⚡ 7. 波の基本公式
振幅・波長・周期・振動数といった波の要素が揃いました。これらを結びつける、波動分野で最も重要で最後まで使い続ける「最強の公式」を学びましょう。
波の速さ・振動数・波長の3つを結ぶ公式は？
\(v = f + \lambda\)
\(v = f\lambda\)
\(v = f / \lambda\)
波の基本公式は \(v = f\lambda\) です。「1秒間に \(f\) 個の波が出て、1個の長さが \(\lambda\) なら、1秒間に進む距離は \(f \times \lambda\)」と考えると自然に導けます。
$$ v = \frac{\lambda}{T} = f\lambda $$
波は1周期 \(T\) の間に1波長 \(\lambda\) 進むので \(v = \lambda/T\)
\(f = 1/T\) を代入すると \(v = f\lambda\)
\(\boldsymbol{v = \)\(f\lambda}\)
\(v\)〔m/s〕：波の伝わる速さ
\(f\)〔Hz〕：振動数
(1秒間の回数)
\(\lambda\)〔m〕：波長
(波1つの長さ)
📐 公式の導出：\(v = f\lambda\)
【Step 1】波は1周期 \(T\) [s] の間に，ちょうど1波長 \(\lambda\) [m] だけ進みます。
【Step 2】速さの基本公式「速さ＝距離÷時間」にあてはめると， $$ v = \frac{\lambda}{T} $$
【Step 3】振動数と周期の関係 \(f = \frac{1}{T}\) より \(T = \frac{1}{f}\) を代入すると， $$ v = \frac{\lambda}{1/f} = f\lambda $$
したがって，\(v = f\lambda\) が得られます。
条件：\(f = 5.0\) Hz
$$ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5.0} = 0.20 \text{ s} $$答え：\(T = 0.20\) s
ハインリヒ・ヘルツ (Heinrich Hertz)
1857 - 1894
振動数の単位「Hz」の由来となった物理学者。電磁波の実証実験を行い，無線通信の基礎を築いた。
1857 - 1894
振動数の単位「Hz」の由来となった物理学者。電磁波の実証実験を行い，無線通信の基礎を築いた。
📐 発展：微積分で見る媒質の速度
波の変位を \(y(x, t)\) とすると、ある位置 \(x\) の媒質の速度は時間に関する偏微分です。
$$ v_y = \frac{\partial y}{\partial t} $$
正弦波 \(y = A\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}x - \frac{2\pi}{T}t\right)\) の場合、媒質の速度は \(v_y = -\frac{2\pi A}{T}\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x - \frac{2\pi}{T}t\right)\) です。各媒質点は単振動しており、変位が 0 の瞬間に速度が最大になります。
振動数 500 Hz、波長 0.68 m の音波の速さは？
500 m/s
735 m/s
340 m/s
\(v = f\lambda = 500 \times 0.68 = 340\) m/s です。これは気温約15℃の空気中の音速に相当します。波の基本公式 \(v = f\lambda\) は波動分野で最も重要な式です。