解法の指針

水素原子を、正の電荷 $+e$（質量 $M$）の陽子のまわりを負の電荷 $-e$（質量 $m$）の電子が半径 $r$ で等速円運動するボーアモデルで考える問題です。

問題の構成

• 問1：等速円運動の角速度 $\omega$ と、微小時間 $\Delta t$ での速度変化の大きさ
• 問2：万有引力と静電気力（クーロン力）の比の大きさのオーダー
• 問3：ボーアの量子条件から軌道半径 $r$ を求め、エネルギー準位 $E_n$ の式を導出
• 問4：エネルギー準位 $E$ から $E'$ への遷移で放出される光子の振動数 $\nu$

物理定数	記号	数値・単位
万有引力定数	$G$	$6.7 \times 10^{-11}$ N·m²/kg²
プランク定数	$h$	$6.6 \times 10^{-34}$ J·s
クーロン定数	$k_0$	$9.0 \times 10^{9}$ N·m²/C²
真空中の光速	$c$	$3.0 \times 10^{8}$ m/s
電気素量	$e$	$1.6 \times 10^{-19}$ C
陽子の質量	$M$	$1.7 \times 10^{-27}$ kg
電子の質量	$m$	$9.1 \times 10^{-31}$ kg

問1：角速度と速度変化の大きさ

角速度 $\omega$ の導出：

半径 $r$ の円軌道を速さ $v$ で等速円運動するとき、角速度 $\omega$ は

$$\omega = \frac{v}{r}$$

これは等速円運動の定義式そのもの。$v = r\omega$ の関係から直ちに得られます。

速度変化の大きさの導出：

時刻 $t$ での速度 $\vec{v}_1$ と、微小時間 $\Delta t$ 後の速度 $\vec{v}_2$ を考えます。等速円運動なので $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$（速さは一定）。

$\Delta t$ の間に速度ベクトルは角度 $\omega \Delta t$ だけ回転します。微小角の近似 $\sin\theta \fallingdotseq \theta$ より、

$$|\Delta \vec{v}| = |\vec{v}_2 - \vec{v}_1| = v \cdot \omega \Delta t = v \cdot \frac{v}{r} \cdot \Delta t = \frac{v^2}{r}\Delta t$$

これは向心加速度 $a = v^2/r$ に $\Delta t$ を掛けたものに他なりません。

補足：速度ベクトル図の幾何学的理解

図2(b)のように、$\vec{v}_1$ の始点を $\vec{v}_2$ の始点に平行移動して重ねます。2つのベクトルは同じ長さ $v$ で、なす角が $\omega \Delta t$ の二等辺三角形を作ります。

弧と弦の近似（$\omega \Delta t \ll 1$）より

$$|\Delta \vec{v}| \fallingdotseq v \cdot \omega\Delta t = \frac{v^2}{r}\Delta t$$

この $\Delta \vec{v}$ の向きは円の中心方向を向き、これが向心加速度の起源です。

問2：万有引力と静電気力の比

万有引力：

$$F_G = G\frac{Mm}{r^2}$$

クーロン力（静電気力）：

$$F_C = k_0\frac{e^2}{r^2}$$

比の計算： $r^2$ は分子・分母で共通なのでキャンセルされます。

$$\frac{F_G}{F_C} = \frac{GMm}{k_0 e^2}$$

数値を代入します：

$$\frac{F_G}{F_C} = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times 1.7 \times 10^{-27} \times 9.1 \times 10^{-31}}{9.0 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-19})^2}$$

分子の計算：

$$6.7 \times 1.7 \times 9.1 = 103.6 \fallingdotseq 10^2$$ $$10^{-11} \times 10^{-27} \times 10^{-31} = 10^{-69}$$ $$\text{分子} \fallingdotseq 10^2 \times 10^{-69} = 10^{-67}$$

分母の計算：

$$(1.6)^2 = 2.56, \quad 9.0 \times 2.56 = 23.0 \fallingdotseq 10^{1.4}$$ $$(10^{-19})^2 = 10^{-38}, \quad 10^{9} \times 10^{-38} = 10^{-29}$$ $$\text{分母} \fallingdotseq 10^{1.4} \times 10^{-29} \fallingdotseq 10^{-27.6} \fallingdotseq 10^{-28}$$

結果：

$$\frac{F_G}{F_C} \fallingdotseq \frac{10^{-67}}{10^{-28}} = 10^{-39} \sim 10^{-40} \text{ 程度}$$

補足：なぜ原子スケールで万有引力を無視するか

$10^{-40}$ 倍という差は想像を絶する小ささです。仮にクーロン力が $1$ N（りんご1個の重さ程度）だとすると、万有引力は $10^{-40}$ N。これは水素原子1個の重さの $10^{-14}$ 分の1の力に相当します。

この圧倒的な差があるため、原子・分子スケールの現象では万有引力を完全に無視し、電磁気力のみで議論します。重力が重要になるのは、天体のように電荷が中和されて電磁気力がキャンセルされるマクロなスケールです。

問3：ボーアの量子条件とエネルギー準位

Step 1：運動方程式（クーロン力＝向心力）

電子の等速円運動の向心力はクーロン力が担います：

$$k_0\frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$$

整理すると：

$$mv^2 = \frac{k_0 e^2}{r} \quad \cdots (*)$$

Step 2：ボーアの量子条件

円軌道の周長がド・ブロイ波長 $\lambda = h/(mv)$ の整数倍（定在波の条件）：

$$2\pi r = n\lambda = n\frac{h}{mv} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$

$v$ について解くと：

$$v = \frac{nh}{2\pi m r} \quad \cdots (**)$$

Step 3：軌道半径 $r_n$ の導出

$(**)$ を $(*)$ に代入して $r$ について解きます：

$$m \left(\frac{nh}{2\pi m r}\right)^2 = \frac{k_0 e^2}{r}$$ $$\frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m r^2} = \frac{k_0 e^2}{r}$$ $$r = r_n = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 k_0 m e^2}$$

$r_n \propto n^2$ であり、軌道半径は量子数の2乗に比例して離散的な値をとります。

Step 4：エネルギー準位 $E_n$ の導出

電子のエネルギーは運動エネルギー + 静電気力による位置エネルギー：

$$E = \frac{1}{2}mv^2 + \left(-\frac{k_0 e^2}{r}\right)$$

$(*)$ より $mv^2 = k_0 e^2 / r$ なので $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{k_0 e^2}{2r}$。

$$E = \frac{k_0 e^2}{2r} - \frac{k_0 e^2}{r} = -\frac{k_0 e^2}{2r}$$

$r_n$ を代入すると：

$$E_n = -\frac{k_0 e^2}{2} \cdot \frac{4\pi^2 k_0 m e^2}{n^2 h^2} = -\frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{n^2 h^2}$$

これが空欄 $\boxed{24}$ に入る式です。選択肢と見比べると：

$$E_n = -2\pi^2 k_0^2 \times \frac{me^4}{n^2 h^2}$$

別解：次元解析による検証

$E_n$ はエネルギーの次元 [J] = [kg·m²/s²] を持つはずです。各選択肢の次元を確認します。

$k_0$ の次元：[N·m²/C²] = [kg·m³/(s²·C²)]

$k_0^2$：[kg²·m⁶/(s⁴·C⁴)]

$m$：[kg]、$e^4$：[C⁴]、$h^2$：[J²·s²] = [kg²·m⁴/s²]

$\dfrac{k_0^2 m e^4}{h^2}$ の次元：

$$\frac{[\text{kg}^2 \cdot \text{m}^6 / (\text{s}^4 \cdot \text{C}^4)] \cdot [\text{kg}] \cdot [\text{C}^4]}{[\text{kg}^2 \cdot \text{m}^4 / \text{s}^2]} = \frac{\text{kg}^3 \cdot \text{m}^6 / \text{s}^4}{\text{kg}^2 \cdot \text{m}^4 / \text{s}^2} = \frac{\text{kg} \cdot \text{m}^2}{\text{s}^2} = [\text{J}]$$

次元が正しくエネルギー [J] になることが確認できます。他の選択肢（例えば $me/h$, $m^2e^2/h^2$ など）は次元が合わず、消去法でも④が確定します。

補足：具体的な数値（水素原子の基底状態）

$n = 1$（基底状態）のとき、ボーア半径 $a_0$ とエネルギー $E_1$ は：

$$a_0 = r_1 = \frac{h^2}{4\pi^2 k_0 m e^2} \fallingdotseq 5.3 \times 10^{-11}\ \text{m} \fallingdotseq 0.053\ \text{nm}$$ $$E_1 = -\frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2} \fallingdotseq -2.18 \times 10^{-18}\ \text{J} \fallingdotseq -13.6\ \text{eV}$$

この $-13.6$ eV は水素原子のイオン化エネルギーに対応し、実験値と見事に一致します。ボーアモデルの大きな成功でした。

$n$	$r_n / a_0$	$E_n$ (eV)
1	1	$-13.6$
2	4	$-3.4$
3	9	$-1.51$
4	16	$-0.85$
$\infty$	$\infty$	$0$（電離）

問4：光子の振動数

エネルギー保存則：

量子数 $n$ のエネルギー準位 $E$ から、より低い量子数 $n'$（$n' < n$）のエネルギー準位 $E'$ へ遷移するとき、失ったエネルギーが光子として放出されます。

ここで $E_n \propto -1/n^2$ なので、$n > n'$ のとき $E > E'$（$E$ は $E'$ より $0$ に近い、つまりエネルギーが高い）。

$$E - E' = h\nu \quad (> 0)$$

振動数を求める：

$$\nu = \frac{E - E'}{h}$$

符号の確認： $E = -13.6/n^2$（eV）, $E' = -13.6/n'^2$（eV）

$n > n'$ のとき $1/n^2 < 1/n'^2$ なので $|E| < |E'|$、したがって $E > E'$（$E$ は "less negative"）。

よって $E - E' > 0$ であり、$\nu > 0$ が保証されます。

具体例： $n = 3 \to n' = 1$（ライマン系列）の場合

$$\nu = \frac{E_3 - E_1}{h} = \frac{(-1.51) - (-13.6)}{h} = \frac{12.1\ \text{eV}}{h}$$

これは紫外線領域に相当します。

補足：水素原子のスペクトル系列

遷移先の量子数 $n'$ によってスペクトル系列が分類されます：

• ライマン系列（$n' = 1$）：紫外線。$n = 2, 3, 4, \ldots \to 1$
• バルマー系列（$n' = 2$）：可視光。$n = 3, 4, 5, \ldots \to 2$
• パッシェン系列（$n' = 3$）：赤外線。$n = 4, 5, 6, \ldots \to 3$

バルマー系列の $n = 3 \to 2$（赤：$H_\alpha$）、$n = 4 \to 2$（青緑：$H_\beta$）は水素の線スペクトルとして有名です。これらの波長がボーアモデルの予測と実験値で精密に一致したことが、ボーアモデルの画期的な成功でした。

補足：リュードベリの式との関係

ボーアモデルから導かれる振動数の式をさらに整理すると：

$$\nu = \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^3}\left(\frac{1}{n'^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$

波長 $\lambda = c/\nu$ に書き換えると：

$$\frac{1}{\lambda} = R_\infty\left(\frac{1}{n'^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$

ここで $R_\infty = \dfrac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^3 c} \fallingdotseq 1.097 \times 10^7\ \text{m}^{-1}$ はリュードベリ定数です。ボーアモデル登場前に経験的に知られていたリュードベリの式が、理論的に導出されたことになります。