解法の指針

AさんとBさんがジャガイモを使って浮力の探究活動を行う問題です。ばねばかり・キッチンはかりを用いた実験から浮力の性質を考察します。

問題の構成

• 問1：アルキメデスの原理を用いた浮力の計算（密度・質量・体積の関係）
• 問2：水中のジャガイモにはたらく力のつりあい式と、グラフからの浮力の読み取り
• 問3：ばねばかりの値とキッチンはかりの値の相関グラフ（作用反作用）
• 問4：物体の形状と、沈めたときのばねばかりの値の変化（断面積と深さの関係）
• 問5：計量カップの底に載ったジャガイモにはたらく垂直抗力の考察

問1 — 浮力の基本計算

密度 \(\rho = 2.6 \times 10^3\) kg/m\(^3\)、質量 \(m = 1.0\) kg の物体の体積を求める：

$$V = \frac{m}{\rho} = \frac{1.0}{2.6 \times 10^3} = \frac{1}{2600} \fallingdotseq 3.85 \times 10^{-4} \text{ m}^3$$

アルキメデスの原理より、物体にはたらく浮力は「押しのけた水の重さ」に等しい：

$$F = \rho_w g V = 1.0 \times 10^3 \times 9.8 \times 3.85 \times 10^{-4}$$ $$F = \frac{\rho_w}{\rho} \times mg = \frac{1.0 \times 10^3}{2.6 \times 10^3} \times 1.0 \times 9.8 = \frac{9.8}{2.6} \fallingdotseq 3.8 \text{ N}$$

補足：浮力を「密度比」で計算するテクニック

浮力の公式 \(F = \rho_w g V\) に \(V = m/\rho\) を代入すると：

$$F = \frac{\rho_w}{\rho} \times mg$$

つまり浮力は「水の密度と物体の密度の比」× 重力で計算できる。物体の密度が水の \(n\) 倍なら、浮力は重力の \(1/n\) 倍。この関係を覚えておくと素早く概算できる。

本問では \(\rho/\rho_w = 2.6\) なので、浮力は重力の \(1/2.6 \fallingdotseq 0.385\) 倍 → \(0.385 \times 9.8 \fallingdotseq 3.8\) N。

問2 — 力の関係式と浮力の読み取り

ジャガイモが計量カップの底についていないとき、はたらく力は重力 \(W\)（下向き）、糸の張力 \(T\)（上向き）、浮力 \(F\)（上向き）の3力。つりあいの式は：

$$W = T + F$$

これを浮力について解くと：

$$F = W - T$$

ばねばかりは張力 \(T\) を測定しているので、重力 \(W\)（空気中でのばねばかりの値）との差から浮力がわかる。よってア：(b) \(F = T - W\)（問題文の記号に従うと \(F = T - W\) は \(T\) を空気中の値、\(W\) を水中の値と定義した場合の表記）。

図2の上のグラフ（ばねばかりの値 vs 深さ）から、ジャガイモ全体が水に沈んだとき（深さ6 cm以上）のばねばかりの値は約 0.1 N に収束している。空気中の値は約 1.1 N なので：

$$F = W - T = 1.1 - 0.1 = 1.0 \text{ N}$$

よってイ：(e) 約 1.0 N。

補足：グラフの読み方と浮力の変化

図2の上のグラフで、ばねばかりの値が深さ 0 cm（水面）付近から急激に減少し、深さ約 6 cm で一定値（約 0.1 N）になる理由：

• 深さが増す → 水没体積が増加 → 浮力が増加 → 張力（ばねばかりの値）が減少
• 完全に沈むと水没体積は一定 → 浮力一定 → ばねばかりの値も一定

グラフが直線的でなく曲線的なのは、ジャガイモの断面積が深さによって変わるため（楕円体に近い形状）。

問3 — ばねばかりとキッチンはかりの関係

図1の実験装置を見ると、ジャガイモは糸でばねばかりにつるされ、水を入れた計量カップがキッチンはかりの上に置かれている。ジャガイモを水に沈めていくと：

ばねばかりの値 \(T\)（張力）：沈めるほど浮力が増え、張力が減る → 値は減少

キッチンはかりの値：作用反作用の法則により、水がジャガイモに及ぼす浮力と同じ大きさの力が水側に下向きに加わる → 値は増加

$$T + F = W = \text{一定}$$ $$\text{キッチンはかりの増加分} = F = W - T$$

したがって、ばねばかりの値が 1 N 減ると、キッチンはかりの値は対応する分だけ増える。この関係は右下がりの直線になる。

別解：式で確認する

キッチンはかりの表示値を \(M\) (kg)、水+計量カップの質量を \(M_0\) (kg) とすると：

$$Mg = M_0 g + F = M_0 g + (W - T)$$ $$M = M_0 + \frac{W - T}{g}$$

\(M_0\) と \(W\) は定数なので、\(M\) は \(T\) の1次関数（傾き \(-1/g\)）。これは負の傾きの直線を表す。

補足：作用反作用の法則とはかり

水がジャガイモに浮力 \(F\)（上向き）を及ぼすとき、ジャガイモは水に力 \(F\)（下向き）を及ぼす（作用反作用の法則）。この下向きの力は水を通じてカップの底、さらにキッチンはかりに伝わる。そのため、物体を沈めるとキッチンはかりの値が浮力分だけ増加する。

問4 — 物体の形状とグラフの対応

図3のグラフの特徴を読み取ると：沈め始めはばねばかりの値がゆっくり減少し、途中から急激に減少し、完全に沈むと一定値になる。

これは「最初は断面積が小さく、深くなるにつれて断面積が大きくなる」形状を意味する。浮力の増加率は水没する断面積に比例するので：

$$\frac{dF}{dh} = \rho_w g \cdot A(h)$$

ここで \(A(h)\) は深さ \(h\) での水平断面積。各形状を検討すると：

• 球：中央が最大で両端が小さい → 対称的な変化
• 円柱：断面積一定 → 直線的に減少
• 円すい（頂点が上、底面が下）：底面から沈めるので最初は断面積小、深くなると大 → 図3に一致
• 立方体：断面積一定 → 直線的に減少

ただし問題の図では円すいは頂点が上で、糸は頂点の上端に結ばれている（Pは底面の中心）。底面（大きな断面）が先に水に入るので、沈め始めに急激に浮力が増え、その後は緩やかになる。

しかし図3のグラフは逆の特徴（始め緩やか→後で急）を示しているため、Pが上面（頂点側）から沈む円すい — つまり細い頂点側が先に水に入る配置が正解。

補足：各形状の断面積変化と微分の関係

ばねばかりの値 \(T\) の深さ \(h\) に対する変化率は：

$$\frac{dT}{dh} = -\rho_w g A(h)$$

• 円柱・立方体：\(A(h) = \text{const}\) → \(T\) は \(h\) の1次関数（直線）
• 球：\(A(h) = \pi(2Rh - h^2)\) → 放物線的変化
• 円すい：\(A(h) \propto h^2\)（頂点から沈める場合）→ 3次関数的変化（始め緩やか、後で急）

図3は明らかに「始め緩やか→途中で急→一定」なので、円すいの頂点側から沈める場合に一致する。

問5 — 底に載ったジャガイモの垂直抗力

ジャガイモが計量カップの底に載り、糸がたるんでいる状態を考える。このとき張力 \(T = 0\) であり、ジャガイモにはたらく力は：

• 重力 \(W\)（下向き）
• 浮力 \(F\)（上向き）
• 垂直抗力 \(N\)（上向き、底面から）

よって ウ：(b) 重力と浮力 がジャガイモにはたらいている。

力のつりあいの式は：

$$W = N + F$$ $$N = W - F$$

水がない場合は \(F = 0\) なので \(N = W\)。水がある場合は浮力 \(F > 0\) が加わるので：

$$N = W - F < W$$

つまり垂直抗力は水がない場合と比べてエ：(f) 小さくなる。

補足：キッチンはかりの読み取り値への影響

ジャガイモが底に載った状態では、キッチンはかりが測る力は：

$$\text{はかりの値} \times g = (\text{水} + \text{カップ})\text{の重力} + N$$

水がない場合の垂直抗力 \(N_0 = W\) に比べて、水中では \(N = W - F < W\) なので、はかりの増加分は \(N\)（ジャガイモの重力より小さい）。しかしこれに水自体の重さが加わるため、全体としてはかりの値は増える。

別解：エネルギーの観点から理解する

水中で物体を底面に押し付ける「見かけの重さ」は \(W - F\) である。これは「物体の密度と水の密度の差」に比例する：

$$N = W - F = mg - \rho_w g V = (\rho - \rho_w) g V$$

\(\rho > \rho_w\)（水より密度が大きい物体）なので \(N > 0\) で底に沈むが、空気中の \(N = mg = \rho g V\) よりは小さくなる。