② 加速度

加速度 \(a\) が一定の運動について，\(t = 0\) で速度 \(v_0\)，位置 \(x = 0\) として3つの公式を順に導く。

公式① \(v = v_0 + at\) の導出

加速度の定義より

$$ a = \frac{v - v_0}{t - 0} = \frac{v - v_0}{t} $$

両辺に \(t\) をかけて整理すると

$$ v - v_0 = at \quad \Longrightarrow \quad v = v_0 + at $$

公式② \(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) の導出

v-t 図で \(v = v_0 + at\) の直線と \(t\) 軸で囲まれた面積が変位 \(x\) に等しい。 この面積は台形であるから

$$ x = \frac{1}{2}(v_0 + v) \times t $$

①の \(v = v_0 + at\) を代入すると

$$ x = \frac{1}{2}(v_0 + v_0 + at) \times t = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 $$

公式③ \(v^2 - v_0^2 = 2ax\) の導出

①より \(t = \dfrac{v - v_0}{a}\)。これを②に代入すると

$$ x = v_0 \cdot \frac{v - v_0}{a} + \frac{1}{2}a \left(\frac{v - v_0}{a}\right)^2 = \frac{v_0(v - v_0)}{a} + \frac{(v - v_0)^2}{2a} $$

通分して整理すると

$$ x = \frac{2v_0(v - v_0) + (v - v_0)^2}{2a} = \frac{(v - v_0)(2v_0 + v - v_0)}{2a} = \frac{(v - v_0)(v + v_0)}{2a} = \frac{v^2 - v_0^2}{2a} $$

よって

$$ v^2 - v_0^2 = 2ax $$

以上のように，①の定義式から②と③がすべて導かれる。

公式②の導出：v-t 図の面積

v-t 図で v = v₀ + at の直線と t 軸で囲まれた面積が変位 x です。
台形の面積 = \(\frac{1}{2}(v_0 + v) \times t = \frac{1}{2}(v_0 + v_0 + at) \times t = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\)
よって \(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) が導かれます。

3つの公式には5つの変数（\(v, v_0, a, t, x\)）が含まれ、各公式は4つの変数を含みます。求めたい量と与えられた量から「不要な変数を含まない公式」を選ぶのがコツです。①\(v=v_0+at\)は\(x\)なし、②\(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\)は\(v\)なし、③\(v^2-v_0^2=2ax\)は\(t\)なし。この「何がないか」で選択すれば迷いません。

①より \(t = \frac{v - v_0}{a}\)。これを②に代入すると
\(x = v_0 \cdot \frac{v - v_0}{a} + \frac{1}{2}a\left(\frac{v - v_0}{a}\right)^2 = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}\)
よって \(v^2 - v_0^2 = 2ax\)

「加速度が負」は「速さが減る」とは限りません。負の向きに進む物体に負の加速度が加わると、速さは増えます。 大切なのは、速度と加速度の向きが同じか逆かです。

加速度 \(a\) は速度 \(v\) の時間微分、速度は位置 \(x\) の時間微分として定義されます。

$$ v = \frac{dx}{dt}, \quad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} $$

逆に、加速度を時間で積分すると速度の変化、速度を積分すると変位が得られます。

$$ v(t) = v_0 + \int_0^t a\,dt', \quad x(t) = x_0 + \int_0^t v(t')\,dt' $$

等加速度運動（\(a\) = 一定）の場合：

$$ v = v_0 + at, \quad x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 $$

v-t 図の「面積＝変位」は、まさに \(x = \int v\,dt\) の意味です。微積分を使えば、加速度が一定でない運動（例：空気抵抗を受ける運動）でも同じ方法で解析できます。