本問は独立した 2 つの問題からなる。
断面積 \(S\) のシリンダーに理想気体 \(n\) モルを封入し、ピストンとシリンダー底面をゴムひもでつなぐ。ゴムひもは伸び \(x\) と温度 \(T\) の積に比例した張力 \(F = f(x)T\)（ただし \(f(x) = (x/x_0)f_0\)）を出す特殊なバネ。気体とゴムひもが一体の熱力学系として扱われ、「気体＋ゴムひもの状態量」でエネルギー保存を適用するのが核心。
水面波の円形同位相波源 \(S_0, S_1, S_2, \ldots\) が \(xy\) 面内にあり、原点 O で合成波を考える。波源の位置は距離 \(\ell = (i-1)T/(n-1) \cdot v\)（速度 \(v\) × 時間差）に応じて調整。一定振幅の波が波源ごとに時刻 \(t_i = (i-1)T/(n-1)\) から発せられる。
立式：ピストン上下に働く力を鉛直方向で書き下す。ピストン自身の質量は無視できる（材質と熱容量の記述から断面で考える）。上からは大気圧による力 \(P_0 S\)（下向き）、下からは気体の圧力による力 \(PS\)（上向き）、そして伸びているゴムひもの張力 \(F\)（ピストンを底に向かって引く＝下向き）が働く。
つり合いの式（上向き正）：
$$ PS - P_0 S - F = 0 $$これを \(P\) について解く：
$$ PS = P_0 S + F \;\;\Longrightarrow\;\; P = P_0 + \frac{F}{S} $$ゴムひもは伸びた状態で自然長に戻ろうとする復元力を出す。ピストンから見ると「底に向かって引かれる」、底から見ると「ピストンに向かって引かれる」。ピストンが上方にあって底が下にあるなら、ピストンへの張力は下向き。これが「\(P_0\) と同じ側（下向き）に追加される」理由。
もしゴムひもが「縮んで押す」材質（圧縮バネ）なら向きが逆になるが、ゴムひもは引くのみと考えてよい。
圧力 = 気体分子の「単位面積あたりの押し」。つり合い式は常に「力の絶対量」 \(\times\) 面積で書き、最後に \(S\) で割って \(P\) を出す。ゴムひもは伸びたら引く方向と確認することを忘れない。
立式：問題文より \(F = f(x)\cdot T\)。図2 のグラフで \(f(x)\) は原点を通る直線で、点 \((x_0, f_0)\) を通る。したがって
$$ f(x) = \frac{f_0}{x_0}\,x $$ピストンの位置が \(x = x_1\)、気体の温度が \(T_1\) のときのゴムひもの張力を \(F_1\) とすると
$$ F_1 = f(x_1)\cdot T_1 = \frac{x_1}{x_0}\,f_0\,T_1 $$通常の金属バネは \(F = k\,x\)（温度にほとんど依存しない）。一方、ゴムひものエントロピー弾性は本問のように温度の 1 次関数となる。これはゴム分子のランダムな絡まりが、温度上昇でエントロピー的に「縮もうとする力」を強めるため。つまりゴムは温めると硬くなるという反直観的な性質を持つ。
本問の \(F = (x/x_0) f_0 T\) はこの理想化モデルであり、内部エネルギーが温度のみの関数という「理想ゴム」の条件と整合的。
グラフから比例定数を読むコツ：「原点を通る直線」で「参照点 \((x_0, f_0)\)」が与えられたら傾きは \(f_0 / x_0\)。そして \(F = f(x)\cdot T\) の形は理想ゴムのエントロピー弾性を反映した温度依存張力。
立式：状態方程式 \(PV = nRT\)、\(V = Sx\) より
$$ P = \frac{nRT}{Sx} $$一方、問1、問2 より
$$ P = P_0 + \frac{F}{S} = P_0 + \frac{1}{S}\cdot\frac{x}{x_0}f_0 T $$両式を等置し、\(P\) を消去：
$$ \frac{nRT}{Sx} = P_0 + \frac{x f_0 T}{x_0 S} $$両辺に \(Sx\) を掛ける：
$$ nRT = P_0 S x + \frac{x^2 f_0 T}{x_0} $$\(T\) について整理：
$$ T\left(nR - \frac{x^2 f_0}{x_0}\right) = P_0 S x \;\;\Longrightarrow\;\; T = \frac{P_0 S x}{\,nR - x^2 f_0 / x_0\,} $$ここで物理的に意味のある範囲では \(nR > x^2 f_0/x_0\)（分母が正）。分子 \(P_0 S x\) は \(x\) の増加関数、分母 \(nR - x^2 f_0/x_0\) は \(x\) の減少関数。よって\(T\) は \(x\) の単調増加関数。
したがって \(x_2 < x_1\) ならば
$$ T_2 < T_1 $$\(T = \dfrac{P_0 S x}{nR - x^2 f_0/x_0}\) について \(x\) で微分すると：
$$ \frac{dT}{dx} = \frac{P_0 S \cdot (nR - x^2 f_0/x_0) - P_0 S x \cdot (-2x f_0/x_0)}{(nR - x^2 f_0/x_0)^2} $$分子を整理すると
$$ = \frac{P_0 S \bigl[\,nR - x^2 f_0/x_0 + 2 x^2 f_0/x_0\,\bigr]}{(nR - x^2 f_0/x_0)^2} = \frac{P_0 S\,(nR + x^2 f_0/x_0)}{(nR - x^2 f_0/x_0)^2} > 0 $$分子・分母とも正なので \(dT/dx > 0\)、単調増加が確認できる。
状態方程式に「特殊なバネ」由来の追加項が混ざる場合、気体圧と張力の両方に温度が入るため \(T\) と \(x\) の関係は非自明。ただし本問の設定では最終的に \(T(x)\) が単調増加となり、\(x\) の大小だけで \(T\) の大小が決まる。
立式：ピストンが \(x_1\) から \(x_2\)（\(x_1 > x_2\)）までゆっくり（準静的に）移動するとき、ピストンに働く力は 3 つ：外力 \(F_{\text{外}}\)（下向き、仕事 \(W_A\) を作る）、大気圧 \(P_0 S\)（下向き）、気体圧とゴムひも張力の合力（上向き）。ピストンの運動エネルギー変化はゼロ。
大気がピストンに対してする仕事 \(W_{\text{大気}}\)：力 \(P_0 S\)（下向き）× 変位 \((x_1 - x_2)\)（下向き）
$$ W_{\text{大気}} = P_0 S (x_1 - x_2) $$気体＋ゴムひも系はピストンから仕事 \(W\) を受け取る（問題文より系が得た仕事）。エネルギー保存より外力＋大気＝系に入る仕事：
$$ W_A + P_0 S (x_1 - x_2) = W $$\(W_A\) について解く：
$$ W_A = W - P_0 S (x_1 - x_2) = P_0 S (x_2 - x_1) + W $$\(x_2 < x_1\) なので \(P_0 S(x_2 - x_1) < 0\)。大気がピストンを押し下げて「\(W\) の一部を肩代わり」しているため、外力が出すべき仕事はその分だけ少なくなる。もし大気圧がゼロなら \(W_A = W\) で、外力が \(W\) そのものを供給する。
逆に \(W < P_0 S(x_1 - x_2)\) ならば \(W_A < 0\)（外力が負＝ピストンを支える向きの仕事）。これは「大気のほうが過剰に押す」状況で、外力はブレーキになる。
ピストンまわりのエネルギー収支：外力の仕事 ＋ 大気の仕事 ＝ 内部系が受けた仕事。ピストンが圧縮方向に動くとき大気は「味方」で、外力の必要分を軽減する。
立式：「気体＋ゴムひも」を 1 つの系とみなす。熱力学第一法則は
$$ \Delta U_{\text{系}} = Q + W $$（系の内部エネルギー変化 ＝ 系が受けた熱 ＋ 系が受けた仕事）。
気体の内部エネルギー変化は定積モル比熱を用いて（理想気体は \(T\) のみの関数）
$$ \Delta U_{\text{気体}} = n C_v (T_2 - T_1) $$ゴムひもの内部エネルギーは温度のみの関数で、図2 の補足により関数 \(g(T)\) で表される（問題文「ゴムひもの内部エネルギーは温度のみの関数である」）。したがって
$$ \Delta U_{\text{ゴム}} = g(T_2) - g(T_1) $$系の全変化：
$$ \Delta U_{\text{系}} = n C_v (T_2 - T_1) + g(T_2) - g(T_1) $$これを熱力学第一法則に代入して \(Q\) を解く：
$$ Q = \Delta U_{\text{系}} - W = n C_v (T_2 - T_1) + g(T_2) - g(T_1) - W $$気体のみ：\(\Delta U_{\text{気体}} = Q_{\text{気体}} + W_{\text{気体}}\)。ここで \(W_{\text{気体}}\) はゴムひも越しにピストンから気体に伝わる仕事。
ゴムひものみ：\(\Delta U_{\text{ゴム}} = Q_{\text{ゴム}} + W_{\text{ゴム}}\)。ここで \(W_{\text{ゴム}}\) はゴムひもに蓄えられる弾性的な仕事。
合算：\(Q = Q_{\text{気体}} + Q_{\text{ゴム}}\)、\(W = W_{\text{気体}} + W_{\text{ゴム}}\) と分解できるが、温度調節器は両方を加熱するので合計 \(Q\) だけを考えるほうが簡潔。
「気体＋ゴムひも」を 1 つの系とみる視点が肝要。ゴムひもも内部エネルギー \(g(T)\) を持つので、熱力学第一法則には気体の \(nC_v\Delta T\) に加えて \(g(T_2) - g(T_1)\) が入る。
立式：等温（温度 \(T\) 一定）で伸びが \(x_A \to x_B\) と変わる準静的過程を考える。ゴムひもが外から受ける仕事（＝ゴムひもが蓄える弾性エネルギーの増分）は力 \(F(x) = (x/x_0)f_0 T\) を変位 \(dx\) で積分する：
$$ \Delta U_{\text{弾性}} = \int_{x_A}^{x_B} F(x)\,dx = \int_{x_A}^{x_B} \frac{x}{x_0} f_0 T\,dx $$\(T\) は一定なので積分の外に出す：
$$ \Delta U_{\text{弾性}} = \frac{f_0 T}{x_0} \int_{x_A}^{x_B} x\,dx = \frac{f_0 T}{x_0}\cdot\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x_A}^{x_B} $$結果：
$$ \Delta U_{\text{弾性}} = \frac{f_0 T}{2 x_0}\,(x_B^2 - x_A^2) $$通常のフックバネ \(F = kx\) ではエネルギー \(U = \tfrac{1}{2}kx^2\)。本問のゴムは \(F = (f_0 T/x_0)x\) なので実効的ばね定数が \(k_{\text{eff}} = f_0 T/x_0\)（温度に比例）。よって蓄積エネルギーも \(U = \tfrac{1}{2}(f_0 T/x_0)x^2\)、温度の 1 次関数になる。
増分は \(U(x_B) - U(x_A) = (f_0 T/2x_0)(x_B^2 - x_A^2)\) で本問の結果と一致。
「張力 × 微小変位」を積分すると弾性エネルギー。\(F(x) \propto x\)（線形）なら\(x^2\) の差の形で出る。温度 \(T\) を一定として外に出せるので計算は素直。
立式：原点 \(S_0\) が時刻 \(t = 0\) から \(y_0(t) = A\sin(2\pi t/T)\) の振動を始めたとする。速さ \(v\) で同心円状に波が広がる。点 P は原点から距離
$$ |OP| = a $$なので、波が点 P に到達するのは \(t = a/v\) 以降。それ以降の点 P の変位は原点の振動を \(a/v\) 遅らせたもの：
$$ y_P(t) = A\sin\!\left(2\pi\cdot\frac{t - a/v}{T}\right) \quad (t \ge a/v) $$点 Q も原点から距離 \(a\) なので同じ式になる：
$$ y_Q(t) = A\sin\!\left(2\pi\cdot\frac{t - a/v}{T}\right) \quad (t \ge a/v) $$P と Q の変位は完全に同じ位相で振動する（等距離なので）。
\(a/v\) は「波が距離 \(a\) を走るのにかかる時間」。波長を \(\lambda = vT\) とすれば \(a/v = a/\lambda \cdot T\)、つまり遅れは\(a/\lambda\) 波長分。位相表示では \(-2\pi a/\lambda\) の位相ずれに相当。
遅延が \(T\) の整数倍ならば P の振動は原点と完全に同位相。半周期ずれれば逆位相。
円形波の「距離 \(r\) 離れた点の変位」は原点の振動を \(r/v\) 遅らせるだけ。同心円上の点はすべて同一位相で揺れる。点 P と点 Q は OP = OQ = a なので位相が完全に一致する。
立式：腹（2 波源から同位相で届く点）の条件は「2 波源からの距離差が 0（もしくは波長の整数倍）」。問題文が「2 個の腹があり、それぞれがそれぞれの点を通る」と指示しているので、具体的な腹の位置の例を求めよう。
線分 PQ の垂直二等分線上の任意の点は、P と Q から等距離。PQ の中点は \(M = (a/2, a/2)\)。PQ の方向ベクトルは \((-a, a)/\sqrt 2\) で、これに垂直な方向は \((1, 1)/\sqrt 2\)。したがって垂直二等分線は原点も通り、方向 \((1, 1)\)、つまり直線 \(y = x\)。
原点からの距離 \(a/\sqrt 3\) の点で \(y = x\) 上の点は \((a/\sqrt 3,\ a/\sqrt 3)\) と \((-a/\sqrt 3,\ -a/\sqrt 3)\) の 2 点（正と負の方向）。しかし問題では原点を中心に x 軸、y 軸の原点側を扱っているので、第 1 象限の腹は \((a/\sqrt 3, a/\sqrt 3)\)、第 3 象限側は \((0, -a/\sqrt 3)\) のような配置も可能。問題文に与えられた 2 点は：
$$ \left(\frac{a}{\sqrt 3},\ 0\right),\ \left(0,\ \frac{a}{\sqrt 3}\right) $$これらが PQ の垂直二等分線\("\,y = x\,"\)ではなく別の条件：「\(\mathrm{S}_1\) からの距離 = \(\mathrm{S}_2\) からの距離 = 一定」を満たす波長の整数倍の条件で決まる。
具体的には \(\mathrm{S}_1 \mathrm{P} = \sqrt{(a - a/\sqrt 3)^2 + 0^2} = a(1 - 1/\sqrt 3)\)、\(\mathrm{S}_2 \mathrm{P} = \sqrt{(a/\sqrt 3)^2 + a^2} = a\sqrt{1/3 + 1} = a \cdot 2/\sqrt 3\)。差は \(a(2/\sqrt 3 - 1 + 1/\sqrt 3) = a(3/\sqrt 3 - 1) = a(\sqrt 3 - 1)\)。これが \(\lambda\) の整数倍となるように \(\lambda\) を決めれば腹となる。
問題文の 2 点 \((a/\sqrt 3, 0)\) と \((0, a/\sqrt 3)\) がともに腹となる条件から、波長 \(\lambda\) は
$$ \lambda = a(\sqrt 3 - 1) $$2 つの同位相波源の干渉では、2 波源からの距離差 \(\Delta r\) が波長の整数倍 \(m\lambda\) の点が腹（強め合い）、半整数倍 \((m + 1/2)\lambda\) が節（弱め合い）。
腹の軌跡は双曲線の族（2 点を焦点とする双曲線）。\(\Delta r = 0\) の場合だけが直線（垂直二等分線）になる特別なケース。
同位相 2 波源の干渉パターンは焦点を 2 波源とする双曲線族。\(\Delta r = 0\) は垂直二等分線（直線）、それ以外は双曲線。与えられた 2 点をどちらも腹にする条件から波長 \(\lambda\) を決定するのが本問の流れ。
立式：\(n = 2\) で波源 \(S_1 = \mathrm P\)、\(S_2 = \mathrm Q\) が同位相・同振幅 \(A\) で発振。原点 O から\(\mathrm P\)、\(\mathrm Q\) への距離はそれぞれ
$$ \mathrm{OP} = \mathrm{OQ} = a $$よって両波源から到達する波は原点で同位相。合成振幅は単純和の \(2A\)。\(a\) を変えると波の到達タイミングは変わるが2 つの波は常に同位相で届くため、振幅は変化しない。
$$ y_O(t) = A\sin\!\left(\frac{2\pi(t - a/v)}{T}\right) + A\sin\!\left(\frac{2\pi(t - a/v)}{T}\right) = 2A\sin\!\left(\frac{2\pi(t - a/v)}{T}\right) $$振幅は常に \(2A\)。\(a\) の値によらず一定。
\(n \ge 3\) になると波源間の時間差 \(T/(n-1)\) が入るので位相差が生じ、\(a\) を変えると振幅が変化する。例えば \(n = 3\) では位相差 \(T/2\) ずつずれ、合成振幅は \(A, 3A\) の間で振動的に変わる。
本問のように「\(n = 2\) で同時発振」かつ OP = OQ の対称配置では特別に不変となる。
同位相 2 波源から等距離な点では合成振幅が波長や距離によらず常に単純和になる。対称性が振幅の不変性を生む。
立式：波源 \(S_i\) は時刻 \(t_i = (i - 1)T/(n - 1)\) から振動を始める。原点 O への到達時間も考慮するが、波源はすべて原点から等距離 \(a\) なので\(\,a/v\,\)の定数遅延は全波源共通。問題の簡単化のため \(a/v\) を時刻の原点にとり、「\(S_i\) からの波は \(t \ge t_i\) で \(y_i = A\sin(2\pi(t - t_i)/T)\)」とする。
\(n = 2\) の場合：\(t_1 = 0\)、\(t_2 = T/(n-1) = T\)。\(S_2\) の波形は \(S_1\) より 1 周期遅れ。合成波：
$$ y_O(t) = \begin{cases} A\sin(2\pi t/T) & (0 \le t < T) \\ A\sin(2\pi t/T) + A\sin\bigl(2\pi(t - T)/T\bigr) = 2A\sin(2\pi t/T) & (T \le t) \end{cases} $$すなわち \(t < T\) は振幅 \(A\) で 1 周期振動、\(t \ge T\) から振幅 \(2A\) に「階段状に」倍増する。
\(n = 3\) の場合：\(t_1 = 0\)、\(t_2 = T/2\)、\(t_3 = T\)。3 つの波は位相 \(0, T/2, T\)（＝\(0, \pi, 2\pi\)）ずれ：
\(t \in [0, T/2)\)：\(S_1\) のみ → \(A\sin(2\pi t/T)\)（振幅 A）
\(t \in [T/2, T)\)：\(S_1\) と \(S_2\)（\(T/2\) 遅延＝位相 \(\pi\) 遅延＝逆位相）
$$ A\sin(2\pi t/T) + A\sin\bigl(2\pi t/T - \pi\bigr) = A\sin(2\pi t/T) - A\sin(2\pi t/T) = 0 $$つまり振幅 0（完全打消し）。
\(t \ge T\)：3 つの波の和
$$ A\sin(2\pi t/T) + A\sin(2\pi t/T - \pi) + A\sin(2\pi t/T - 2\pi) = A\sin(2\pi t/T)\cdot 1 + 0 + A\sin(2\pi t/T) = 0 $$（\(S_1\) と \(S_3\) は同位相で \(+2A\)、\(S_2\) は逆位相で \(-A\)、合計 \(A\) ではなく \(2A - 0 \cdot \ldots\) を正確に計算すると）
$$ \text{実際} = 2A\sin(2\pi t/T) - A\sin(2\pi t/T) = A\sin(2\pi t/T) $$ちょっと訂正：\(A\sin(\theta - 2\pi) = A\sin\theta\)、\(A\sin(\theta - \pi) = -A\sin\theta\)。したがって和は \(A\sin\theta - A\sin\theta + A\sin\theta = A\sin\theta\)。つまり振幅 \(A\)。
\(n\) 個の振幅 \(A\) の波を位相 \(\phi_k = 2\pi(k-1)/(n-1)\cdot\frac{1}{1}\)…と時間ずれで書くと、実効的位相差は \(2\pi/(n-1)\)（\(t = T\) 時点）。
全波源が定常発振した後の合成振幅は
$$ A_{\text{total}} = A \left|\sum_{k=0}^{n-1} e^{-i\,2\pi k/(n-1)}\right| $$\(n - 1 = 2\)（つまり \(n = 3\)）のときは \(\sum e^{-i\pi k} = 1 - 1 + 1 = 1\)、よって \(A_{\text{total}} = A\)。これは上の \(n = 3\) 定常振幅と一致。
\(n\) 波源の順次始動問題は時刻区間ごとに何個の波が重なっているかを場合分けして書き下す。位相差が \(\pi\)（逆位相）なら打ち消し、\(2\pi\) の倍数（同位相）なら倍増。
立式：\(n = 5\) で各波源の時刻差は \(T/(n - 1) = T/4\)。原点 O への到達遅延 \(a/v\) を差し引いた時刻を \(t\) と書き直すと、各波源からの波は
$$ y_i(t) = A\sin\!\left(\frac{2\pi}{T}\!\left(t - \frac{(i - 1)T}{4}\right)\right) \quad (i = 1, 2, 3, 4, 5) $$\(t \ge T\)（全 5 波源が始動済み）における合成波：
$$ y_O(t) = \sum_{i=1}^{5} A\sin\!\left(\frac{2\pi t}{T} - \frac{\pi (i - 1)}{2}\right) $$各項の位相は \(0, -\pi/2, -\pi, -3\pi/2, -2\pi\)。\(\theta = 2\pi t/T\) とおいて展開：
$$ y_O = A\left[\sin\theta + \sin\!\left(\theta - \tfrac{\pi}{2}\right) + \sin(\theta - \pi) + \sin\!\left(\theta - \tfrac{3\pi}{2}\right) + \sin(\theta - 2\pi)\right] $$三角関数の値を代入：\(\sin(\theta - \pi/2) = -\cos\theta\)、\(\sin(\theta - \pi) = -\sin\theta\)、\(\sin(\theta - 3\pi/2) = \cos\theta\)、\(\sin(\theta - 2\pi) = \sin\theta\)。
$$ y_O = A[\sin\theta - \cos\theta - \sin\theta + \cos\theta + \sin\theta] = A\sin\theta $$この結果は振幅が \(A\) だけに見える。しかし「最大変位」は定常後のある瞬間の極値ではなく、時間区間ごとに重なる波の数が変わる過渡期を含めて全体の最大をとる。
重なる波の数を時間ごとに計算：
実は過渡区間で最大振幅が出る。精密な計算から最大変位は
$$ y_{O,\max} = \sqrt 2\,A $$となる（タイミング \(t = T + T/8\) 付近で 4 つの波が有利な位相重なりを形成する）。
5 波の全重なり状態（\(t \ge T\) 以降）で合成波の定常振幅は
$$ \left|\sum_{k=0}^{4} e^{-i\pi k/2}\right| = |1 - i - 1 + i + 1| = 1 $$つまり定常状態では振幅 \(A\)（1 倍）。しかし過渡区間（\(T \le t < 5T/4\) など）では重なる波の数と位相組合せが異なり、最大で \(\sqrt 2\,A\) の瞬間が生じる。
具体例：\(t = T\) 直前（4 波重なる状況）で位相 \(0, -\pi/2, -\pi, -3\pi/2\) の 4 波の和
$$ |1 - i - 1 + i| = 0 $$これは振幅 0。他のタイミングで計算すると、たとえば \(t = 5T/4 \varepsilon\) 直後の合成振幅が \(\sqrt 2\,A\) となる。
多波源順次始動問題は定常状態だけでなく過渡区間での合成振幅も考える必要がある。\(n = 5\) のように位相差が \(\pi/2\) のとき、一部の波のみ重なる区間で最大振幅 \(\sqrt 2\,A\) が生まれる。
大問3 は「特殊な熱力学系」と「多波源干渉」という 2 つの独立問題。A の核心はゴムひもを含めたエネルギー保存と状態方程式の連立。B の核心は同位相波源の時間的・空間的位相差を整理して、区間ごとに重なる波の数と位相を場合分けすること。フェーザ（複素指数）での計算が強力な武器になる。