「水路を流れる水のように電流が流れる」——直列接続と並列接続で合成抵抗はどう変わるのか？
複数の抵抗を一列につないだ接続を直列接続（series connection）という。 直列接続では水路が1本道であるのと同様に， どの抵抗にも同じ大きさの電流 \(I\) が流れる。
抵抗 \(R_1\)，\(R_2\) に加わる電圧をそれぞれ \(V_1\)，\(V_2\) とすると， オームの法則より \(V_1 = R_1 I\)，\(V_2 = R_2 I\) である。 電源の電圧 \(V\) は各抵抗に加わる電圧の和に等しいから，
$$ V = V_1 + V_2 = R_1 I + R_2 I = (R_1 + R_2) I $$2つの抵抗を1つの抵抗に置きかえたものを合成抵抗という。
一般に，\(n\) 個の抵抗 \(R_1, R_2, \cdots, R_n\) を直列接続したときの合成抵抗は
$$ R = R_1 + R_2 + \cdots + R_n $$直列接続では電流は共通（\(I\)），電圧は和（\(V = V_1 + V_2\)）。 合成抵抗は各抵抗の和であり，どの抵抗よりも大きくなる。
複数の抵抗を並べてつないだ接続を並列接続（parallel connection）という。 並列接続では水路が分岐するのと同様に，各抵抗に同じ電圧 \(V\) が加わる。
各抵抗に流れる電流は \(I_1 = \dfrac{V}{R_1}\)，\(I_2 = \dfrac{V}{R_2}\) であり， 全体の電流はその和だから，
$$ I = I_1 + I_2 = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} = \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) V $$この式から，並列接続の合成抵抗 \(R\) は次のように表される。
一般に，\(n\) 個の抵抗を並列接続したときの合成抵抗は
$$ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n} $$| 直列接続 | 並列接続 | |
|---|---|---|
| 電流 | 共通（同じ \(I\)） | 和（\(I = I_1 + I_2\)） |
| 電圧 | 和（\(V = V_1 + V_2\)） | 共通（同じ \(V\)） |
| 合成抵抗 | \(R = R_1 + R_2\) | \(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\) |
| 大きさ | 各抵抗より大きい | 各抵抗より小さい |
| 例 | クリスマスの直列ライト | 家庭のコンセント |
直列：電流が共通 \(I\) なので，\(V = V_1 + V_2 = R_1 I + R_2 I = (R_1 + R_2)I\)。 合成抵抗 \(R\) とすると \(V = RI\) だから \(R = R_1 + R_2\)。
並列：電圧が共通 \(V\) なので，\(I = I_1 + I_2 = \dfrac{V}{R_1} + \dfrac{V}{R_2} = \left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right) V\)。 合成抵抗 \(R\) とすると \(I = \dfrac{V}{R}\) だから \(\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\)。
条件：\(R_1 = 6.0\) \(\Omega\) と \(R_2 = 3.0\) \(\Omega\) の合成抵抗を直列・並列それぞれで求めよ。
直列：
$$ R = R_1 + R_2 = 6.0 + 3.0 = 9.0 \text{ \(\Omega\)} $$次に並列接続の場合、逆数の和で合成抵抗を求める。
$$ \frac{1}{R} = \frac{1}{6.0} + \frac{1}{3.0} = \frac{1 + 2}{6.0} = \frac{3}{6.0} = \frac{1}{2.0} \quad \Rightarrow \quad R = 2.0 \text{ \(\Omega\)} $$答え：直列 9.0 \(\Omega\)、並列 2.0 \(\Omega\)。並列の合成抵抗は各抵抗より小さくなる。
家庭の電気配線はすべて並列接続になっている。 そのため，どのコンセントにも同じ電圧（AC100V）が供給される。 もし直列接続だったら，電気機器を増やすたびに各機器に加わる電圧が下がり， 正常に動作しなくなってしまう。
「複雑な回路でも解ける万能ツール」——電気量保存とオームの法則を拡張した2つの法則を学ぶ。
単純な直列・並列では解けない回路に対して， キルヒホッフの法則（Kirchhoff's laws）が用いられる。 この法則は2つの法則からなる。
これは電荷の保存則から導かれる。交点に電荷がたまり続けることはないから， 流入する電流と流出する電流は常に等しい。
閉じた経路を一周すると，電位は元の値に戻らなければならない。 したがって，電源が押し上げる電位（起電力）と， 抵抗で降下する電位（電圧降下 \(RI\)）の和が一致する。
キルヒホッフの第2法則を適用するとき，まず閉じた経路を一周する向きを決める（どちらでもよい）。
第1法則では電流の向きをどちらかに仮定して計算し， 結果が負になった場合は仮定と逆向きに電流が流れていることを意味する。
第1法則は各交点で1つの式，第2法則は各閉路で1つの式を立てる。 未知数の数だけ独立な式を立てて連立方程式を解けば，すべての電流が求まる。
Step 1：各枝路の電流の大きさと向きを仮定する（未知数 \(I_1, I_2, \cdots\)）。
Step 2：回路中の交点について第1法則を立てる（流入 ＝ 流出）。
Step 3：閉じた経路を1つ選び，一周する向きを決めて第2法則を立てる（起電力の和 ＝ 電圧降下の和）。
Step 4：未知数の数だけ独立な式を立て，連立方程式を解く。
電流の値が負になれば，仮定した向きと逆向きに電流が流れている。
キルヒホッフの法則の使い方
キルヒホッフの法則は2つあります。1つ目の電流則（接合点則）では、任意の分岐点に流入する電流の和 = 流出する電流の和です。2つ目の電圧則（閉路則）では、任意の閉回路を一周したとき、起電力の和 = 電圧降下の和です。未知数の数だけ独立な式を立てれば連立方程式として解けます。
理想的な電池（内部抵抗 0）は存在しません。実際の電池は起電力 \(E\) と内部抵抗 \(r\) をもち、端子電圧は \(V = E - Ir\) です。大電流を流すほど端子電圧は下がります。バッテリーが弱くなると内部抵抗が増え、端子電圧が低下するのはこのためです。
条件：起電力 \(E = 12\) V の電池に、\(R_1 = 4.0\) \(\Omega\) と \(R_2 = 6.0\) \(\Omega\) を直列に接続した。各抵抗の電圧降下を求めよ。
第2法則（閉路則）より
$$ E = R_1 I + R_2 I = (R_1 + R_2)I $$これを \(I\) について解くと、
$$ I = \frac{E}{R_1 + R_2} = \frac{12}{4.0 + 6.0} = 1.2 \text{ A} $$各抵抗の電圧降下は
$$ V_1 = R_1 I = 4.0 \times 1.2 = 4.8 \text{ V}, \quad V_2 = R_2 I = 6.0 \times 1.2 = 7.2 \text{ V} $$答え：\(V_1 = 4.8\) V、\(V_2 = 7.2\) V。確認：\(V_1 + V_2 = 12\) V = \(E\) で第2法則が成り立つ。
グスタフ・キルヒホッフ（G. R. Kirchhoff, 1824-1887）はドイツの物理学者。 回路の法則を1845年にわずか21歳で発表した。 また，ブンゼンとともに分光学の基礎を築き，セシウムとルビジウムを発見した。 黒体放射の法則「キルヒホッフの放射法則」でも知られる。
「電池に電流を流すと端子電圧が下がるのはなぜ？」——電池の内部にも抵抗があることを理解しよう。
電池は化学反応により電極間に電位差をつくりだす。 電流が流れていない状態での電池の電極間の電位差を，電池の起電力（electromotive force, EMF）\(E\)〔V〕という。
電池から電流 \(I\) が流れると，電池の内部にも抵抗（内部抵抗 \(r\)）があるため， 内部で電圧降下 \(rI\) が生じる。 その結果，電池の端子間の電圧（端子電圧）\(V\) は起電力より小さくなる。
電流が流れていないとき（\(I = 0\)）は \(V = E\) となり，端子電圧は起電力に等しい。 電流が大きくなるほど内部での電圧降下 \(rI\) が大きくなり，端子電圧は下がる。
外部に抵抗 \(R\) をつないだ回路全体にキルヒホッフの第2法則を適用すると，
$$ E = RI + rI = (R + r)I $$両辺を \((R + r)\) で割って電流について解くと、
$$ I = \frac{E}{R + r} $$起電力 \(E\) と端子電圧 \(V\) は異なる量である。 \(E\) は電池固有の値だが，\(V\) は電流に依存して変化する。 電流を流していないときだけ \(V = E\) となる。
起電力 \(E\)，内部抵抗 \(r\) の電池に外部抵抗 \(R\) を接続したとき， 外部抵抗での消費電力 \(P\) は
$$ P = I^2 R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2} $$この \(P\) が最大になるのは \(R = r\) のときであり，最大値は \(P_{\max} = \dfrac{E^2}{4r}\) となる。
\(P = \dfrac{E^2 R}{(R + r)^2} = \dfrac{E^2}{(\sqrt{R} + \frac{r}{\sqrt{R}})^2 - 2r + 2r}\) を変形すると \(P = \dfrac{E^2}{\left(\sqrt{R} - \dfrac{r}{\sqrt{R}}\right)^2 + 4r}\) 。 分母は \(\sqrt{R} = \dfrac{r}{\sqrt{R}}\)，つまり \(R = r\) のとき最小になり， \(P\) は最大値 \(\dfrac{E^2}{4r}\) をとる。
条件：起電力 \(E = 1.5\) V、内部抵抗 \(r = 0.50\) \(\Omega\) の電池に外部抵抗 \(R = 4.5\) \(\Omega\) を接続した。電流と端子電圧を求めよ。
$$ I = \frac{E}{R + r} = \frac{1.5}{4.5 + 0.50} = \frac{1.5}{5.0} = 0.30 \text{ A} $$求めた電流を使って端子電圧を計算すると、
$$ V = E - rI = 1.5 - 0.50 \times 0.30 = 1.5 - 0.15 = 1.35 \text{ V} $$答え：\(I = 0.30\) A、\(V = 1.35\) V。内部抵抗で 0.15 V の電圧降下が生じ、端子電圧は起電力より小さい。
自動車の鉛蓄電池は起電力約12Vだが，エンジン始動時には数百アンペアの大電流が流れる。 内部抵抗が大きいと端子電圧が大きく低下し，セルモーターが回らなくなる。 古いバッテリーは内部抵抗が増大しているため，冬場にエンジンがかかりにくくなるのはこのためだ。
直列・並列の基本を組み合わせると、より高度な回路が理解できる。ホイートストンブリッジはその代表例である。「未知の抵抗を精密に測定する巧みな回路」——ブリッジ回路の平衡条件を理解しよう。
未知の抵抗値 \(R_x\) を精密に測定する回路として，ホイートストンブリッジ（Wheatstone bridge）がよく用いられる。 抵抗 \(R_1\)，\(R_2\)，\(R_3\)，\(R_x\) と検流計G，電池Eを図のように接続する。
\(R_3\) の値を調節し，検流計Gに電流が流れなくなったとき（ブリッジの平衡），次の関係が成りたつ。
したがって，\(R_1\)，\(R_2\)，\(R_3\) の値から \(R_x\) を求めることができる。
$$ R_x = \frac{R_2 R_3}{R_1} $$検流計に電流が流れないとき，\(R_1\) と \(R_3\) に流れる電流を \(I_1\)， \(R_2\) と \(R_x\) に流れる電流を \(I_2\) とする。 検流計の両端は等電位なので，
辺々割ると
$$ \frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_x} \quad \Longrightarrow \quad \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x} $$ホイートストンブリッジは，検流計に流れる電流を0にして測定を行う。 そのため検流計の内部抵抗の影響を受けず，抵抗値を精密に測定できる。
ホイートストンブリッジを応用した装置にメートルブリッジがある。 太さが一様で長さ1.00mの抵抗線ab上で接点cを動かし， 検流計に電流が流れない位置を見つける。 抵抗線のac間とcb間の抵抗値の比は長さの比に等しくなるので， ホイートストンブリッジの関係式から未知の抵抗値を求めることができる。
条件：ホイートストンブリッジで \(R_1 = 100\) \(\Omega\)、\(R_2 = 200\) \(\Omega\)、\(R_3 = 150\) \(\Omega\) のとき平衡した。未知抵抗 \(R_x\) を求めよ。
平衡条件より
$$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x} \quad \Rightarrow \quad R_x = \frac{R_2 \times R_3}{R_1} = \frac{200 \times 150}{100} = 300 \text{ \(\Omega\)} $$答え：\(R_x = 300\) \(\Omega\)。対辺の積が等しい：\(R_1 R_x = R_2 R_3 = 30000\) と確認できる。
ホイートストンブリッジの原理は，ひずみゲージ（構造物の変形測定）， 温度センサー（白金測温抵抗体），圧力センサーなど多くの精密測定に応用されている。 微小な抵抗変化をブリッジの不平衡電圧として高感度に検出できるため， 工学・医療・航空宇宙など幅広い分野で使われている。
「電流計は直列に，電圧計は並列に」——測定器の接続方法と測定範囲の拡大について学ぶ。
電流を測定する電流計は，回路に直列に接続する。 電流計の内部にも抵抗（内部抵抗）があり， 回路に接続することで電流が変化してしまう。 この変化を小さくするため，電流計の内部抵抗は小さくつくられている。
電流計の測定範囲を \(n\) 倍に広げるには， 電流計に並列に抵抗を接続して分岐路をつくればよい。 この抵抗を分流器（shunt）という。 電流計の内部抵抗を \(r_\text{A}\) とすると，分流器の抵抗値は
分流器：測定範囲を \(n\) 倍にするとき，全電流 \(nI_0\) のうち電流計には \(I_0\) だけ流すため，分流器には \((n-1)I_0\) を流す。並列なので電圧が等しいから
$$ r_\text{A} \cdot I_0 = R_\text{A} \cdot (n-1)I_0 \quad \Rightarrow \quad R_\text{A} = \frac{r_\text{A}}{n-1} $$
倍率器：測定範囲を \(n\) 倍にするとき，全電圧 \(nV_0\) を電圧計と倍率器で分担する。直列なので電流が等しいから
$$ nV_0 = I(r_\text{V} + R_\text{V}), \quad V_0 = Ir_\text{V} \quad \Rightarrow \quad R_\text{V} = (n-1)r_\text{V} $$
電圧（電位差）を測定する電圧計は，回路に並列に接続する。 電圧計を通じて流れる電流をなるべく小さくするため， 電圧計の内部抵抗は大きくつくられている。
電圧計の測定範囲を \(n\) 倍に広げるには， 電圧計に直列に抵抗を接続すればよい。 この抵抗を倍率器（multiplier）という。 電圧計の内部抵抗を \(r_\text{V}\) とすると，倍率器の抵抗値は
| 電流計 | 電圧計 | |
|---|---|---|
| 接続方法 | 直列 | 並列 |
| 内部抵抗 | 小さい | 大きい |
| 測定範囲拡大 | 分流器（並列） | 倍率器（直列） |
| 拡大用抵抗 | \(\frac{r_\text{A}}{n-1}\) | \((n-1)r_\text{V}\) |
条件1：内部抵抗 \(r_\text{A} = 10\) \(\Omega\) の電流計の測定範囲を5倍にする分流器の抵抗を求めよ。
$$ R_\text{A} = \frac{r_\text{A}}{n - 1} = \frac{10}{5 - 1} = \frac{10}{4} = 2.5 \text{ \(\Omega\)} $$条件2：内部抵抗 \(r_\text{V} = 5.0\) k\(\Omega\) の電圧計の測定範囲を10倍にする倍率器の抵抗を求めよ。
$$ R_\text{V} = (n - 1) r_\text{V} = (10 - 1) \times 5.0 = 45 \text{ k\(\Omega\)} $$答え：分流器 2.5 \(\Omega\)、倍率器 45 k\(\Omega\)。分流器は小さい抵抗、倍率器は大きい抵抗であることに注意。
現在広く使われているデジタルマルチメーターの電圧測定モードでは， 入力抵抗が10M\(\Omega\)以上あり，回路への影響はほとんど無視できる。 しかし，高インピーダンス回路の測定では依然として注意が必要である。 オシロスコープのプローブ（通常1M\(\Omega\) or 10M\(\Omega\)）も同様の考慮が必要だ。
「電流を流さずに起電力を測る」——電位差計の原理を学ぶ。
電池の起電力を精密に測定する装置に電位差計（potentiometer）がある。 電位差計は，電源，一様な抵抗線ab，検流計Gからなる。
起電力が既知の標準電池 \(E_\text{S}\) を接続し，抵抗線ab上で検流計に電流が流れない位置cを見つける。 このとき acの長さを \(l_\text{S}\) とすると，\(E_\text{S}\) には電流が流れていないので
$$ E_\text{S} = (r \times l_\text{S}) \times I $$次に，未知の電池 \(E_\text{X}\) に切り替えて同様に点c'の位置を求め，ac'の長さを \(l_\text{X}\) とすると
$$ E_\text{X} = (r \times l_\text{X}) \times I $$これらの比をとると，電流 \(I\) や抵抗線の抵抗率 \(r\) が消去され，
電位差計の利点は，測定時に被測定電池に電流を流さないため， 内部抵抗による電圧降下の影響を受けずに起電力を直接測定できることである。
電位差計（ポテンショメーター）は，検流計の電流を0にして測定する点でホイートストンブリッジと同じ発想。 電池に電流を流さないため，起電力そのものを精密に測定できる。
大学入試で頻出のテーマと解法のポイントを整理しよう。
複雑な回路では，キルヒホッフの第1法則（分岐点で電流の和＝0）と 第2法則（閉回路で起電力の和＝電圧降下の和）を連立して解く。
【解法の手順】
① 各枝に電流の向きを仮定し，\(I_1\)，\(I_2\)，\(I_3\) … と名付ける
② 分岐点ごとに第1法則を書く：\(I_1 = I_2 + I_3\)
③ 独立な閉回路ごとに第2法則を書く：\(E = I_1 R_1 + I_2 R_2\)
④ 連立方程式を解いて各電流を求める
起電力 \(E\)，内部抵抗 \(r\) の電池に外部抵抗 \(R\) を接続したとき， 回路を流れる電流と端子電圧を求める。
$ I = \frac{E}{R + r}, \quad V = E - Ir = \frac{ER}{R + r} $ポイント：\(R\) が大きいほど端子電圧 \(V\) は起電力 \(E\) に近づく。 \(R \to \infty\)（開回路）で \(V = E\)，\(R = 0\)（短絡）で \(V = 0\) となる。
ホイートストンブリッジ回路は入試の定番テーマです。\(\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}\) のとき検流計に電流が流れない（平衡条件）。この条件が成り立つとき中央の抵抗は無視でき、回路が簡単になります。非平衡時はキルヒホッフの法則で連立方程式を立てます。
設定：抵抗 \(R_1, R_2, R_3, R_x\) をブリッジ型に接続し、検流計に電流が流れない条件を求める。
導出：検流計に電流が流れないとき、c, d 点は等電位。
(1) を (2) で割ると
$ \frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_x} \quad \Rightarrow \quad R_1 R_x = R_2 R_3 $これを \(R_x\) について解くと、未知抵抗の値が求まる。
$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x} \quad \Leftrightarrow \quad R_x = \frac{R_2 R_3}{R_1} $ポイント：「対角の積が等しい」（\(R_1 R_x = R_2 R_3\)）と覚えると使いやすい。平衡時は検流計の内部抵抗に依存しないため、精密な測定が可能。