共通テスト物理「第2問」は、空気抵抗を受ける落下運動を題材にした探究活動（実験考察）の大問です。重ねたアルミカップを落下させ、終端速度と質量（枚数）の関係を調べます。
紙を落とすと最初はどんどん加速するが、やがて一定の速さで落ちる。これは空気抵抗が速さとともに増加し、重力とちょうど釣り合うから。抵抗力は運動と逆向き（ブレーキの役割）、速さが増すと抵抗力は増加し、正味の力が減るので加速度は減少する。
物体が空気中を落下するとき、物体には2つの力が働く：
[ア] 逆向き：抵抗力は物体の運動を妨げる方向に働くため、落下中は運動の向きと逆向き（上向き）。
初速度 \(0\) で落下させたとき、速さは \(0\) から徐々に増加する。抵抗力 \(R\) は速さに依存するため：
[イ] 増加：速さが増すにつれ、抵抗力の大きさは増加する。
運動方程式（下向きを正）：
$$ma = mg - R$$速さが増して \(R\) が大きくなると、正味の力 \(mg - R\) は小さくなるため：
[ウ] 減少：加速度の大きさは減少する。
最終的に \(R = mg\) となると \(a = 0\) になり、一定の速度（終端速度 \(v_t\)）で落下する。
落下を開始した直後は \(v \fallingdotseq 0\) なので \(R \fallingdotseq 0\)、ほぼ自由落下（\(a \fallingdotseq g\)）。速さが増すにつれ \(R\) が増加し、加速度が徐々に小さくなる。十分な時間が経つと：
$$mg = R \quad \Rightarrow \quad a = 0 \quad \Rightarrow \quad v = v_t = \text{const.}$$このように指数関数的に終端速度に漸近する。空中のスカイダイバーや雨粒の運動もこのメカニズム。
空気抵抗を受ける落下運動では、速さが増すと抵抗力が増加し、加速度が減少する。\(R = mg\) になった瞬間に加速度がゼロとなり、以降は等速（終端速度）で落下する。「力のつり合い＝等速運動」の典型例。
アルミカップを何枚か重ねて落下させると、20 cm ごとの通過時間を測定できる。落下が十分進んで等速になった区間（時間が一定になった区間）のデータから \(v_t = \Delta x / \Delta t\) を計算する。等速区間を見つけるのがカギ。
表1のデータ（\(n = 3\)）を確認する：
| 区間 [cm] | 0〜20 | 20〜40 | 40〜60 | 60〜80 | 80〜100 | 100〜120 | 120〜140 | 140〜160 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 時間 [s] | 0.14 | 0.13 | 0.13 | 0.13 | 0.13 | 0.13 | 0.13 | 0.13 |
0〜20 cm の区間では 0.14 s だが、それ以降は 0.13 s で一定。つまり 20 cm 以降で終端速度に到達している。
終端速度は等速区間から：
$$v_t = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0.20\;\text{m}}{0.13\;\text{s}} = 1.538...\;\text{m/s}$$有効数字2桁に丸めると：
$$v_t = \underline{1.5} \times 10^{\underline{0}}\;\text{m/s}$$\(0.20 / 0.13 = 1.538...\) を有効数字2桁にするとき：
指数表記 \(a.b \times 10^c\) で \(a = 1\)、\(b = 5\)、\(c = 0\)。
\(\Delta x = 0.20\) m（有効数字2桁）、\(\Delta t = 0.13\) s（有効数字2桁）なので、答えも有効数字2桁で表す。
最初の区間（0〜20 cm）では物体が静止状態から加速するため、平均速度が終端速度より小さい。したがって同じ距離を通過するのにより長い時間がかかる。
枚数が多い（\(n = 4, 5\)）場合は終端速度が大きいため、到達までの加速距離も長くなり、最初の数区間まで時間の差が見られる。
終端速度を実験データから求めるには、等間隔の通過時間が一定になった区間を見つける。その区間で \(v_t = \Delta x / \Delta t\)。有効数字の桁数は、元データの有効数字に合わせる（\(\Delta x\)、\(\Delta t\) の少ない方の桁数）。
先生と生徒は「\(R = kv\) なら \(v_t = mg/k\) で、\(m \propto n\) だから \(v_t \propto n\) になるはず」と予想した。実際にグラフを描くと、データ点は直線的に増えるものの、その直線が原点を通らない（or 原点から大きく外れる）。これは「\(v_t\) と \(n\) が正比例する」という予想と矛盾する。
もし \(R = kv\) が正しければ、終端速度は：
$$kv_t = mg = n m_0 g \quad \Rightarrow \quad v_t = \frac{m_0 g}{k} \cdot n$$つまり \(v_t\) と \(n\) は正比例（原点を通る直線）のはず。
しかし図3の測定データに最もフィットする直線を引くと、その直線は原点を大きく外れる（\(n = 0\) のとき \(v_t \neq 0\) になってしまう）。
これは \(v_t \propto n\)（原点を通る直線）の予想と矛盾する。
選択肢を検討すると：
2つの量 \(y\) と \(x\) が正比例 \(y = cx\) の関係にあるとき、\(y\text{-}x\) グラフは原点を通る直線になる。
実験データが直線に乗っていても、その直線の \(y\) 切片がゼロでなければ正比例ではない。\(v_t\text{-}n\) のフィット線が原点から外れるということは、\(v_t = c \cdot n\) の関係式が成り立たず、\(R = kv\) の仮定が誤っていることを意味する。
正比例 \(y = cx\) が成り立つかどうかの判定は、データ点にフィットさせた直線が原点を通るかどうかを確認する。直線が原点から大きく外れれば、その比例関係は否定される。単に「直線に乗る」だけでは正比例とは限らない（\(y = ax + b\) の可能性がある）。
抵抗力が速さの2乗に比例する場合（\(R = k'v^2\)）、終端速度では \(k'v_t^2 = mg = nm_0 g\)。つまり \(v_t^2 \propto n\)。この関係式を変形すれば、\(v_t^2\) vs \(n\) のグラフ、あるいは \(v_t\) vs \(\sqrt{n}\) のグラフが原点を通る直線になるとわかる。
抵抗力が \(R = k'v^2\)（速さの2乗に比例）の場合を考える。
終端速度では力がつり合うので：
$$k'v_t^2 = mg = n m_0 g$$ $$v_t^2 = \frac{m_0 g}{k'} \cdot n$$つまり \(v_t^2\) は \(n\) に正比例する。ここから2通りの「原点を通る直線」グラフが作れる：
パターン1：\(v_t^2\) vs \(n\) → 直線（傾き \(m_0 g / k'\)）
$$v_t^2 = \left(\frac{m_0 g}{k'}\right) n$$パターン2：\(v_t\) vs \(\sqrt{n}\) → 直線（傾き \(\sqrt{m_0 g / k'}\)）
$$v_t = \sqrt{\frac{m_0 g}{k'}} \cdot \sqrt{n}$$選択肢表から、これに該当するのは：
\(v_t^2 \propto n\) の関係を変形して、他の候補を検証する：
| 番号 | 縦軸 | 横軸 | 関係式 | 原点通過？ |
|---|---|---|---|---|
| ① | \(\sqrt{v_t}\) | \(\sqrt{n}\) | \(\sqrt{v_t} = c \cdot n^{1/4}\) | ×（\(\sqrt{n}\) で直線にならない） |
| ② | \(\sqrt{v_t}\) | \(n\) | \(\sqrt{v_t} \propto n^{1/4}\) | × |
| ③ | \(\sqrt{v_t}\) | \(n^2\) | 非線形 | × |
| ④ | \(v_t\) | \(\sqrt{n}\) | \(v_t = c'\sqrt{n}\) | ✓ |
| ⑤ | \(v_t\) | \(n\) | \(v_t \propto \sqrt{n}\)（曲線） | × |
| ⑥ | \(v_t\) | \(n^2\) | 非線形 | × |
| ⑦ | \(v_t^2\) | \(\sqrt{n}\) | \(v_t^2 \propto n\)（\(\sqrt{n}\) に対して曲線） | × |
| ⑧ | \(v_t^2\) | \(n\) | \(v_t^2 = cn\) | ✓ |
| ⑨ | \(v_t^2\) | \(n^2\) | \(v_t^2 \propto n\)（\(n^2\) に対して非線形） | × |
流体力学的には：
アルミカップの落下は後者に近く、\(R \propto v^2\) がよりよいモデルになる。
べき乗関係 \(y = cx^a\) の検証は、適切な変数変換で「原点を通る直線」に変換できるかで判定する。\(v_t^2 \propto n\) なら、(1) \(v_t^2\) vs \(n\)、(2) \(v_t\) vs \(\sqrt{n}\) の2通りが直線になる。縦軸・横軸の「べき」の和が関係式と合うかを確認するのがコツ。
抵抗力 \(R\) が速さ \(v\) にどう依存するかを調べたい。そのためには各瞬間の \(v\) と \(R\) の組を知る必要がある。\(v\) は \(y\text{-}t\) グラフから計算済み。\(R\) を求めるには運動方程式 \(ma = mg - R\) から \(a\) が必要。\(v\text{-}t\) グラフの各区間での速度変化から \(a\) を計算し、\(R = m(g - a)\) で抵抗力を求める。
\(R\) と \(v\) の関係を明らかにするための手順を考える。
ステップ1：図4の \(y\text{-}t\) グラフから、\(\Delta t = 0.05\) s ごとの平均速度を計算して \(v\text{-}t\) グラフ（図5）を作る。
$$v_i = \frac{y_{i+1} - y_i}{\Delta t}$$ステップ2（[エ] の選択）：\(v\text{-}t\) グラフから加速度 \(a\) を求める方法を選ぶ。
3つの候補を検討する：
したがって [エ] = (c)。
ステップ3（[オ] の式）：加速度 \(a\) がわかったら、抵抗力 \(R\) を求める。
鉛直下向きを正として運動方程式を立てると：
$$ma = mg - R$$ $$\therefore \quad R = m(g - a)$$落下途中では \(0 \lt a \lt g\) なので \(R = m(g - a) \gt 0\)。終端速度では \(a = 0\) より \(R = mg\)（重力とつり合う）。
したがって [オ] = (c)：\(R = m(g - a)\)。
方法 (a) は「\(v\text{-}t\) グラフに直線を引いて傾きから \(a\) を求める」。これは等加速度運動（\(a\) = 一定）の場合に有効な方法。
しかし空気抵抗がある落下運動では、\(a\) は速さとともに変化する。\(v\text{-}t\) グラフは直線ではなく曲線になるため、「1本の直線の傾き」では各時刻の正しい加速度を得られない。
もし各点での接線を引くなら原理的には正しいが、実験データの散らばりに対して接線の傾きを正確に求めるのは困難。\(\Delta v / \Delta t\) で数値的に求める方法 (c) の方が実用的。
鉛直下向き正の座標を取る。落下中の物体に働く力は：
運動方程式：
$$ma = mg - R$$これを \(R\) について解くと：
$$R = mg - ma = m(g - a)$$落下の初期は \(a \fallingdotseq g\) なので \(R \fallingdotseq 0\)。終端速度では \(a = 0\) なので \(R = mg\)。物理的に矛盾なし。
選択肢 (a) \(R = m(g + a)\) だと、落下中 \(a \gt 0\) のとき \(R \gt mg\) となり、終端速度に達する前に抵抗力が重力を超えてしまう。初期（\(a \fallingdotseq g\)）では \(R \fallingdotseq 2mg\) となり物理的に不合理。
加速度が時間とともに変化する運動では、\(\Delta v / \Delta t\) で区間ごとの加速度を数値的に求める方法が有効。「直線の傾き」は等加速度運動でのみ使える手法。抵抗力は運動方程式 \(ma = mg - R\) から \(R = m(g - a)\) で求まる。