この大問は、ある一様な媒質中で逆向きに進む同周期・同波長の 2 つの進行波 \(y_1, y_2\) の合成を、和積公式 \(\sin\theta + \sin\phi = 2\sin\tfrac{\theta+\phi}{2}\cos\tfrac{\theta-\phi}{2}\) を徹底的に使い倒して分析する京大らしい設問である。
進行波 1 \(y_1 = A_1\sin 2\pi\!\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\) の山（位相が \(\pi/2\) の点）を追跡する。時刻 \(t\) に位置 \(x\) にあった山が、微小時間 \(\Delta t\) 後に位置 \(x+\Delta x\) に移るとすると、両時刻で位相が等しい：
$$2\pi\!\left(\frac{t+\Delta t}{T} - \frac{x+\Delta x}{\lambda}\right) = 2\pi\!\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$$両辺を整理して \(t\) と \(x\) の項を消去すると：
$$\frac{\Delta t}{T} - \frac{\Delta x}{\lambda} = 0$$ゆえに移動速度は：
$$\boxed{\ \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\lambda}{T}\ }$$これは 正の値 なので、進行波 1 は x 軸の +x 方向（正の向き）に速さ \(v = \lambda/T\) で進む波である。
同様に進行波 2 \(y_2 = A_2\sin 2\pi\!\left(\dfrac{t}{T} + \dfrac{x}{\lambda}\right)\) については、位相保存から：
$$\frac{\Delta t}{T} + \frac{\Delta x}{\lambda} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\Delta x}{\Delta t} = -\frac{\lambda}{T}$$負符号なので進行波 2 は −x 方向に速さ \(\lambda/T\) で進む波である。
\(\lambda/T\) は 位相速度（phase velocity）と呼ばれ、「1 周期 \(T\) の間に 1 波長 \(\lambda\) 分だけ波形が進む」ことを意味する。振動数 \(f = 1/T\) を使えば \(v = f\lambda\) と書け、高校物理で最初に学ぶ波の基本式そのものである。
数値例：周期 \(T = 2.0\) s、波長 \(\lambda = 4.0\) m の波ならば、位相速度は：
$$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{4.0}{2.0} = 2.0 \text{ m/s}$$シミュレーションでも、山（青・赤の点）が各周期で 1 波長分ずつ平行移動していることを確認できる。
\(A_1 = A_2 = A\) のとき、合成波は：
$$Y_1 = y_1 + y_2 = A\sin 2\pi\!\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) + A\sin 2\pi\!\left(\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda}\right)$$問題文で与えられた和積公式 \(\sin\theta + \sin\phi = 2\sin\tfrac{\theta+\phi}{2}\cos\tfrac{\theta-\phi}{2}\) に、\(\theta = 2\pi(t/T - x/\lambda),\ \phi = 2\pi(t/T + x/\lambda)\) を代入する：
$$\frac{\theta + \phi}{2} = \frac{2\pi t}{T},\qquad \frac{\theta - \phi}{2} = -\frac{2\pi x}{\lambda}$$よって：
$$Y_1 = 2A\sin\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\cos\!\left(-\frac{2\pi x}{\lambda}\right) = 2A\cos\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\sin\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$$（\(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\) を用いた）。これは 「空間因子 \(2A\cos(2\pi x/\lambda)\) × 時間因子 \(\sin(2\pi t/T)\)」 の積の形で、各点 \(x\) が時間因子 \(\sin(2\pi t/T)\) に従ってその場で振動するだけ。位置 \(x\) での振幅は：
$$\boxed{\ \text{ハ} = 2A\cos\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\ }$$正確には 「振幅」 は常に正の量なので \(|2A\cos(2\pi x/\lambda)|\) と書くのが厳密だが、符号を含めた 空間因子として上式を答えてよい。
節は時間によらずずっと \(Y_1 = 0\) である点、すなわち空間因子がゼロになる位置：
$$\cos\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{2\pi x}{\lambda} = \frac{\pi}{2} + n\pi\quad(n \text{ は整数})$$両辺を解いて：
$$\boxed{\ x = \frac{\lambda}{4} + n\cdot\frac{\lambda}{2} = (2n+1)\frac{\lambda}{4}\ }$$オイラー公式 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) を使えば、\(\sin\theta = \mathrm{Im}[e^{i\theta}]\) とみなして計算が機械的になる：
$$y_1 + y_2 = A\,\mathrm{Im}\!\left[e^{i2\pi(t/T - x/\lambda)} + e^{i2\pi(t/T + x/\lambda)}\right]$$ $$= A\,\mathrm{Im}\!\left[e^{i2\pi t/T}\left(e^{-i2\pi x/\lambda} + e^{i2\pi x/\lambda}\right)\right] = A\,\mathrm{Im}\!\left[e^{i2\pi t/T} \cdot 2\cos(2\pi x/\lambda)\right]$$ $$= 2A\cos(2\pi x/\lambda)\sin(2\pi t/T)$$これは高校範囲外だが、大学物理ではこの形で計算するのが圧倒的に速い。同じ結果が得られることを確認できる。
合成波の変位は：
$$Y_2 = y_1 + y_2 = (A+a)\sin 2\pi\!\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) + (A-a)\sin 2\pi\!\left(\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda}\right)$$これを \(A\) の項と \(a\) の項に分けて整理する：
$$Y_2 = \underbrace{A\left[\sin 2\pi\!\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) + \sin 2\pi\!\left(\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda}\right)\right]}_{\text{和積 } \to\ Y_1} + \underbrace{a\left[\sin 2\pi\!\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) - \sin 2\pi\!\left(\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda}\right)\right]}_{\text{差積 } \to\ Y_3}$$第 1 項は (2) で求めた定在波：
$$Y_1 = 2A\cos\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\sin\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$$第 2 項に差の公式 \(\sin\theta - \sin\phi = 2\cos\tfrac{\theta+\phi}{2}\sin\tfrac{\theta-\phi}{2}\) を適用（\(\theta = 2\pi(t/T - x/\lambda),\ \phi = 2\pi(t/T + x/\lambda)\) なので \((\theta+\phi)/2 = 2\pi t/T,\ (\theta-\phi)/2 = -2\pi x/\lambda\)）：
$$Y_3 = a \cdot 2\cos\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\sin\!\left(-\frac{2\pi x}{\lambda}\right) = -2a\sin\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\cos\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$$これもまた 空間因子 × 時間因子 の積の形で、別の定在波である。
定在波 \(Y_1\) の節（空間因子 \(\cos(2\pi x/\lambda) = 0\)）：
$$\boxed{\ \text{チ}: x = (2n+1)\frac{\lambda}{4}\ }\qquad (n \text{ は整数})$$定在波 \(Y_3\) の節（空間因子 \(\sin(2\pi x/\lambda) = 0\)）：
$$\boxed{\ \text{リ}: x = m\cdot\frac{\lambda}{2}\ }\qquad (m \text{ は整数})$$差積公式 \(\sin\theta - \sin\phi = 2\cos\tfrac{\theta+\phi}{2}\sin\tfrac{\theta-\phi}{2}\) において、「\(\theta\) 引く \(\phi\)」の順を守ると \((\theta-\phi)/2 = -2\pi x/\lambda\) となる。\(\sin(-\alpha) = -\sin\alpha\) より全体に負符号が出る。符号の取り扱いを誤ると節の位置は変わらないが 振動の位相 が π ずれるので、時刻 \(t\) 依存を考える問題では要注意。
なお \(Y_3\) を 絶対値を取って振幅と呼ぶ なら \(|{-2a\sin(2\pi x/\lambda)}| = 2a|\sin(2\pi x/\lambda)|\) なので、節の位置は \(\sin = 0\) すなわち \(x = m\lambda/2\) でよい（符号に影響されない）。
合成波は：
$$Y(x,t) = 2A\cos\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\sin\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right) - 2a\sin\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\cos\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$$\(t=0\) のとき（\(\sin 0 = 0,\ \cos 0 = 1\)）：
$$Y(x, 0) = -2a\sin\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$$これは 振幅 \(2a\)・波長 \(\lambda\) の sin 波を上下反転 した波形。\(x=0\) で \(Y=0\)、その直後は負側へ振れ、\(x = \lambda/4\) で最小 \(-2a\)、\(x = \lambda/2\) で再び \(Y=0\)、\(x = 3\lambda/4\) で最大 \(+2a\)。節は \(x = 0,\ \lambda/2,\ \lambda,\ \cdots\)（\(Y_3\) の節と一致）。
\(t = T/4\) のとき（\(\sin(\pi/2) = 1,\ \cos(\pi/2) = 0\)）：
$$Y(x, T/4) = 2A\cos\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$$これは 振幅 \(2A\)・波長 \(\lambda\) の cos 波。\(x=0\) で最大 \(+2A\)、\(x = \lambda/4\) で \(Y=0\)、\(x = \lambda/2\) で最小 \(-2A\)、\(x = 3\lambda/4\) で \(Y=0\)、\(x = \lambda\) で最大。節は \(x = \lambda/4,\ 3\lambda/4,\ \cdots\)（\(Y_1\) の節と一致）。
合成波が \(Y=0\) となる \(x\) は、次式を満たす：
$$2A\cos\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\sin\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right) = 2a\sin\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\cos\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$$両辺を \(\cos(2\pi x/\lambda)\cos(2\pi t/T)\) で割ると：
$$\boxed{\ \tan\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right) = \frac{A}{a}\tan\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\ }\quad\text{（ヌ）}$$すなわち \(\text{ヌ} = \dfrac{A}{a}\tan\!\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)\)。
次に \(\Delta x/\Delta t\) を求める。時刻が \(t \to t + \Delta t\) に変わったときの対応する \(x \to x + \Delta x\) について、両辺を近似式 \(\tan(\theta + \Delta\theta) \fallingdotseq \tan\theta + \Delta\theta/\cos^2\theta\) で展開：
$$\tan\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right) + \frac{1}{\cos^2(2\pi x/\lambda)} \cdot \frac{2\pi\,\Delta x}{\lambda} = \frac{A}{a}\left[\tan\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right) + \frac{1}{\cos^2(2\pi t/T)} \cdot \frac{2\pi\,\Delta t}{T}\right]$$元の等式 \(\tan(2\pi x/\lambda) = (A/a)\tan(2\pi t/T)\) を引き算すると、微小変化部分だけが残る：
$$\frac{1}{\cos^2(2\pi x/\lambda)} \cdot \frac{2\pi\,\Delta x}{\lambda} = \frac{A}{a} \cdot \frac{1}{\cos^2(2\pi t/T)} \cdot \frac{2\pi\,\Delta t}{T}$$\(2\pi\) を約分し、\(\Delta x/\Delta t\) について解く：
$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{A}{a}\cdot\frac{\lambda}{T}\cdot\frac{\cos^2(2\pi x/\lambda)}{\cos^2(2\pi t/T)}$$ここで \(\tan(2\pi x/\lambda) = (A/a)\tan(2\pi t/T)\) を使って \(\cos^2(2\pi x/\lambda)\) を \(t\) だけの式に書き直す。公式 \(1/\cos^2\theta = 1 + \tan^2\theta\) より：
$$\frac{1}{\cos^2(2\pi x/\lambda)} = 1 + \tan^2(2\pi x/\lambda) = 1 + \frac{A^2}{a^2}\tan^2(2\pi t/T)$$右辺を通分：
$$\frac{1}{\cos^2(2\pi x/\lambda)} = \frac{a^2\cos^2(2\pi t/T) + A^2\sin^2(2\pi t/T)}{a^2\cos^2(2\pi t/T)}$$逆数を取って：
$$\cos^2(2\pi x/\lambda) = \frac{a^2\cos^2(2\pi t/T)}{a^2\cos^2(2\pi t/T) + A^2\sin^2(2\pi t/T)}$$これを \(\Delta x/\Delta t\) の式に代入：
$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{A}{a}\cdot\frac{\lambda}{T}\cdot\frac{1}{\cos^2(2\pi t/T)}\cdot\frac{a^2\cos^2(2\pi t/T)}{a^2\cos^2(2\pi t/T) + A^2\sin^2(2\pi t/T)}$$\(\cos^2(2\pi t/T)\) を約分し、\(A/a \cdot a^2 = Aa\) を整理：
$$\boxed{\ \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{Aa\,\lambda/T}{a^2\cos^2(2\pi t/T) + A^2\sin^2(2\pi t/T)}\ }\quad\text{（ル）}$$高校微積を使うと、\(\tan u = (A/a)\tan v\)（\(u = 2\pi x/\lambda,\ v = 2\pi t/T\)）を \(t\) で微分して：
$$\sec^2 u \cdot \frac{du}{dt} = \frac{A}{a}\sec^2 v \cdot \frac{dv}{dt}$$\(du/dt = (2\pi/\lambda)(dx/dt),\ dv/dt = 2\pi/T\) を代入し \(dx/dt\) について解くと、同じ結果 \(dx/dt = (Aa\lambda/T)/(a^2\cos^2 v + A^2\sin^2 v)\) が直ちに得られる。高校物理的には「近似式 \(\tan(\theta+\Delta\theta) \fallingdotseq \tan\theta + \Delta\theta/\cos^2\theta\) を使え」と明示されているので、微分記号を使わず同じ計算を展開する流れを答案に書くとよい。
問1 で導いた関係 \(\tan(2\pi x/\lambda) = (A/a)\tan(2\pi t/T)\) において、任意の時刻 \(t\) を固定すると右辺は定数 \(C = (A/a)\tan(2\pi t/T)\) である。方程式：
$$\tan\!\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right) = C$$の解は、\(\tan\) の周期 \(\pi\) より：
$$\frac{2\pi x}{\lambda} = \arctan C + n\pi \quad (n \text{ は整数})$$両辺を \(2\pi/\lambda\) で割って：
$$x = \frac{\lambda}{2\pi}\arctan C + n\cdot\frac{\lambda}{2}$$すなわち隣り合う \(Y=0\) 点の差 \(x_{n+1} - x_n\) は：
$$\boxed{\ x_{n+1} - x_n = \frac{\lambda}{2}\ }$$\(n\) の値によらず一定なので、\(Y=0\) 点は 等間隔に並び、その 間隔は \(\dfrac{\lambda}{2}\)。
注目すべきは、この間隔 \(\lambda/2\) が 時刻 \(t\) にも振幅比 \(A/a\) にも依存しない普遍的な値であることだ。時刻が変わっても間隔は常に \(\lambda/2\) のまま。ただし 節の位置（\(x_0 = (\lambda/2\pi)\arctan C\)）は時刻とともに移動する。つまり 「等間隔の櫛のようなパターンが左右に平行にスライドしていく」イメージ。これが問3 の「節の移動速度」に繋がる。
同じ波長 \(\lambda\) で逆向きに進む波の 節間隔は \(\lambda/2\) という結果は、通常の定在波（\(a = 0\) または \(A=a\) に対応する成分が 1 種類のみの場合）でも同じ。ここが物理的に非常に面白いところで、振幅が違っても節間隔は変わらない（ただし節が動くようになる）。
問1 より、\(Y=0\) となる \(x\) の時間変化速度は：
$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{Aa\lambda/T}{a^2\cos^2(2\pi t/T) + A^2\sin^2(2\pi t/T)}$$\(v = 2\pi t/T\) とおき、分母を整理する。\(\cos^2 v = 1 - \sin^2 v\) を使って：
$$a^2\cos^2 v + A^2\sin^2 v = a^2(1-\sin^2 v) + A^2\sin^2 v = a^2 + (A^2 - a^2)\sin^2 v$$\(\sin^2 v\) は \(0 \le \sin^2 v \le 1\) の範囲で任意の値をとる。また \(A > a > 0\) より \(A^2 - a^2 > 0\)。したがって：
$$a^2 \le a^2 + (A^2 - a^2)\sin^2 v \le A^2$$すなわち分母の最小値は \(a^2\)（\(\sin v = 0\) すなわち \(t = 0, T/2, T, \cdots\) のとき）、最大値は \(A^2\)（\(\sin v = \pm 1\) すなわち \(t = T/4, 3T/4, \cdots\) のとき）。
分子 \(Aa\lambda/T\) は定数で正。分母が最小のとき \(\Delta x/\Delta t\) は最大、分母が最大のとき最小：
$$\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)_{\max} = \frac{Aa\lambda/T}{a^2} = \frac{A\lambda}{aT}$$ $$\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)_{\min} = \frac{Aa\lambda/T}{A^2} = \frac{a\lambda}{AT}$$よって \(\Delta x/\Delta t\) の取りうる範囲は：
$$\boxed{\ \frac{a\lambda}{AT} \le \frac{\Delta x}{\Delta t} \le \frac{A\lambda}{aT}\ }$$\(a \to 0\) の極限（振幅がそろう直前）：\(a/A \to 0\) で最小値 \(a\lambda/(AT) \to 0\)、最大値 \(A\lambda/(aT) \to \infty\)。つまり節の移動は「ほとんど動かない瞬間」と「瞬間的に飛び跳ねる瞬間」の極端なメリハリになる。実際 \(a \to 0\) では 通常の定在波（節は完全に静止）に近づくので、節がほぼ一定位置に留まる時間が大半を占め、残りの一瞬に「節の交代」が起こる。
\(a \to A\) の極限（振幅比が等しくなる）：実は \(a = A\) では \(A_2 = 0\)、つまり 進行波が 1 つだけになる。この場合は合成波 = 進行波 1 そのもので、節は一定速度 \(\lambda/T\) で +x 向きに移動（通常の進行波の位相速度）。実際 \(a \to A\) で \(a\lambda/(AT) \to \lambda/T\) かつ \(A\lambda/(aT) \to \lambda/T\) となり、最大値と最小値が一致して 「範囲が点に縮退して速さ一定」になる。美しい極限挙動。
平均速度：1 周期の平均 \(\overline{\Delta x/\Delta t}\) は実は \(\lambda/T\)。節が 1 周期で平均すると 1 波長進むことになる（進行波 1 が支配的な \(A+a\) 成分に由来）。