解法の指針

10\(\Omega\)の抵抗と20\(\Omega\)の抵抗、電気容量0.10Fのコンデンサー、スイッチ、電圧6.0Vの直流電源、可変抵抗\(R\)からなる回路の問題です。

問1 — スイッチを閉じた瞬間の等価回路

可変抵抗の値を \(R = 10\,\Omega\) に設定。スイッチを閉じた瞬間、コンデンサーには電荷がないので \(V_C = 0\)。コンデンサーは導線と同じ扱い。

20\(\Omega\) の抵抗はコンデンサーと並列に接続されているので、コンデンサーが短絡（\(V_C = 0\)）のとき20\(\Omega\) も短絡される。電流は10\(\Omega\) のみを通る。

$$I = \frac{V}{R_1} = \frac{6.0}{10} = 0.60 \text{ A}$$

等価回路は「10\(\Omega\) のみで電源に接続」の形（③に対応）。

点Qを流れる電流を有効数字2桁で表すと：

$$I_Q = 6.0 \times 10^{-1} \text{ A} \quad \Rightarrow \quad \boxed{7}\,\boxed{8} \times 10^{\,\boxed{9}} = 6.0 \times 10^{-1} \text{ A}$$

補足：コンデンサーの初期条件の考え方

コンデンサーの電圧は瞬時には変化しない（\(V_C = Q/C\) で、電荷が瞬間的に変わることはない）。初期電荷が0なら \(V_C(0) = 0\)。この性質を使うと：

• \(t = 0\)：\(V_C = 0\) → コンデンサーは短絡
• \(t \to \infty\)：\(I_C = 0\) → コンデンサーは開放

この2つの極限で回路を簡略化するのがRC回路問題の定石。

問2 — 十分時間後の定常状態

十分時間が経過するとコンデンサーへの充電電流はゼロになり、コンデンサーは断線と等価。回路は \(10\,\Omega\) と \(20\,\Omega\) の直列回路になる。

点Pの電流：

$$I_P = \frac{V}{R_1 + R_2} = \frac{6.0}{10 + 20} = 0.20 \text{ A}$$

コンデンサーの電圧：コンデンサーは \(20\,\Omega\) と並列なので、電圧は \(20\,\Omega\) にかかる電圧と等しい。

$$V_C = I_P \times R_2 = 0.20 \times 20 = 4.0 \text{ V}$$

蓄えられた電気量：

$$Q = CV_C = 0.10 \times 4.0 = 0.40 \text{ C}$$

補足：過渡状態の電流の時間変化

RC回路の過渡応答は指数関数的に変化する。時定数 \(\tau = RC\) で特徴づけられ、\(t = 5\tau\) 程度で定常状態にほぼ到達する。

$$I(t) = I_\infty + (I_0 - I_\infty) e^{-t/\tau}$$

この問題では厳密な時間変化は問われないが、「直後」と「十分後」の2極限を押さえておけば十分。

問3 — 放電後に可変抵抗を変える

問題の設定を再確認する。コンデンサーを完全放電させた後、可変抵抗の値 \(R\) を変えて再びスイッチを入れる。スイッチを入れた直後の電流の値が、定常状態で保持した値になるような \(R\) を求める。

問1の結果から、\(R = 10\,\Omega\) のとき定常電流は \(I_P = 0.20\) A。この電流を新しい \(R\) でスイッチ投入直後に再現するには：

$$I_0 = \frac{6.0}{R_{\text{new}}} = 0.20$$ $$R_{\text{new}} = \frac{6.0}{0.20} = 30 \text{ \u03a9}$$

しかし問題文を正確に読むと、選択肢の形式 \(R = \boxed{12}\,\boxed{13} \times 10^{\boxed{14}}\) で有効数字2桁で表す。可変抵抗値を変えて得られる条件から \(R = 1.0 \times 10^1\,\Omega\)。

補足：定常状態の電流と初期電流の関係

RC回路で \(R\) を変更すると、初期電流（\(t=0\)）と定常電流（\(t \to \infty\)）の両方が変わる。

• 初期電流：\(I_0 = V/R\)（コンデンサーが短絡）
• 定常電流：\(I_\infty = V/(R + R_2)\)（コンデンサーが開放）

時定数も \(\tau = R_{\text{eq}} C\) で変わるため、過渡応答の速さも変化する。