物理 > 第4編 電気と磁気 > 第4章 電磁誘導と電磁波
「コンデンサーやコイルを含む回路では、電圧と電流の位相がずれる？」——交流回路では各素子の性質によって位相差が生じ、それが回路の振る舞いを決める。
抵抗に交流電圧を加えたとき、流れる電流と電圧はどちらも正弦波で表せる。 コイルやコンデンサーを含む回路では、電流の位相と電圧の位相がずれることが知られている。
電圧の位相が電流の位相に対して位相差 \(\phi\) だけ進んでいるとして、
と表す。最大値 \(V_0\) と \(I_0\) の関係、および位相差 \(\phi\) を明確にすることが交流回路の解析の基本となる。
抵抗 \(R\) に交流を流す場合、オームの法則 \(V_0 = RI_0\) がそのまま成立する。 また、電圧と電流の位相差 \(\phi = 0\) である。
抵抗に加わる電圧 \(V_R\) と、抵抗を流れる電流 \(I_R\) は同位相である。 つまり、電圧が最大のとき電流も最大になる。
交流電圧や交流電流の時間変化を考えるとき、一定の角速度で回転するベクトルを考えると便利である。 ベクトルの大きさは交流電圧・電流の最大値、回転角は位相に対応している。 回転するベクトルの \(y\) 成分が、実際の交流電圧・電流の瞬間値を表す。
抵抗ではオームの法則がそのまま成り立つが、コイルでは自己誘導によって電流の変化を妨げる逆起電力が発生する。そのため周波数が高いほど電流が流れにくくなる——コイルが交流に対して「抵抗」のように振る舞う仕組みを理解しよう。
コイルに交流を流すと、電流の変化を打ち消すような向きに誘導起電力が生じるため、電流が流れにくくなる。 この交流に対する抵抗のはたらきを示す量をコイルのリアクタンス（reactance）という。
コイルのリアクタンスは、自己インダクタンス \(L\) が大きいほど、また周波数 \(f\) が高いほど大きくなる。 つまり、コイルは高い周波数の交流ほど流れにくくする。
最大値・実効値の関係は以下のとおり。
$$ V_{\text{L}0} = \omega L I_{\text{L}0}, \quad V_\text{Le} = \omega L I_\text{Le} $$
コイルに加わる電圧 \(V_\text{L}\) の位相は、コイルを流れる電流 \(I_\text{L}\) よりも \(\dfrac{\pi}{2}\) だけ進んでいる。 これは電流の変化が最大のとき（変化率が最大のとき）に誘導起電力が最大になることから理解できる。
コイルでは電圧が電流より \(\dfrac{\pi}{2}\) 進む（電流は電圧より \(\dfrac{\pi}{2}\) 遅れる）。
コイルに交流を流したときの電圧（赤）と電流（青）の波形を観察しよう。 電圧が電流より π/2 進んでいることをフェーザ図でも確認できる。
コイルに加わる電圧を \(V\)、コイルに生じる誘導起電力を \(V'\) とすると、キルヒホッフの法則より \(V + V' = 0\)。 誘導起電力は \(V' = -L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\) であるから、\(V = L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\)。
電流を \(I = I_0 \sin(\omega t)\) とおくと、その時間微分は
$$ V_L = L \frac{dI}{dt}, \quad I = I_0 \sin(\omega t) \Rightarrow \frac{dI}{dt} = I_0 \omega \cos(\omega t) $$この微分結果を代入すると、コイルの両端電圧が求まる。
$$ \therefore V_L = L I_0 \omega \cos(\omega t) = \omega L \cdot I_0 \cos(\omega t) $$よって最大値の比は \(V_0 = \omega L I_0\)、すなわち \(X_\text{L} = \dfrac{V_0}{I_0} = \omega L\)。 また \(\cos(\omega t) = \sin\!\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)\) より、電圧は電流より \(\dfrac{\pi}{2}\) 位相が進む。
条件：自己インダクタンス \(L = 0.10\) H のコイルに、周波数 \(f = 50\) Hz、実効値 \(V_\text{e} = 100\) V の交流電圧を加えた。リアクタンスと電流の実効値を求めよ。
$$ X_L = \omega L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times 0.10 = 10\pi \fallingdotseq 31.4 \text{ \(\Omega\)} $$リアクタンスを使ってオームの法則と同様に電流を求めると、
$$ I_\text{e} = \frac{V_\text{e}}{X_L} = \frac{100}{31.4} \fallingdotseq 3.2 \text{ A} $$答え：\(X_L \fallingdotseq 31\) \(\Omega\)、\(I_\text{e} \fallingdotseq 3.2\) A。周波数が高くなるほどリアクタンスが大きくなり、電流は小さくなる。
同じコイルと抵抗の直列回路でも、直流電圧を加えた場合と交流電圧を加えた場合では、流れる電流の大きさが異なる。 交流の方が電流が小さくなるのは、コイルの自己誘導によって電流の変化を妨げる起電力が常に発生しているためである。
コイルとは逆に、コンデンサーでは周波数が高いほど電流が流れやすくなる。「コンデンサーに直流は流れないのに、交流は流れる？」——充放電の繰り返しが交流回路の鍵を握る。
コンデンサーと抵抗を直列につないで直流電圧を加えると、充電が完了した後は電流が流れなくなる。 しかし交流電圧を加えると、電圧の向きが常に変わり、コンデンサーが充電・放電を繰り返すことによって電流が流れ続ける。
コンデンサーのリアクタンスは、電気容量 \(C\) が小さいほど、また周波数 \(f\) が低いほど大きくなる。 つまり、コンデンサーは低い周波数の交流ほど流れにくくする（直流では無限大）。
最大値・実効値の関係は以下のとおり。
$$ V_{\text{C}0} = \frac{1}{\omega C} I_{\text{C}0}, \quad V_\text{Ce} = \frac{1}{\omega C} I_\text{Ce} $$
コンデンサーに加わる電圧 \(V_\text{C}\) の位相は、コンデンサーを流れる電流 \(I_\text{C}\) よりも \(\dfrac{\pi}{2}\) だけ遅れている。 これは電流が最大になってから \(\dfrac{1}{4}\) 周期後に電荷の蓄積が最大となり、電圧も最大になることから理解できる。
コンデンサーでは電圧が電流より \(\dfrac{\pi}{2}\) 遅れる（電流は電圧より \(\dfrac{\pi}{2}\) 進む）。
コンデンサーに交流を流したときの電圧（赤）と電流（青）の波形を観察しよう。 電圧が電流より π/2 遅れていることをフェーザ図でも確認できる。
コンデンサーに加わる電圧を \(V\) とすると、\(Q = CV\) より電気量 \(Q\) は電圧に比例する。 電流は \(I = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} = C\dfrac{\Delta V}{\Delta t}\) と表せる。
電圧を \(V = V_0 \sin(\omega t)\) とおくと、その時間微分は
$$ I = C\frac{dV}{dt}, \quad V = V_0 \sin(\omega t) \Rightarrow \frac{dV}{dt} = V_0 \omega \cos(\omega t) $$この微分結果を代入すると、コンデンサーを流れる電流が求まる。
$$ \therefore I = C V_0 \omega \cos(\omega t) = \omega C \cdot V_0 \cos(\omega t) $$よって最大値の比は \(I_0 = \omega C V_0\)、すなわち \(X_\text{C} = \dfrac{V_0}{I_0} = \dfrac{1}{\omega C}\)。 また \(\cos(\omega t) = \sin\!\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)\) より、電流は電圧より \(\dfrac{\pi}{2}\) 位相が進む（電圧は電流より \(\dfrac{\pi}{2}\) 遅れる）。
| 抵抗 \(R\) | コイル \(L\) | コンデンサー \(C\) | |
|---|---|---|---|
| 抵抗としてのはたらき | \(R\)〔\(\Omega\)〕 | \(\omega L\)〔\(\Omega\)〕 | \(\dfrac{1}{\omega C}\)〔\(\Omega\)〕 |
| 周波数依存性 | なし | 高周波ほど大 | 低周波ほど大 |
| 位相差 \(\phi\) | \(0\) | \(+\dfrac{\pi}{2}\) | \(-\dfrac{\pi}{2}\) |
| 消費電力の時間平均 | \(I_\text{e} V_\text{e}\) | \(0\) | \(0\) |
コイルは自己誘導により電流の変化に対して逆起電力を生じるため、電流が急に変化するのを妨げます。一方コンデンサーは \(Q = CV\) の関係から電圧が急に変化するには大電流が必要なので、電圧の急変を妨げます。この直感的な理解は、過渡現象やフィルタ回路を理解する上で非常に役立ちます。
条件：電気容量 \(C = 100\) \(\mu\)F のコンデンサーに周波数 \(f = 60\) Hz の交流を加えた。容量リアクタンスを求めよ。
$$ X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 60 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.0377} \fallingdotseq 26.5 \text{ \(\Omega\)} $$答え：\(X_C \fallingdotseq 27\) \(\Omega\)。コイルのリアクタンス \(X_L = \omega L\) は周波数に比例するのに対し、コンデンサーのリアクタンス \(X_C = 1/(\omega C)\) は周波数に反比例する。
ラジオの選局と共振回路
AMラジオの選局は、LC共振回路の共振周波数 \(f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) を変えることで行います。バリコン（可変コンデンサー）のダイヤルを回すと \(C\) が変化し、特定の周波数の電波だけを選択的に増幅します。共振の鋭さ（Q値）が高いほど、隣の局との混信が少なくなります。
オーディオの音響装置では、高音用と低音用の複数のスピーカーを使い分ける。 コイルは高周波を通しにくいので低音用スピーカーの前に、コンデンサーは低周波を通しにくいので高音用スピーカーの前に配置する。 このようなフィルター回路（クロスオーバーネットワーク）により、各スピーカーに最適な帯域の信号だけが送られる。
「抵抗・コイル・コンデンサーを直列につなぐと、回路全体の"抵抗"はどうなる？」——ベクトルの合成でインピーダンスを求めよう。
抵抗 \(R\)、コイル \(L\)、コンデンサー \(C\) を直列に接続して交流電源をつなぐ。 各素子に加わる交流電圧の瞬間値を \(V_\text{R}\)、\(V_\text{L}\)、\(V_\text{C}\) とすると、 回路全体に加わる電圧の瞬間値 \(V\) は \(V = V_\text{R} + V_\text{L} + V_\text{C}\) である。
ただし、各電圧は位相がそろっていないため、最大値を単純に足し合わせることはできない。 電流の位相を基準として電圧をベクトルで表すと、\(V_\text{R}\) は電流と同位相、\(V_\text{L}\) は \(\dfrac{\pi}{2}\) 進み、\(V_\text{C}\) は \(\dfrac{\pi}{2}\) 遅れるので、
$$ V_0 = \sqrt{V_{\text{R}0}^2 + (V_{\text{L}0} - V_{\text{C}0})^2} $$
回路全体を流れる電流 \(I\) と、回路全体に加わる電圧 \(V\) の最大値の比をインピーダンス \(Z\) という。
また、電流に対する電圧の位相差 \(\phi\) は、
$$ \tan \phi = \frac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}}{R} = \frac{X_\text{L} - X_\text{C}}{R} $$
インピーダンスは交流回路における合成抵抗のようなもの。 直流回路のオームの法則 \(V = RI\) に対応して、交流回路では \(V_\text{e} = Z I_\text{e}\) が成り立つ。
RLC 直列回路の各素子の電圧の最大値は、\(V_{\text{R}0} = RI_0\)、\(V_{\text{L}0} = \omega L I_0\)、\(V_{\text{C}0} = \dfrac{I_0}{\omega C}\) である。
\(V_\text{R}\) は電流と同位相、\(V_\text{L}\) は \(\dfrac{\pi}{2}\) 進み、\(V_\text{C}\) は \(\dfrac{\pi}{2}\) 遅れるため、回転ベクトルで合成すると
$$ V_0 = \sqrt{V_{\text{R}0}^2 + (V_{\text{L}0} - V_{\text{C}0})^2} = I_0\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2} $$したがって \(Z = \dfrac{V_0}{I_0} = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right)^2}\) が得られる。
インピーダンスの式は、\(R\) を底辺、\(X_\text{L} - X_\text{C}\) を高さとする直角三角形の斜辺として理解できる。 このインピーダンス三角形で位相差 \(\phi\) も視覚的に把握できる。
各素子の電圧ベクトルが回転する様子（左）と、対応する時間波形（右）を同時に観察できる。 スライダーで R, L, C, f を変えて、共振時にフェーザがどうなるか確認しよう。
コイルとコンデンサーでは消費電力の時間平均が 0 であるから、回路全体の消費電力の時間平均 \(\overline{P}\) は抵抗のみについて考えればよい。
力率 \(\cos \phi\) は、交流回路で実際に消費される電力（有効電力）と、電圧と電流の積（皮相電力）の比を表す。 インピーダンス三角形より \(\cos \phi = \dfrac{R}{Z}\) である。 \(\phi = 0\)（純抵抗回路）のとき力率は 1 で、電力は最も効率よく消費される。
「特定の周波数で電流が最大になる？」——ラジオの選局にも使われる共振のしくみを理解しよう。
RLC 直列回路に加える交流電圧の周波数を変えると、特定の周波数で非常に大きな電流が流れる。 この現象を共振（resonance）という。
共振は \(X_\text{L} = X_\text{C}\)、すなわち \(\omega L = \dfrac{1}{\omega C}\) のときに起こる。 このとき、インピーダンス \(Z\) は最小値 \(R\) をとり、電流が最大になる。
回路の電気抵抗が小さければ、交流の周波数が共振周波数に一致したとき、非常に大きな電流が流れる。 このような回路を共振回路（resonance circuit）という。
周波数スライダーを動かして、共振周波数 f₀ で電流が最大になる様子を確認しよう。 R を小さくすると共振ピークが鋭くなる。
共振時には \(X_\text{L} = X_\text{C}\) であるから、コイルとコンデンサーの電圧が打ち消し合い、インピーダンスは \(Z = R\) となって最小になる。 上のシミュレーションで周波数スライダーを動かして、共振を体験してみよう。
条件：\(L = 0.10\) H のコイルと \(C = 10\) \(\mu\)F のコンデンサーを含む RLC 直列回路の共振周波数を求めよ。
$$ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.10 \times 10 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-6}}} $$平方根を計算して整理すると、
$$ = \frac{1}{2\pi \times 1.0 \times 10^{-3}} = \frac{1}{6.28 \times 10^{-3}} \fallingdotseq 159 \text{ Hz} $$答え：\(f_0 \fallingdotseq 160\) Hz。この周波数で \(X_L = X_C\) となり、インピーダンスは最小値 \(Z = R\) になる。
ラジオやテレビの受信回路には共振回路が使われている。 アンテナにはさまざまな周波数の電磁波が到達するが、LC 回路の共振周波数を受信したい放送局の周波数に合わせることで、 その周波数の信号だけを選択的に増幅できる。 チューニングダイヤルを回す操作は、コンデンサーの電気容量を変えて共振周波数を調整している。
「コンデンサーとコイルだけで振動が起きる？」——力学のばね振動と対応する電気振動のしくみを理解しよう。
充電したコンデンサーにコイルを接続すると、コンデンサーに蓄えられた電荷が放電を始め、コイルに電流が流れる。 コイルの自己誘導により、コンデンサーが放電・充電を繰り返し、一定の周期で向きが変わる電流（振動電流）が流れ続ける。 この現象を電気振動（electric oscillation）という。
電気振動では、コンデンサーの極板間に生じる電場と、コイルがつくる磁場との間でエネルギーのやりとりが行われる。 回路の抵抗が 0 の場合、これらのエネルギーの和は一定に保たれる。
電気振動は力学の単振動と対応づけられる。コンデンサーの電荷 \(Q\) はばねの変位 \(x\)、電流 \(I\) は速度 \(v\)、 インダクタンス \(L\) は質量 \(m\)、\(\dfrac{1}{C}\) はばね定数 \(k\) に対応する。
コンデンサーとコイル間でエネルギーが往復する様子をバーチャートで観察しよう。 減衰スライダーを動かすと抵抗によるエネルギー散逸の効果も確認できる。
実際には導線やコイルに電気抵抗があるため、ジュール熱が発生してエネルギーが減少し、振動電流はしだいに減衰する。
電気振動と力学の単振動は数学的に全く同じ微分方程式で記述される。 ばね振子の運動方程式 \(m\ddot{x} + kx = 0\) と、LC 回路の方程式 \(L\ddot{Q} + \dfrac{Q}{C} = 0\) を比べると、 \(m \leftrightarrow L\)、\(k \leftrightarrow \dfrac{1}{C}\)、\(x \leftrightarrow Q\) の対応がある。 固有角周波数もどちらも \(\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\) と同じ形になる。
交流電圧 \(V = V_0\sin\omega t\) に対する各素子の応答を微分方程式で記述します。
コンデンサー：\(I = C\frac{dV}{dt} = CV_0\omega\cos\omega t\)。電流は電圧より \(\pi/2\) だけ位相が進みます。
コイル：\(V = L\frac{dI}{dt}\) より \(I = \frac{V_0}{L\omega}(-\cos\omega t)\)。電流は電圧より \(\pi/2\) 遅れます。
RLC直列回路：
$$ L\frac{dI}{dt} + RI + \frac{1}{C}\int I\,dt = V_0\sin\omega t $$
定常解のインピーダンスは \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\) で、共振条件 \(X_L = X_C\) すなわち \(\omega = 1/\sqrt{LC}\) のとき \(Z = R\) で最小になります。
大学入試で頻出のテーマと解法のポイントを整理しよう。
RLC直列回路で \(\omega = 1/\sqrt{LC}\) のとき共振が起き、電流が最大になります。入試では「コイルの端子電圧がコンデンサーの端子電圧と等しく打ち消し合い、全電圧が抵抗にかかる」ことの理解が問われます。また、共振時にコイルやコンデンサーの電圧が電源電圧を超えることがある（電圧拡大）のも重要なポイントです。
問題設定：抵抗 \(R\)、コイル（インダクタンス \(L\)）、コンデンサー（電気容量 \(C\)）を直列に接続し、実効値 \(V_\text{e}\) の交流電源（角周波数 \(\omega\)）をつなぐ。
インピーダンスの定義式より、
$ Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2} $
各素子のリアクタンスを計算し、代入する。コイルのリアクタンスは \(X_\text{L} = \omega L\)、コンデンサーのリアクタンスは \(X_\text{C} = \dfrac{1}{\omega C}\) である。
交流回路のオームの法則より、電流の実効値は
$ I_\text{e} = \frac{V_\text{e}}{Z} $
電圧と電流の位相差 \(\phi\) は、電圧のベクトル図から
$ \tan \phi = \frac{X_\text{L} - X_\text{C}}{R} = \frac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}}{R} $
\(\phi \gt 0\) なら電圧が電流より進み（誘導性）、\(\phi \lt 0\) なら遅れる（容量性）。
共振は \(X_\text{L} = X_\text{C}\) のとき、すなわち \(\omega L = \dfrac{1}{\omega C}\) のとき起こる。これを \(\omega\) について解くと、
$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $
共振時：\(Z = R\)（最小値）、\(I_\text{e}\) が最大、\(\phi = 0\)（電圧と電流が同位相）。