の表面と裏面で反射した光が同じ原理で干渉する。
薄膜の上面で反射した光と下面で反射した光の経路差によって干渉が起こります。
屈折率 \(n\)（\(n \gt 1\)）、厚さ \(d\) の薄膜に光が入射するとき、 膜内を往復する光の光路差（光学的距離の差）は、膜への屈折角を \(r\) として
光路長（optical path length）とは「屈折率 × 距離」のことであり、真空中でその距離に相当する長さを表す。薄膜干渉では膜の屈折率 \(n\) を掛けて経路差を計算する。垂直入射（\(r = 0\)）のときは光路差は \(2nd\) に簡略化される。
屈折率の大きい媒質で反射すると位相が π ずれる（半波長分の経路差に相当）。
膜の上面と下面の反射で位相変化が1回だけ起こる場合（典型例：空気→膜→空気）、実質的な経路差に \(\lambda/2\) が加わる。
上面と下面の反射で位相変化が1回だけ起こるとき（膜の屈折率が両側の媒質より大きい場合など）：
上面と下面の反射で位相変化が0回または2回起こるとき（位相変化が打ち消される場合）：
膜の厚さ \(d\) と屈折率 \(n\) を変えて、反射光の干渉色がどう変化するか観察しましょう。スペクトルバーで強め合う波長を確認できます。
条件：屈折率 \(n = 1.38\) のコーティング膜で波長 \(\lambda = 550\) nm（緑色光）の反射を抑えたい。必要な最小膜厚 \(d\) を求める（垂直入射）。
空気→膜→ガラス（\(n_{\text{glass}} > n > 1\)）の場合，上面と下面の両方で疎→密の反射が起こるため位相変化は2回（打ち消される）。弱め合い条件は
$$ 2nd = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$最小膜厚は \(m = 0\) のとき
$$ 2 \times 1.38 \times d = \frac{1}{2} \times 550 \quad \Rightarrow \quad d = \frac{550}{4 \times 1.38} = \frac{550}{5.52} \fallingdotseq 99.6 \text{ nm} \fallingdotseq 100 \text{ nm} $$答え：\(d \fallingdotseq 100\) nm（可視光の波長の約 1/5）
シャボン玉の膜は重力で上部が薄く下部が厚くなります。膜の厚さによって強め合う波長が異なるため、場所ごとに違う色に見えます。膜が薄くなりすぎると干渉の条件を満たす可視光がなくなり、黒く見えた直後に割れます。
「等間隔の平行縞で膜厚を測る」——2枚のガラス板が作るくさび形の空気層は、等厚干渉の代表例。
2枚の平面ガラスを一端で密着させ、他端に薄い紙（厚さ \(D\)）をはさむと、くさび形の空気層ができます。真上から単色光（波長 \(\lambda\)）を当てると、空気層の上面と下面で反射した光が干渉し、等間隔の明暗縞が現れます。
この干渉は等厚干渉と呼ばれ、空気層の厚さが等しい場所が同じ干渉条件を満たすために起こります。くさび形では等厚線が直線状に並ぶため、平行縞になります。
空気層の厚さが \(d\) の位置では、光は空気層の上面（上のガラスの下面）で反射した光と、下面（下のガラスの上面）で反射した光が干渉します。空気層を往復するため、幾何学的な経路差は \(2d\) です。
下のガラス上面での反射（空気→ガラス：疎→密）で位相が \(\pi\) ずれるが、上のガラス下面での反射（ガラス→空気：密→疎）では位相変化なし。位相変化は1回のみなので、実質の経路差に \(\lambda/2\) が加わる。
接触端（\(d = 0\)）では \(m = 0\) で暗線条件 \(2d = 0 = 0 \cdot \lambda\) を満たすため、暗線になります。これは薄膜干渉における位相変化のずれが原因です。
ガラス板の長さを \(L\)、紙の厚さを \(D\) とすると、接触端からの距離 \(x\) における空気層の厚さは三角形の相似から
$$ d = \frac{D}{L} x $$暗線の位置は \(2d = m\lambda\) に \(d = Dx/L\) を代入して
$$ x_m = \frac{m\lambda L}{2D} $$したがって、隣り合う暗線の間隔 \(\Delta x\) は
縞の間隔は一定（等間隔の平行縞）であり、\(m\) に依存しません。縞の間隔を測定すれば波長 \(\lambda\) や紙の厚さ \(D\) を求められます。
「接触端は暗線」を忘れやすいポイントです。経路差 \(2d = 0\) だけ見ると強め合いのように思えますが、反射による位相のずれ \(\lambda/2\) があるため弱め合い（暗線）になります。
導出：縞の間隔 \(\Delta x = \lambda L / (2D)\) の詳細
Step 1：\(m\) 番目の暗線位置
暗線条件 \(2d_m = m\lambda\) と \(d_m = Dx_m/L\) より
$$ 2 \cdot \frac{D x_m}{L} = m\lambda \quad \Longrightarrow \quad x_m = \frac{m\lambda L}{2D} $$Step 2：隣り合う暗線の間隔
$$ \Delta x = x_{m+1} - x_m = \frac{(m+1)\lambda L}{2D} - \frac{m\lambda L}{2D} = \frac{\lambda L}{2D} $$明線の間隔も同じく \(\lambda L / (2D)\) で等間隔です。
条件：長さ \(L = 100\) mm のガラス板にナトリウムランプ（\(\lambda = 589\) nm）を当てたところ，暗線の間隔が \(\Delta x = 0.30\) mm だった。はさんだ紙の厚さ \(D\) を求める。
$$ \Delta x = \frac{\lambda L}{2D} \quad \Rightarrow \quad D = \frac{\lambda L}{2 \Delta x} $$数値を代入して計算すると、
$$ D = \frac{589 \times 10^{-9} \times 100 \times 10^{-3}}{2 \times 0.30 \times 10^{-3}} = \frac{5.89 \times 10^{-8}}{6.0 \times 10^{-4}} = 9.8 \times 10^{-5} \text{ m} \fallingdotseq 0.098 \text{ mm} $$答え：\(D \fallingdotseq 0.098\) mm \(\fallingdotseq 98\) \(\mu\)m
光学部品の製造では、基準となる平面ガラスと検査面を重ねて干渉縞を観察します。縞が等間隔の直線であれば表面は平坦、曲がっていれば凹凸があることがわかります。この方法で数十nm（光の波長の10分の1程度）の精度で平坦さを測定できます。
ナトリウムランプ（\(\lambda = 589\) nm）で照らしたとき、長さ \(L = 50\) mm のガラス板で縞間隔が \(\Delta x = 0.5\) mm だったとすると、紙の厚さは \(D = \lambda L / (2\Delta x) = 589 \times 10^{-6} \times 50 / (2 \times 0.5) = 0.029\) mm ≒ 29 μm と求められます。
「同心円の干渉縞でレンズの曲率を測る」——平凸レンズと平面ガラスの間にできる空気層が、美しいリング模様を生み出す。
曲率半径 \(R\) の平凸レンズを平面ガラスの上に凸面を下にして置くと、接触点を中心として空気層の厚さが同心円状に変化します。真上から単色光を当てると、空気層の上面（レンズ下面）と下面（平面ガラス上面）で反射した光が干渉し、同心円状の明暗縞（ニュートンリング）が現れます。
これはくさび形空気層の干渉と同じ原理ですが、空気層の厚さが中心からの距離の2乗に比例して変化するため、等厚線が同心円になり、リング状の干渉縞が現れます。
中心からの距離 \(r\) における空気層の厚さ \(d\) を求めます。レンズの球面の方程式は
$$ r^2 + (R - d)^2 = R^2 $$展開すると \(r^2 = 2Rd - d^2\)。ここで \(d \ll R\) なので \(d^2\) を無視して
くさび形空気層と同じく、レンズ下面での反射（ガラス→空気：密→疎）では位相変化なし、平面ガラス上面での反射（空気→ガラス：疎→密）では位相が \(\pi\) ずれます。位相変化は1回のみなので、実質の経路差に \(\lambda/2\) が加わります。
暗環（弱め合い）の条件 \(2d + \lambda/2 = (m + 1/2)\lambda\) を整理すると
$$ 2d = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots) $$\(d = r^2/(2R)\) を代入して
明環（強め合い）の条件は
\(r_m \propto \sqrt{m}\) なので、外側ほどリングの間隔が狭くなる。中心（\(m = 0\)）では \(d = 0\) だが、位相のずれにより暗点になる。これはくさび形の接触端が暗線になるのと同じ理由です。
導出：暗環半径 \(r_m = \sqrt{m\lambda R}\) の詳細
Step 1：空気層を往復する光の経路差は \(2d\)
Step 2：位相変化が1回なので実質の経路差は \(2d + \lambda/2\)
Step 3：弱め合い条件 \(2d + \lambda/2 = (m + 1/2)\lambda\) を整理：
$$ 2d = m\lambda $$Step 4：\(d = r^2/(2R)\) を代入：
$$ \frac{r_m^2}{R} = m\lambda \quad \Rightarrow \quad r_m = \sqrt{m\lambda R} $$
アイザック・ニュートンが最初にこのリングパターンを系統的に研究しましたが、光の粒子説を信じていたニュートンは干渉現象をうまく説明できませんでした。皮肉にも「ニュートンリング」は光の波動性を示す強力な証拠の一つとなりました。
条件：曲率半径 \(R = 2.0\) m の平凸レンズを平面ガラスに載せ，波長 \(\lambda = 589\) nm = \(5.89 \times 10^{-7}\) m のナトリウムランプで照らす。
\(m = 5\) 番目の暗環の半径を求める。
$$ r_5 = \sqrt{m\lambda R} = \sqrt{5 \times 5.89 \times 10^{-7} \times 2.0} = \sqrt{5.89 \times 10^{-6}} $$平方根を計算すると、
$$ r_5 = \sqrt{5.89} \times 10^{-3} \fallingdotseq 2.43 \times 10^{-3} \text{ m} = 2.4 \text{ mm} $$\(m = 10\) のとき：\(r_{10} = \sqrt{10 \times 5.89 \times 10^{-7} \times 2.0} = \sqrt{1.178 \times 10^{-5}} \fallingdotseq 3.43\) mm。
外側ほどリング間隔が狭くなる：\(r_{10} - r_5 = 3.43 - 2.43 = 1.0\) mm だが \(r_5 - r_0 = 2.43\) mm。
答え：\(r_5 \fallingdotseq 2.4\) mm
暗環の半径 \(r_m\) を測定し、既知の波長 \(\lambda\) を使えば \(R = r_m^2 / (m\lambda)\) からレンズの曲率半径を精密に求められます。また、2つの暗環の半径 \(r_m\) と \(r_n\) から \(R = (r_m^2 - r_n^2)/((m-n)\lambda)\) と求めることもでき、接触点の位置ずれの影響を避けられます。
「スリット1つでも光は広がる」——単スリットを通過した光は回折し、スクリーン上に特徴的な強度パターンを描く。
スリット幅 \(a\) の単スリットに平面波を入射すると、スクリーン上の強度分布は次の式で表されます。
最初の暗線（強度ゼロ）の条件は \(\sin\theta = \lambda / a\) です。スリット幅 \(a\) を小さくするほど中央極大が広がり、波長 \(\lambda\) を大きくしても同様に広がります。
スリット幅と波長を変えて、強度分布の3Dサーフェスを観察しましょう。高さと色が強度に対応します。マウスドラッグで視点を変えられます。
スリット幅 \(a\) が波長 \(\lambda\) に比べて十分大きいと回折はほとんど起こらず（幾何光学的な直進）、\(a\) が \(\lambda\) に近いほど回折が顕著になります。
二重スリットの干渉パターンは、実は単スリット回折パターンを「包絡線」として持ちます。二重スリットの干渉縞の明るさが端に向かって弱くなるのは、各スリット自体の回折効果によるものです。
幅 \(a\) のスリットからの回折パターンは、スリット各点からの波を積分して求めます。
$$ I(\theta) = I_0 \left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2, \quad \beta = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda} $$
これは sinc 関数の2乗で、暗線の条件 \(a\sin\theta = m\lambda\)（\(m = \pm1, \pm2, \ldots\)）を与えます。ヤングの二重スリットでは、各スリットの回折パターン（エンベロープ）と、2つのスリット間の干渉パターンが重ね合わさります。
大学入試で頻出のテーマと解法のポイントを整理しよう。
薄膜（シャボン玉・油膜・くさび形空気層）の干渉問題は入試の定番です。ポイントは①光路差の計算（膜の厚さ×2×屈折率）、②反射時の位相変化（屈折率の大きい媒質で反射すると半波長ずれる）、③明線・暗線の条件をこの2つから立式することです。ニュートンリングも同じ原理で、半径 \(r_m = \sqrt{m\lambda R}\) を導出します。
設定：スリット間隔 \(d\)，スリットからスクリーンまでの距離 \(L\)，スクリーン上の中心からの位置 \(x\)。
Step 1：経路差
二項近似または平行線近似から
$ \text{（経路差）} = \frac{d \cdot x}{L} $Step 2：明線・暗線の条件
経路差を干渉条件に代入する。
$ \text{明線：}\quad \frac{d}{L}x = m\lambda \quad \Longrightarrow \quad x_m = \frac{m\lambda L}{d} $同様に、暗線（弱め合い）の条件は経路差が半波長ずれた値になる。
$ \text{暗線：}\quad \frac{d}{L}x = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots) $Step 3：明線間隔
$ \Delta x = (m+1)\frac{\lambda L}{d} - m\frac{\lambda L}{d} = \frac{\lambda L}{d} $明線間隔は \(m\) に依存せず一定で、波長 \(\lambda\) に比例し、スリット間隔 \(d\) に反比例する。
設定：2枚の平面ガラスを一端で重ね、他端に薄い紙をはさんでくさび形の空気層をつくる。真上から単色光（波長 \(\lambda\)）を当てて上から見る。
Step 1：経路差を求める
空気層の厚さが \(d\) の位置では、光は空気層を往復するため経路差は \(2d\) である。
下のガラス上面での反射（空気→ガラス：疎→密）で位相が \(\pi\) ずれ、上のガラス下面での反射（ガラス→空気：密→疎）では位相は変わらない。したがって位相変化は1回のみ。
Step 2：明暗の条件
$ \text{明線：} \quad 2d = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots) $位相変化により明暗が通常の薄膜干渉と逆転し、暗線の条件は次のようになる。
$ \text{暗線：} \quad 2d = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots) $Step 3：縞の間隔
くさびの長さを \(L\)、紙の厚さを \(D\) とすると、三角形の相似から \(d/x = D/L\) であるから
$ \Delta x = \frac{\lambda L}{2D} $\(\Delta x\) は一定（等間隔の平行縞）であり、縞の間隔から波長や紙の厚さを求められる。接触端（\(d = 0\)）では位相変化により暗線となる。
設定：曲率半径 \(R\) の平凸レンズを平面ガラスに載せたとき、空気層の厚さ \(d\) と中心からの距離 \(r\) の関係。
Step 1：空気層の厚さ \(d\) を求める
レンズの球面の中心を原点とする座標で、球面の方程式は
$ r^2 + (R - d)^2 = R^2 $展開すると \(r^2 = 2Rd - d^2\)。ここで \(d \ll R\) なので \(d^2\) を無視すると
$ d = \frac{r^2}{2R} $Step 2：干渉条件を立てる
空気層を往復する光の経路差は \(2d\)。ここで2つの反射面での位相変化を考える：
1回だけ位相が \(\pi\) ずれるので、実質的な経路差は \(2d + \lambda/2\) となる。
Step 3：暗環の半径を求める
弱め合い（暗環）の条件 \(2d + \lambda/2 = (m + 1/2)\lambda\) を整理すると
$ 2d = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots) $\(d = r^2/(2R)\) を代入して
$ 2 \cdot \frac{r_m^2}{2R} = m\lambda \quad \Rightarrow \quad r_m^2 = m\lambda R $両辺の平方根をとると、第 \(m\) 番目の暗環の半径が得られる。
$ r_m = \sqrt{m\lambda R} $ポイント：中心（\(m = 0\)）では \(d = 0\) だが、位相のずれにより暗点になる。\(r_m \propto \sqrt{m}\) なので、外側ほどリングの間隔が狭くなる。