アトウッド機（滑車にかけた糸の両端におもりをつるす装置）を用いて重力加速度 \(g\) を測定する実験問題です。質量差のある2つのおもりの運動から加速度を求め、\(g\) の値を導きます。
滑車の両側に同じ質量のおもりをつるせば、どちらも動かない。綱引きで両方が同じ力で引き合えばロープが動かないのと同じ原理。質量差がないから加速度はゼロ。
アトウッド機の運動方程式の導出：
質量 \(M'\) のおもりが下降し、質量 \(M\) のおもりが上昇する場合を考えます。糸の質量と滑車の摩擦は無視します。
\(M'\) 側の運動方程式（下向き正）：
$$M'g - T = M'a$$\(M\) 側の運動方程式（上向き正）：
$$T - Mg = Ma$$2式を辺々加えて張力 \(T\) を消去すると：
$$M'g - Mg = (M' + M)a$$ $$ a = \frac{(M' - M)g}{M' + M} $$\(M = M'\) のとき：
$$ a = \frac{(M - M)g}{M + M} = \frac{0}{2M} = 0 $$両側の質量が等しければ、力が釣り合い加速度はゼロになります。
\(M = M'\) のとき、運動方程式 \(T - Mg = 0\) より：
$$T = Mg$$張力は重力と等しくなり、静止状態（または等速運動）を保ちます。
一般の場合は：
$$T = \frac{2MM'g}{M + M'} = \frac{2M^2g}{2M} = Mg$$両側が完全に対称（\(M = M'\)）なので、どちらが上昇するかを決める物理的理由がありません。したがって系は静止を保ち \(a = 0\) です。これは運動方程式を解くまでもなく、対称性の議論から即座に結論できます。
アトウッド機の加速度公式 \(a = \dfrac{(M'-M)g}{M'+M}\) は\(g\) より必ず小さい。質量差 \((M'-M)\) が小さいほど加速度も小さくなり、「ゆっくり落ちる」効果で \(g\) の測定が容易になる。
初速度ゼロからスタートして距離 \(s\) を進んだときの速度が \(v\) なら、加速度は \(v^2/(2s)\) で求まる。これは等加速度運動の基本公式 \(v^2 = 2as\) を変形しただけ。
\(M < M'\) のとき、おもりは静止状態（\(v_0 = 0\)）からスタートし、距離 \(s\) を進んだところで速さ \(v\) に達します。
等加速度直線運動の公式（初速 \(v_0 = 0\)）を使います：
$$v^2 = v_0^2 + 2as = 0 + 2as = 2as$$加速度 \(a\) について解くと：
$$ a = \frac{v^2}{2s} $$この公式は、速度と距離の測定値から直接加速度を算出できる便利な関係式です。時間を測定する必要がありません。
\(v_0 = 0\) として、\(v = at\) と \(s = \frac{1}{2}at^2\) の2式から時間 \(t\) を消去します。
\(v = at\) より \(t = v/a\)。これを \(s = \frac{1}{2}at^2\) に代入：
$$s = \frac{1}{2}a\left(\frac{v}{a}\right)^2 = \frac{v^2}{2a}$$ $$\therefore\quad a = \frac{v^2}{2s}$$\(a = v^2/(4s)\) は \(v^2 = 4as\) を意味し、初速ありの場合の式を混同しています。
\(a = 3v^2/(4s)\) は等加速度の公式のどの変形にも該当しません。
\(a = 4v^2/s\) は \(v^2 = as/4\) を意味し、係数が不正確です。
基本公式 \(v^2 - v_0^2 = 2as\) を正確に覚えておくことが重要です。
等加速度運動の3公式「\(v = v_0 + at\)」「\(s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\)」「\(v^2 - v_0^2 = 2as\)」のうち、時間を含まない第3式が加速度を求めるのに最も便利。共通テストでは時間なしで求められる場面が多い。
おもりCがパイプの上端に接して止まった後、おもりBはパイプ内部を等速で落下する。等速直線運動では「速さ = 距離 / 時間」が成り立つ。距離 \(H\) を時間 \(T\) で通過するので \(v = H/T\)。
おもりCがパイプの上端に接して止まると、Aからの上向きの力（糸の張力）がなくなります。しかしBはパイプの内側を滑り落ちるため、パイプとの摩擦は無視でき（問題文の条件）、等速直線運動を行います。
なぜ等速か：加速区間で獲得した速度 \(v\) でCが止まった瞬間から、Bには糸の張力がかからなくなります。一方、パイプ内のBはパイプの壁で支えられつつ鉛直に落ちます。問題では「等速度で距離 \(H\) だけ落下して床に達した」と明記されています。
等速直線運動の基本式より：
$$ v = \frac{H}{T} $$ここで \(H\) はパイプの底面から床までの距離、\(T\) はBが床に達するまでの時間です。
もしBが糸から解放されて空中を自由落下するなら \(v_0 + gT\) で加速し続けますが、この実験ではBはパイプ内部を等速で通過します。
等速になる理由は、Cがパイプ上端に引っかかった後もAの質量 \(M\) が糸を通じてBを引き上げる力として残り（AとBの質量が同じ \(M\)）、BにかかるCの小質量 \(m\) 分の重力超過がパイプとの微小な摩擦で相殺されるためです。実質的にBは等速で運動します。
速さの単位は [m/s]。\(H\) の単位は [m]、\(T\) の単位は [s] なので：
$$\frac{H}{T} = \frac{[\text{m}]}{[\text{s}]} = [\text{m/s}] \quad \checkmark$$他の選択肢 \(gT\), \(aT\), \(2gT\) は単位こそ [m/s] ですが、等速運動に加速度 \(g\) や \(a\) を使うのは物理的に不適切です。
等速直線運動の基本：\(v = \dfrac{\text{距離}}{\text{時間}}\)。問題文に「等速度で落下」と書かれたら、\(v = H/T\) を使う。加速度 \(g\) や \(a\) を持ち出すと誤り。
加速度 \(a\) が一定なら、\(v^2 = 2as\) と \(v = H/T\) から \(s\) と \(T\) の関係が決まる。\(s\) を横軸（\(t\) 軸として使用）、\(s^2\) を縦軸にとれば、\(s^2 = s \cdot s\) は明らかに \(s\) の2次関数（原点を通る放物線）。だが、横軸が時間 \(T\) なら関係は異なる。問題の「\(t\)」は測定時間 \(T\) を指し、\(s\) と \(T\) の関係から正しいグラフを選ぶ。
問2の結果 \(v^2 = 2as\) と、問3の結果 \(v = H/T\) を組み合わせます。
\(v = H/T\) を \(v^2 = 2as\) に代入：
$$\frac{H^2}{T^2} = 2as$$これを \(T^2\) について解くと：
$$ T^2 = \frac{H^2}{2as} $$問題では距離 \(s\) を4通りに変えて測定時間 \(T\) を得ています。横軸 \(t\)（\(= T^2\) に相当）、縦軸 \(s^2\) としてプロットを考えます。
上式より \(s = \dfrac{H^2}{2a} \cdot \dfrac{1}{T^2}\) なので、\(s\) は \(1/T^2\) に比例します。
\(s\) と \(T^2\) の関係：\(s \cdot T^2 = \dfrac{H^2}{2a} = \text{const}\) より \(s = C/T^2\)（反比例）。
一方、問題の選択肢グラフを見ると、\(s^2\) vs \(t\) のプロットが問われています。加速区間の運動 \(s = \frac{1}{2}at^2\)（\(t\) は加速時間）から、
$$s^2 = \frac{1}{4}a^2 t^4$$ではなく、問題の文脈を整理すると、横軸の \(t\) は直接 \(T\)（パイプ通過時間）ではなく、\(v = H/T\) から算出した \(v^2\) の値に対応するプロットと解釈できます。
\(v^2 = 2as\) より \(s = v^2/(2a)\)。すなわち \(s\) は \(v^2\) に比例するので、\(s^2\) は \(v^4\) に比例します。横軸を \(v^2\)（\(= H^2/T^2\)）にとれば \(s\) と \(v^2\) は線形関係です。
最もシンプルな解釈：横軸 \(t = v^2\) として \(s\) を縦軸にとったとき、\(s = v^2/(2a)\) は原点を通る直線になります。
\(s\) vs \(v^2\) のグラフが直線なら、その傾きは：
$$\text{傾き} = \frac{s}{v^2} = \frac{1}{2a}$$よって \(a = \dfrac{1}{2 \times \text{傾き}}\) で加速度が実験的に求まります。
このように変数変換で直線グラフを作ることは、共通テストの実験問題で頻出のテクニックです。
加速度 \(a = 0.5\) m/s²、\(H = 0.3\) m として具体的に計算してみます。
| s [m] | v [m/s] | v² [m²/s²] | T [s] |
|---|---|---|---|
| 0.10 | 0.316 | 0.10 | 0.949 |
| 0.20 | 0.447 | 0.20 | 0.671 |
| 0.30 | 0.548 | 0.30 | 0.548 |
| 0.40 | 0.632 | 0.40 | 0.474 |
\(s\) vs \(v^2\) は完全な直線（傾き = 1/(2×0.5) = 1.0）です。\(s\) vs \(T\) は非線形になります。
実験データのグラフ問題では、何を横軸・縦軸にとるかで直線になるかどうかが変わる。\(v^2 = 2as\) を「\(s\) vs \(v^2\)」や「\(v^2\) vs \(s\)」で見れば直線、「\(s\) vs \(T\)」で見ると曲線。共通テストでは直線化のテクニックが頻出。
アトウッド機の加速度 \(a = \dfrac{(M'-M)g}{M'+M}\) を \(g\) について解き、問2で求めた \(a = v^2/(2s)\) を代入すれば、測定可能な量（\(M, m, v, s\)）だけで \(g\) が表せる。
アトウッド機の加速度公式に \(M' = M + m\)（一方のおもりに小質量 \(m\) を追加）を代入します。
$$ a = \frac{(M' - M)g}{M' + M} = \frac{(M + m - M)g}{(M + m) + M} = \frac{mg}{2M + m} $$これを \(g\) について解きます：
$$ g = \frac{(2M + m)}{m} \cdot a $$問2の結果 \(a = \dfrac{v^2}{2s}\) を代入すると：
$$ g = \frac{2M + m}{m} \cdot \frac{v^2}{2s} $$問4のグラフの傾き（\(s\) vs \(v^2\) の傾き \(= 1/(2a)\)）を読み取れば、実験的に \(a\) が定まり、上式から \(g\) が計算できます。
数値確認：\(M = 1.0\) kg, \(m = 0.10\) kg, グラフから \(a = 0.47\) m/s² が得られたとすると：
$$g = \frac{2 \times 1.0 + 0.10}{0.10} \times 0.47 = \frac{2.10}{0.10} \times 0.47 = 21.0 \times 0.47 = 9.87 \text{ m/s}^2$$妥当な値（\(\fallingdotseq 9.8\) m/s²）が得られます。
追加質量 \(m\) がおもりの質量 \(M\) に比べて十分小さい場合（\(m \ll M\)）：
$$g \fallingdotseq \frac{2M}{m} \cdot \frac{v^2}{2s} = \frac{M}{m} \cdot \frac{v^2}{s}$$分母の \(m\) が小さいほど \(g\) の値が大きくなるのは、小さな質量差で大きな加速度を生み出すには重力加速度が大きくなければならないためです。
運動方程式ではなく、エネルギー保存の立場からも同じ結果を導けます。
おもりCの小質量 \(m\) が距離 \(s\) だけ下降したとき、系全体の運動エネルギーは：
$$\frac{1}{2}(2M + m)v^2 = mgs$$（重い側が \(s\) 下降し、軽い側が \(s\) 上昇。正味の位置エネルギー変化は \(mgs\)。）
これを \(g\) について解くと：
$$g = \frac{(2M + m)v^2}{2ms}$$運動方程式から導いた結果と一致します。
実験で \(g\) を求める問題では、理論式（運動方程式）→ \(g\) について解く → 測定量を代入の3ステップで解く。アトウッド機では質量差を小さくして加速度を小さくし（「スローモーション化」）、測定精度を上げている。