物理基礎 > 第1編 運動とエネルギー > 第3章 仕事と力学的エネルギー
「重い荷物を持って立っているだけでは、物理では仕事をしていない」——物理の「仕事」は日常の意味と違います。
物体に力 \(F\) [N] を加えて、その力の向きに距離 \(x\) [m] だけ動かすとき、力がした仕事 \(W\) は次の式で表されます。
仕事の単位はジュール（記号 J）。1 J = 1 N·m。
仕事はF-xグラフの面積にも等しくなります。
条件：\(F = 10\) N、\(d = 3.0\) m、力と移動方向が同じ
$$ W = Fd = 10 \times 3.0 = 30 \text{ J} $$答え：\(W = 30\) J
\(\theta = 0°\)（同じ向き）：\(W = Fx\) → 正の仕事
\(\theta = 90°\)（垂直）：\(W = 0\) → 仕事をしない
\(\theta = 180°\)（反対向き）：\(W = -Fx\) → 負の仕事
| 場合 | 角度 θ | cos θ | 仕事 W | 例 |
|---|---|---|---|---|
| 正の仕事 | 0° ≦ θ < 90° | 正 | W > 0 | 物体を押して動かす |
| 仕事ゼロ | θ = 90° | 0 | W = 0 | 垂直抗力・円運動の張力 |
| 負の仕事 | 90° < θ ≦ 180° | 負 | W < 0 | 摩擦力・ブレーキ |
①重い荷物を持って水平に歩く→持ち上げる力は鉛直、移動は水平（θ=90°）で仕事ゼロ。②等速円運動の糸の張力→常に速度と垂直で仕事ゼロ。③壁を押しても壁が動かない→移動距離ゼロで仕事ゼロ。物理の「仕事」は力×移動の方向成分なので、直感と異なる結果になることがあります。
仕事の符号で迷ったら「その力は物体の運動を助けているか邪魔しているか」を考えましょう。助けている（力の向きと移動の向きが同じ側）→正の仕事、邪魔している（力と移動が反対側）→負の仕事。摩擦力は常に運動を妨げるので必ず負の仕事、重力は下向きの移動で正・上向きの移動で負の仕事をします。
水平面上を等速で走る物体にはたらく垂直抗力は、移動の向きと常に垂直（θ = 90°）なので仕事はゼロです。 同様に、糸でおもりを円運動させるとき、糸の張力は常に速度と垂直なので仕事をしません。
仕事の定義 \(W = Fx\cos\theta\) を学びました。この定義をふまえて、道具（てこ・滑車・斜面）を使った場合に仕事はどうなるかを考えましょう。「滑車を使えば力は半分で済むが、引く距離は2倍になる」——仕事の総量は道具では減らせない。
定滑車や動滑車などの道具を使うと、必要な力を小さくできますが、動かす距離が長くなります。 結果として仕事の量は変わりません。これを仕事の原理といいます。
下のシミュレーションで、仕事の原理と仕事率を体感しよう。直接持ち上げるのと斜面を使うのでは仕事が同じこと、速く仕事をするほど仕事率が大きいことを確認できます。
てこで重い物を持ち上げるとき、力点の距離が長くなるため小さな力で済みますが、仕事の量は同じです。斜面で荷物を上げる場合も、傾斜がゆるいほど小さな力で済みますが、距離が長くなります。いずれも仕事の原理の例です。
仕事の原理により、道具を使っても仕事の総量は同じでした。しかし、同じ仕事でも「速くこなす」か「ゆっくりこなす」かでは能力が違います。 単位時間あたりにする仕事の量を仕事率といいます。
仕事率の単位はワット（記号 W）。1 W = 1 J/s。
一定の力 \(F\) で物体を速さ \(v\) で動かすとき、仕事率は \(P = Fv\) とも書けます。
一定の力 \(F\) で物体を移動距離 \(x\) だけ動かしたとき、仕事は \(W = Fx\)。
これにかかった時間を \(t\) とすると、仕事率は：
$$ P = \frac{W}{t} = \frac{Fx}{t} = F \cdot \frac{x}{t} = Fv $$
ここで \(v = x/t\) は物体の速さです。
仕事率の単位「ワット」は蒸気機関を改良したジェームズ・ワットに由来します。 自動車エンジンの出力で使われる「馬力」は 1 PS ≒ 735.5 W。100 馬力のエンジンは約 73.6 kW の仕事率です。
力が一定でない場合、仕事は力の積分で表されます。
$$ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx $$
例えば、ばねの力 \(F = -kx\) が自然長 (\(x=0\)) から \(x=d\) まで外力 \(kx\) で伸ばす仕事は：
$$ W = \int_0^d kx\,dx = \frac{1}{2}kd^2 $$
これが弾性エネルギーの式 \(\frac{1}{2}kx^2\) の由来です。F-x グラフの「面積＝仕事」は \(W = \int F\,dx\) の幾何学的な意味にほかなりません。
大学入試で頻出のテーマと解法のポイントを整理しよう。
入試では、摩擦力・重力・張力など複数の力が同時にはたらく場面で、各力がする仕事を個別に求める問題が頻出です。ポイントは「各力の移動方向成分 × 移動距離」をそれぞれ計算し、合計が運動エネルギーの変化（仕事とエネルギーの関係）に等しくなることです。
傾斜角 \(\theta\)、動摩擦係数 \(\mu'\) の斜面に沿って質量 \(m\) の物体を距離 \(l\) だけ等速で引き上げるとき、引く力がする仕事を求める。
【立式】等速なので加速度 \(a = 0\)。斜面方向のつりあいより、引く力 \(F\) は重力の斜面成分と動摩擦力の和に等しい：
$ F = mg\sin\theta + \mu' mg\cos\theta $
【引く力がする仕事】力 \(F\) の向きと移動の向きが同じ（\(\theta = 0°\)）なので：
$ W_F = Fl = mg(\sin\theta + \mu'\cos\theta) \cdot l $
【各力の仕事の確認】重力の仕事 \(W_g = -mgl\sin\theta\)（移動と逆向き成分）、摩擦力の仕事 \(W_f = -\mu' mg\cos\theta \cdot l\)（常に逆向き）。合計 \(W_F + W_g + W_f = 0\) で、等速（運動エネルギーの変化 0）と整合する。