解法の指針

2021年度共通テスト物理「第1問」は、力学・電磁気・波動・熱力学から独立した小問5題が出題されています。各分野の基本法則を正確に適用する力が問われます。

問題の構成

• 問1：加速する台車上の水とおもり — 慣性力（見かけの力）と水面の傾き
• 問2：定滑車と動滑車 — 力のつり合いで最小の引く力を求める
• 問3：平行板コンデンサーの電場 — 点電荷に働く静電気力の大小
• 問4：ドップラー効果 — 壁での反射を含む振動数変化
• 問5：理想気体のp-Vグラフ — 等温変化と断熱変化の比較

問1 — 加速する台車上の水面の傾き

台車が右向きに一定の加速度 \(a\) で加速する場合を考える。台車上の非慣性系では、すべての物体に左向きの慣性力 \(ma\) が加わる。

おもりの傾き：糸でつり下げられたおもりには重力 \(mg\)（下向き）と慣性力 \(ma\)（左向き）が働く。糸の張力がこれらの合力とつり合うので、糸は鉛直から左に傾く。

$$\tan\theta = \frac{a}{g}$$

水面の傾き：水面は「見かけの重力」（重力＋慣性力の合力）に垂直になる。加速度が右向きなら慣性力は左向きで、水面は左側が高くなる。

おもりは左に傾き、水面は左が高くなるので、おもりと水面の傾きの組合せから正しい選択肢を選ぶ。

$$\vec{g}_{\text{eff}} = \vec{g} - \vec{a} \quad (\text{見かけの重力加速度})$$

別解：地上の慣性系で考える

慣性系で考えると、水は台車と一緒に加速するために「圧力勾配」が必要。水平方向の運動方程式から：

$$\frac{\partial p}{\partial x} = -\rho a$$

加速方向（右）に圧力が増大し、左側の圧力が低くなる。自由表面は等圧面なので、左側が高くなる。おもりは \(ma\) の水平力を糸の張力の水平成分で受けるので、糸は加速の反対方向（左）に傾く。

問2 — 定滑車と動滑車（板に乗った人がロープを引く）

質量 50 kg の荷物を、質量 10 kg の板にのせて、質量 60 kg の人が板に乗ってロープを引く。定滑車と動滑車の組合せ装置で、ロープは常に鉛直。

系全体の質量：

$$M = 50 + 10 + 60 = 120 \text{ kg}$$

動滑車の原理：動滑車にかかるロープの本数を数える。この装置では動滑車を3本のロープで支えている。ロープの張力を \(T\) とすると：

$$3T = Mg = 120 \times 9.8 = 1176 \text{ N}$$ $$T = \frac{1176}{3} = 392 \text{ N} \fallingdotseq 3.9 \times 10^2 \text{ N}$$

補足：なぜ3本で割るのか

人がロープを引く力 \(T\) は、ロープのどこでも同じ（質量なし、摩擦なしの場合）。動滑車にかかるロープの区間を数えると3本分あり、各区間が張力 \(T\) で上向きに引く。人自身も板に乗っているので、人の体重も含めた全体を3本で支えることになる。

\(T = Mg/3\) が成立するのは、人が系の一部だからである。人が地面に立っている場合は計算が異なる。

問3 — 平行板間の電場と静電気力

7枚の平行な極板が、間隔 \(3L, L, 2L, 2L, 3L, 2L\) で配置され、左端が \(0\)、右端が \(6V\) で、隣り合う極板は一定値 \(V\) ずつ電位が高くなっている。

各領域の電場の大きさは \(E = \Delta V / d\) で計算できる。電位差はすべて \(V\) なので：

$$E_A = \frac{V}{3L}, \quad E_B = \frac{V}{L}, \quad E_C = \frac{V}{2L}, \quad E_D = \frac{V}{2L}, \quad E_E = \frac{V}{3L}, \quad E_F = \frac{V}{2L}$$

点電荷に働く静電気力は \(F = qE\) なので、\(E\) が最大の領域で静電気力が最大。\(E_B = V/L\) が最大である。

補足：電場が一様でない場合の注意

平行板コンデンサーの電場は板間では一様（\(E = V/d\)）。間隔が異なる複数の板がある場合は、各領域で独立に \(E = \Delta V / d\) を計算する。同じ電位差 \(V\) なら、間隔が狭いほど電場が強い。

問4 — ドップラー効果（壁の反射を含む）

Aさんが壁に向かって速さ \(v_s\) で歩きながら振動数 \(f_0\) のおんさを鳴らす。Bさんは静止して観測。

直接音（A → B）：Aは Bから遠ざかる方向に移動するので、振動数は小さくなる。

$$f_{\text{direct}} = \frac{V}{V + v_s} f_0 < f_0$$

反射音（A → 壁 → B）：Aが壁に近づくので壁に届く音の振動数は高くなり、壁が新たな音源として静止しているBに向けて反射する。

$$f_{\text{wall}} = \frac{V}{V - v_s} f_0 > f_0$$

うなり：反射音の振動数 > 直接音の振動数 なので、Bさんは1秒間に \(|f_{\text{wall}} - f_{\text{direct}}|\) 回のうなりを聞く。

$$\Delta f = f_0 \left(\frac{V}{V - v_s} - \frac{V}{V + v_s}\right) = \frac{2Vv_s}{V^2 - v_s^2} f_0$$

Aさんがさらに速く歩くと \(v_s\) が増え、\(\Delta f\) も増えるのでうなりの回数は多くなる。

補足：壁を仮想音源として考える方法

壁での反射は、壁の向こう側に「鏡像音源」があると考えることもできる。鏡像音源はAと対称的に壁に近づく（つまりBに向かって速さ \(v_s\) で近づく）。この場合の振動数：

$$f_{\text{reflected}} = \frac{V}{V - v_s} f_0$$

直接音はAがBから遠ざかるので \(f_{\text{direct}} = \frac{V}{V + v_s} f_0\)。結果は同じになる。

問5 — 等温変化と断熱変化のp-Vグラフ

理想気体のp-Vグラフにおいて、等温変化と断熱変化を比較する。

等温変化：温度一定 → \(pV = nRT = \text{const.}\)

$$p = \frac{C_1}{V} \quad (\text{双曲線})$$

断熱変化：熱の出入りなし → \(pV^{\gamma} = \text{const.}\)（\(\gamma = C_p/C_v > 1\)）

$$p = \frac{C_2}{V^{\gamma}} \quad (\gamma > 1 \text{ なので等温より急勾配})$$

グラフでは断熱変化の曲線（オ）が等温変化の曲線（エ）より急に下がる。

ピストンの位置について：(a) 鉛直上向き、(b) 逆さにした場合を比較。逆さにするとピストンの重力が気体を圧縮する方向に加わるため、気体の圧力が高くなり体積が小さくなる。断熱変化ではさらに温度が上がるため、等温変化よりもピストンの移動距離が短くなる。つまり \(L_{\text{等}} < L_{\text{断}}\) ではなく、ピストンの底面からの距離を考えると \(L_{\text{等}} < L_{\text{断}}\)。

別解：エネルギーの観点から考える

ピストンを鉛直に立てた場合（気体が下）と逆さ（気体が上）で比較する。

等温変化では内部エネルギーが不変なので、外部に仕事をする分だけ熱が流入する。体積変化が大きい。

断熱変化では気体がする仕事 = 内部エネルギーの減少。温度が下がるので圧力がより早く下がり、体積変化が少ない。

したがって同じ圧力変化に対して、等温変化の方が体積変化が大きく、\(L_{\text{等}} > L_{\text{断}}\)...と思いがちだが、問題の設定（容器の向きを変える操作）をよく読み、どちらが「エ」でどちらが「オ」かをグラフの形状から判定する必要がある。