乾電池には正極と負極があるが，正極側のほうが「電位が高い」という——この節では，電位と電場の関係について理解しよう。
重力による位置エネルギーと同様に，静電気力を受ける物体についても位置エネルギーを考えることができる。 正電荷が電場の中で基準点まで移動するとき，静電気力は電荷に仕事をする。 したがって，電場中の電荷は静電気力による位置エネルギーをもっている。 力学で学んだ重力と同様に，静電気力は保存力である（仕事が経路によらず始点と終点だけで決まる）。 静電気力も保存力であり，仕事は経路によらない。
静電気力は保存力であり，仕事は経路に関係なく始点と終点の位置だけで決まる。重力と同じ性質である。
重力による位置エネルギーが物体の質量に比例するのと同様に， 静電気力による位置エネルギー \(U\)〔J〕は，物体のもつ電気量 \(q\)〔C〕に比例する。 そこで，電荷 \(+1\) C 当たりの静電気力による位置エネルギーを
と定義する。位置エネルギー \(U\) は電気量 \(q\) に比例するため，\(U/q\) は \(q\) によらない値になる。これを「場」そのものの性質として定義したのが電位 \(V\) である。
これをその点の電位（electric potential）という。 電位はスカラーであり，その単位にはボルト（記号 V）を用いる。 \(1\,\text{V} = 1\,\text{J/C}\) である。
| 重力の場合 | 静電気力の場合 | |
|---|---|---|
| 場の量 | 重力加速度 \(g\) | 電場 \(E\) |
| 位置エネルギー | \(U = mgh\) | \(U = qV\) |
| 「高さ」に相当する量 | 高さ \(h\) | 電位 \(V\) |
| 単位 | m | V（ボルト）= J/C |
| 力の向き | 高い→低い | 電位の高い→低い |
条件：電位 \(V = 200\) V の点に、電気量 \(q = 3.0 \times 10^{-6}\) C の正電荷を置いた。静電気力による位置エネルギーを求めよ。
$$ U = qV = 3.0 \times 10^{-6} \times 200 = 6.0 \times 10^{-4} \text{ J} $$答え：\(U = 6.0 \times 10^{-4}\) J = 0.60 mJ。正電荷を電位の高い点に置くほど位置エネルギーは大きくなる。
「電位」と「電圧」の違い
混同されがちですが、電位（electric potential）はある1点の値で基準点からの位置エネルギー差、電圧（voltage）は2点間の電位差 \(V_{AB} = V_A - V_B\) です。「電池の電圧は1.5V」とは、正極と負極の電位差が1.5Vという意味です。日常では電圧＝電位差の意味で使われます。
ヴァンデグラフ起電機は金属球の表面に電荷を蓄え、数百万ボルトの高電圧を作り出します。髪の毛が逆立つ実験で有名ですが、蓄えられる電荷量は小さいため電流は微小で、感電しても安全です。「高電圧＝危険」とは限らず、「大電流」が流れることが本当に危険なのです。
重力の場合，高い場所ほど位置エネルギーが大きい。 電位も同様に，正電荷にとって「電位が高い」場所ほど位置エネルギーが大きい。 そのため，電位を地形の「高さ」にたとえて可視化する方法（電位の山・谷）が広く使われている。
2点間の電位の差を「電位差（電圧）」という——電荷の移動に伴う仕事と電位差の関係を理解しよう。
電気量 \(q\)〔C〕の電荷が，電位 \(V_\text{A}\) の点 A から電位 \(V_\text{B}\) の点 B まで移動するとき， 静電気力がする仕事 \(W_\text{AB}\)〔J〕は，静電気力による位置エネルギーの差に等しい。
2点間の電位の差 \(V_\text{A} - V_\text{B}\) を改めて電位差（電圧） \(V\) と定義する。 すると仕事の式は \(W = qV\) と簡潔に書け，電位差さえ分かれば仕事をすぐ計算できる。 AB 間の電位の差を \(V = V_\text{A} - V_\text{B}\) とおくと
と表される。2点間の電位の差を電位差（electric potential difference） または電圧（voltage）という。
静電気力とつりあう外力を加えて電荷を A→B にゆっくり移動させる場合，外力がする仕事は \(-W_\text{AB}\) となる。
条件：電位 \(V_\text{A} = 120\) V の点 A から電位 \(V_\text{B} = 50\) V の点 B へ、電気量 \(q = 4.0 \times 10^{-3}\) C の正電荷を移動させる。静電気力がする仕事を求めよ。
$$ W_\text{AB} = q(V_\text{A} - V_\text{B}) = 4.0 \times 10^{-3} \times (120 - 50) $$括弧の中を計算して代入すると、
$$ = 4.0 \times 10^{-3} \times 70 = 0.28 \text{ J} $$答え：\(W_\text{AB} = 0.28\) J。正電荷は電位の高い方から低い方へ移動するとき、静電気力は正の仕事をする。
電池の「起電力」は，電池内部で負極から正極へ電荷を運ぶときに，電池が単位電荷あたりにする仕事に相当する。 つまり起電力は電池の両端の電位差と密接に関係する量である。
一様な電場の中で，電場の強さと電位差にはどのような関係があるだろうか。
正・負等量に帯電した2枚の広い金属板を接近させて平行に置くと，その間に生じる電場はほぼ一様な電場といえる。 強さ \(E\)〔N/C〕の一様な電場の中にある \(q\)〔C〕の正電荷が， 電場の向きにそって A→B に距離 \(d\)〔m〕だけ移動するとき， 静電気力 \(F = qE\) のする仕事は \(W_\text{AB} = qEd\) である。
\(W_\text{AB} = qV\) の式から，AB 間の電位差を \(V\) とすると，次の式が成りたつ。
強さ \(E\) の一様な電場中で，電荷 \(q\) が電場の向きに距離 \(d\) だけ移動するとき， 静電気力 \(F = qE\) がする仕事は
$$ W = Fd = qEd $$一方，電位差を \(V\) とすると \(W = qV\) であるから，
$$ qV = qEd \quad \Rightarrow \quad V = Ed $$が得られる。
電場の強さの単位 N/C は，この式から V/m も用いられる。 すなわち \(1\,\text{V/m} = 1\,\text{N/C}\) である。 電場は電位の高いほうから低いほうへ向かう。 電場の強さは，電場の方向の1 m 当たりの電位差，すなわち電位の傾きを表す。
電場の向きは電位が高い→低い方向。正電荷が受ける力の向きと一致する。
条件：間隔 \(d = 2.0 \times 10^{-2}\) m の平行板に電圧 \(V = 500\) V を加えた。極板間の電場の強さを求めよ。
$$ E = \frac{V}{d} = \frac{500}{2.0 \times 10^{-2}} = 2.5 \times 10^{4} \text{ V/m} $$答え：\(E = 2.5 \times 10^{4}\) V/m = 25 kV/m。電場の向きは正極板から負極板へ（電位の高い方から低い方へ）。
コピー機やレーザープリンターでは，感光ドラムの表面に一様な電場を作り，トナー粒子を引き寄せて印刷する。 静電気を利用した技術は，日常の多くの場面で活躍している。
電場と電位の関係を学んだ。ここでは点電荷がつくる電位を具体的に求めよう。電位は距離に反比例する——電場の \(1/r^2\) と比較して理解する。
電荷のまわりの電場は，電荷に近いほど強い。 電気量 \(Q\)〔C〕の点電荷から距離 \(r\)〔m〕離れた点における電位 \(V\)〔V〕は， 電位の基準の位置を無限遠にとると，次のように表される。
電荷 \(Q\) から距離 \(r\) の点まで、電荷 \(+1\) C を無限遠から運ぶときの仕事を考える。 電荷 \(Q\) がつくる電場は \(E = kQ/r'^2\)（\(r'\) は \(Q\) からの距離）であるから、 無限遠を基準とした電位は
$$ V(r) = -\int_{\infty}^{r} (-E)\,dr' = \int_{\infty}^{r} \frac{kQ}{r'^2}(-dr') = kQ\left[\frac{1}{r'}\right]_{\infty}^{r} = \frac{kQ}{r} $$途中の符号について：電場は \(Q\) から離れる向き（\(r'\) 増加方向）を正とするが、 積分は \(\infty \to r\)（\(r'\) 減少方向）に行うため負号が現れ、最終的に \(V = kQ/r\) が得られる。
正電荷のまわりの電位は正で，近いほど高い。 負電荷のまわりの電位は負で，近いほど低い（負の大きさが大きい）。 電場の強さが距離の2乗に反比例する（\(\propto 1/r^2\)）のに対し，電位は距離に反比例する（\(\propto 1/r\)）点が大きな違いである。
電場 \(E = kQ/r^2\) は分母が \(r^2\)，電位 \(V = kQ/r\) は分母が \(r\)。この違いに注意。
| 電場の強さ \(E\) | 電位 \(V\) | |
|---|---|---|
| 式 | \(E = k\dfrac{Q}{r^2}\) | \(V = k\dfrac{Q}{r}\) |
| 距離依存性 | 距離の2乗に反比例 | 距離に反比例 |
| 量の種類 | ベクトル | スカラー |
| 重ね合わせ | ベクトル合成 | 単純な加減算 |
| 単位 | N/C = V/m | V（ボルト） |
| r を2倍にすると | 1/4 になる | 1/2 になる |
電気量 \(Q\) の点電荷から距離 \(r\) の点に電気量 \(q\) の別の点電荷を置くと， \(U = qV\) より，静電気力による位置エネルギー \(U\)〔J〕は次のようになる。
同符号の電荷（\(qQ > 0\)）では \(U > 0\) となる（斥力に逆らって接近させるには外力が仕事をする必要がある）。 異符号の電荷（\(qQ < 0\)）では \(U < 0\) となる（引力により自然に接近するため，無限遠を基準にとると位置エネルギーは負になる）。
条件：電気量 \(Q = 6.0 \times 10^{-9}\) C の正電荷から距離 \(r = 0.30\) m の点の電位を求めよ。また、その点に \(q = 2.0 \times 10^{-9}\) C の正電荷を置いたときの位置エネルギーを求めよ。
電位は
$$ V = k\frac{Q}{r} = 9.0 \times 10^{9} \times \frac{6.0 \times 10^{-9}}{0.30} = 9.0 \times 10^{9} \times 2.0 \times 10^{-8} = 180 \text{ V} $$位置エネルギーは
$$ U = qV = 2.0 \times 10^{-9} \times 180 = 3.6 \times 10^{-7} \text{ J} $$答え：\(V = 180\) V、\(U = 3.6 \times 10^{-7}\) J。\(U > 0\) は同符号の斥力に逆らって接近させたことを意味する。
万有引力による位置エネルギーは \(U = -G\dfrac{Mm}{r}\) であり， 静電気力による位置エネルギー \(U = k\dfrac{qQ}{r}\) と形が似ている。 ただし万有引力は常に引力なので符号が負， 静電気力は引力・斥力の両方があるので \(qQ\) の符号で正にも負にもなる。
2点 A, B に電荷があるとき，点 P における電位は， A, B に各電荷が単独にあるときに P につくる電位を足しあわせると得られる。 これを電位の重ね合わせという。
電位はスカラーなので，重ね合わせではそのまま足すだけでよい（ベクトルの合成は不要）。電場（ベクトル）の重ね合わせとの違いに注意。
電気量 \(+Q\) の電荷と \(-Q\) の電荷が距離 \(2a\) だけ離れて置かれているとき， 2つの電荷を結ぶ線分の中点 M での電位を求める。 中点から各電荷までの距離はどちらも \(a\) であるから，
$$ V_\text{M} = k\frac{Q}{a} + k\frac{-Q}{a} = k\frac{Q}{a} - k\frac{Q}{a} = 0 $$中点の電位は \(0\) となる。このように，異符号の等量電荷が対称に配置された場合， 2電荷を結ぶ直線の垂直二等分面（2次元では垂直二等分線）上の全ての点で電位が 0 になる。 電場がゼロでも電位がゼロになれることに注意しよう（逆は成り立たない）。
電位が等しい点を結ぶと面（線）ができる——等電位面と電気力線の関係を視覚的に理解しよう。
電位が等しい点を立体的に連ねてできる面を等電位面（equipotential surface）といい， 平面上で連ねてできる線を等電位線（equipotential line）という。
点電荷のまわりでは \(V = kQ/r\) なので，等電位面は電荷を中心とする同心球面，等電位線は同心円になる。 等電位線を一定の電位差ごとにかくと，等電位線の間隔が密な所ほど電位の傾きが大きい。 これは地図の等高線と同じ考え方である。
電気力線に垂直な方向には静電気力の成分がないから，その方向に電荷が動いても静電気力は仕事をしない。 したがって，電気力線に垂直な方向には電位は変化しないので
また，等電位線の間隔が密な所ほど電場が強い。
地図の等高線が密な所ほど斜面が急で，ボールが速く転がるように， 等電位線が密な所ほど電場が強く，電荷が受ける力が大きい。 3D の電位分布を「山」や「谷」として描くと，正電荷の周りは山，負電荷の周りは谷になる。
電場中を運動する荷電粒子には，力学的エネルギー保存則が成り立つ。
電場の中の電荷は静電気力を受けながら運動する。 質量 \(m\)〔kg〕，電気量 \(q\)〔C〕の荷電粒子が，電位 \(V_\text{A}\) の点 A を速さ \(v_\text{A}\) で通過し， 電位 \(V_\text{B}\) の点 B を速さ \(v_\text{B}\) で通過するとき， 静電気力のみを受けるならば次のエネルギー保存則が成り立つ。
左辺が A での運動エネルギー＋位置エネルギー，右辺が B でのそれであり， 重力下の力学的エネルギー保存則 \(\frac{1}{2}mv_\text{A}^2 + mgh_\text{A} = \frac{1}{2}mv_\text{B}^2 + mgh_\text{B}\) と形が同じである。
\(q\) が負（例えば電子）の場合は，\(qV\) の符号が反転するため，低電位から高電位へ向かって加速される。 電子銃では，電子（負電荷）が低電位の陰極から高電位の陽極へ向かって加速されるのはこのためである。
重力の場合の \(mgh\) に対応するのが，静電気力の場合の \(qV\) である。 正電荷は電位の高い所→低い所へ加速し，負電荷は低い所→高い所へ加速する。
| 重力の場合 | 静電気力の場合 | |
|---|---|---|
| 運動エネルギー | \(\frac{1}{2}mv^2\) | \(\frac{1}{2}mv^2\) |
| 位置エネルギー | \(mgh\) | \(qV\) |
| 保存則 | \(\frac{1}{2}mv_\text{A}^2 + mgh_\text{A}\) | \(\frac{1}{2}mv_\text{A}^2 + qV_\text{A}\) |
| \(= \frac{1}{2}mv_\text{B}^2 + mgh_\text{B}\) | \(= \frac{1}{2}mv_\text{B}^2 + qV_\text{B}\) | |
| 加速する向き | 高い→低い | 正電荷：V 高→低 負電荷：V 低→高 |
条件：静止した陽子（\(q = 1.6 \times 10^{-19}\) C、\(m = 1.67 \times 10^{-27}\) kg）を電位差 \(V = 500\) V で加速した。加速後の速さを求めよ。
エネルギー保存則より、失った位置エネルギーが運動エネルギーに変わる。
$$ qV = \frac{1}{2}mv^2 $$\(v\) について解いて数値を代入すると、
$$ v = \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 500}{1.67 \times 10^{-27}}} $$分子を整理して平方根を計算すると、
$$ = \sqrt{\frac{1.6 \times 10^{-16}}{1.67 \times 10^{-27}}} = \sqrt{9.58 \times 10^{10}} \fallingdotseq 3.1 \times 10^{5} \text{ m/s} $$答え：\(v \fallingdotseq 3.1 \times 10^{5}\) m/s。光速の約0.1%に相当する。陽子は電子より質量が約1800倍大きいので、同じ電位差でも速さはずっと小さくなる。
粒子物理学の加速器では，荷電粒子を高い電位差で加速する。 例えばテレビのブラウン管では数万ボルト，大型加速器では数兆電子ボルトもの エネルギーを与えて粒子をほぼ光速まで加速する。 エネルギーの単位「電子ボルト（eV）」は，電子1個が1 V の電位差で得るエネルギーに由来する。
電位 \(V\) は電場 \(\vec{E}\) の線積分で定義されます。
$$ V(r) = -\int_{\infty}^{r} \vec{E}\cdot d\vec{r} $$
逆に、電場は電位の勾配（gradient）の負符号です。1次元では：
$$ E = -\frac{dV}{dx} $$
等電位面に垂直な方向が電場の向きで、電位の変化率が大きいほど電場が強くなります。点電荷 \(Q\) の場合：
$$ V = -\int_{\infty}^{r} \left(-\frac{kQ}{r'^2}\right)dr' = \frac{kQ}{r} $$
大学入試で頻出のテーマと解法のポイントを整理しよう。
入試ではV-xグラフを見て、電場の向きと大きさを答える問題が頻出です。\(E = -dV/dx\) なので、グラフの傾きが負（右下がり）なら電場は正（右向き）、傾きが急なほど電場が強いことを意味します。平行板コンデンサー内のV-xグラフが直線になるのは、電場が一様だからです。
V-xグラフが与えられたとき、電場の大きさと向きを求める手順：
① グラフの傾き \(\Delta V / \Delta x\) を計算する。
② 電場の大きさ \(E = -\dfrac{\Delta V}{\Delta x}\)（傾きの絶対値）。
③ \(V\) が減少する方向（グラフが右下がりの方向）が電場の向き。
例えば，\(x = 0\) で \(V = 100\) V，\(x = 0.5\) m で \(V = 50\) V のとき，
$ E = -\frac{50 - 100}{0.5 - 0} = -\frac{-50}{0.5} = 100 \text{ V/m（\(x\)の正方向）}$静止している荷電粒子（電気量 \(q\)，質量 \(m\)）を電位差 \(V\) で加速したときの速さを求める。 エネルギー保存則より，
$ qV = \frac{1}{2}mv^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2qV}{m}} $数値例：電子（\(q = 1.6 \times 10^{-19}\) C，\(m = 9.1 \times 10^{-31}\) kg）を \(V = 1000\) V で加速する場合，
$ v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1000}{9.1 \times 10^{-31}}} \fallingdotseq 1.9 \times 10^7 \text{ m/s} $これは光速（\(3 \times 10^8\) m/s）の約 6 % に相当する。
設定：電気量 \(Q\) の点電荷が原点にある。電気量 \(q\) の試験電荷を、距離 \(r_1\) の点 A から距離 \(r_2\) の点 B まで移動させるときに静電気力がする仕事 \(W\) を求めよ。
解法：A, B の電位はそれぞれ \(V_\text{A} = k\dfrac{Q}{r_1}\)，\(V_\text{B} = k\dfrac{Q}{r_2}\) である。静電気力がする仕事は
$ W = q(V_\text{A} - V_\text{B}) = kQq\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) $ポイント：電位はスカラーなので、経路によらず始点と終点の電位だけで仕事が決まる。\(r_1 < r_2\) なら \(V_\text{A} \gt V_\text{B}\) であり、正電荷を遠ざけるとき静電気力は正の仕事をする（斥力の場合）。