一辺 \(l\) の正方形極板 A, B（間隔 \(d\)）からなる平行平板コンデンサーに起電力 \(V\) の電池を接続する。誘電率 \(\varepsilon_0\) の真空中に、長さ \(\tfrac{l}{2}\)・厚さ \(d\)・比誘電率 \(\varepsilon_r\) の誘電体を \(x\) 軸に沿って挿入する。(1) 真空時の基本量、(2) 誘電体挿入時の電荷・エネルギー・力、(3) 装置を鉛直に立てて誘電体を落下させる運動を順に解く。
| 状態 | 電気容量 \(C\) | 電荷 \(Q\) | 誘電体が受ける電気力 |
|---|---|---|---|
| (1) 誘電体なし | \(C_0 = \dfrac{\varepsilon_0 l^2}{d}\) | \(Q_0 = \dfrac{\varepsilon_0 l^2 V}{d}\) | — |
| (2) 挿入量 \(s = \tfrac{l}{2}-x\) | \(\dfrac{\varepsilon_0 l}{d}\bigl[l + (\varepsilon_r-1)s\bigr]\) | \(C(x)V\) | \(F = \dfrac{(\varepsilon_r-1)\varepsilon_0 l V^2}{2 d}\)（内側向き） |
| (3) 落下中（\(0\le x\le \tfrac{l}{2}\)） | 上と同じ | 上と同じ | 重力 \(mg\) と \(F\) が共に下向き |
電気容量 \(C_0\) 極板の面積は \(S = l \times l = l^2\)、間隔 \(d\) なので平行平板コンデンサーの基本公式から：
$$C_0 = \varepsilon_0 \frac{S}{d} = \frac{\varepsilon_0 l^2}{d}.$$極板に蓄えられる電荷 \(Q_0\) 電池電圧 \(V\) に等しい電位差がかかるので：
$$Q_0 = C_0 V = \frac{\varepsilon_0 l^2 V}{d}.$$電気力線の本数 \(N\) ガウスの法則より、真空中の電気力線は電荷 1 C 当たり \(1/\varepsilon_0\) 本。極板 A に蓄えられた電荷 \(Q_0\) から出る電気力線の総本数は：
$$N = \frac{Q_0}{\varepsilon_0} = \frac{l^2 V}{d}.$$単位体積あたりの静電エネルギー 電場の強さは \(E = V/d\)。真空中の電場エネルギー密度の公式から：
$$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{\varepsilon_0}{2}\cdot\frac{V^2}{d^2}.$$つまり \(u = \dfrac{\varepsilon_0}{2}\cdot\dfrac{V^2}{d^2}\)（穴埋め「え」の係数は \(\dfrac{\varepsilon_0}{2}\)）。
コンデンサー全体の静電エネルギー \(U_0\) 極板間の体積は \(l^2 \cdot d\)。
$$U_0 = u \cdot (l^2 d) = \frac{\varepsilon_0}{2}\cdot\frac{V^2}{d^2}\cdot l^2 d = \frac{\varepsilon_0 l^2 V^2}{2 d}.$$これは \(U_0 = \tfrac{1}{2}C_0 V^2\) と一致する。
SW を開いた後の静電エネルギー SW を開いても電荷 \(Q_0\) はそのまま残り（逃げ場がない）、静電気力による引力で極板は電荷を保ち続ける。体積 \(l^2 d\) 内の電場も変わらないので：
$$U' = \frac{\varepsilon_0 l^2 V^2}{2 d} \;(= U_0).$$高校物理での電気力線の本数は「電場の大きさの視覚化」のための約束であり、真空中では面積 \(S\) を貫く本数 = \(E \cdot S\)、電荷 \(Q\) から出る総本数 = \(Q/\varepsilon_0\) と定義する。本問の極板では \(E \cdot S = (V/d) \cdot l^2 = l^2 V/d\) となり、\(Q_0/\varepsilon_0\) と一致する。
電気容量 \(C(x)\) 誘電体の挿入長を \(s = \tfrac{l}{2} - x\)（\(x\) は誘電体の端の位置。\(x=\tfrac{l}{2}\) で未挿入、\(x=0\) で半分挿入）とする。真空部分の面積は \((l-s)l\)、誘電体部分は \(s \cdot l\)。これらは並列接続とみなせるので：
$$C(x) = \frac{\varepsilon_0 (l-s) l}{d} + \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r \, s \, l}{d} = \frac{\varepsilon_0 l}{d}\bigl[l + (\varepsilon_r - 1) s\bigr].$$ここで \(s = \tfrac{l}{2} - x\) を代入すると：
$$C(x) = \frac{\varepsilon_0 l}{d}\left[l + (\varepsilon_r - 1)\left(\frac{l}{2} - x\right)\right].$$蓄えられる電荷 \(Q(x)\) SW を閉じているので電位差は \(V\) 一定。
$$Q(x) = C(x) V = \frac{\varepsilon_0 l V}{d}\left[l + (\varepsilon_r - 1)\left(\frac{l}{2} - x\right)\right].$$静電エネルギー \(U(x)\)
$$U(x) = \frac{1}{2} C(x) V^2 = \frac{\varepsilon_0 l V^2}{2 d}\left[l + (\varepsilon_r - 1)\left(\frac{l}{2} - x\right)\right].$$誘電体を \(x\) から \(x - \Delta x\)（より深く）動かすときのエネルギー収支 電圧 \(V\) 一定で \(x\) が \(\Delta x\) 減ると、挿入長 \(s\) が \(\Delta x\) 増え、電荷の増加は：
$$\Delta Q = \frac{\varepsilon_0 l V}{d}(\varepsilon_r - 1)\,\Delta x.$$電池がした仕事（充電に要した仕事）は：
$$W_{\rm bat} = V \Delta Q = \frac{\varepsilon_0 l V^2}{d}(\varepsilon_r - 1)\,\Delta x.$$静電エネルギーの変化は：
$$\Delta U = \frac{\varepsilon_0 l V^2}{2 d}(\varepsilon_r - 1)\,\Delta x = \tfrac{1}{2} W_{\rm bat}.$$エネルギー保存則より、電池の仕事 \(= \Delta U + (\text{コンデンサーが誘電体にした仕事})\) なので、コンデンサーが誘電体にした仕事は：
$$W_{\rm f} = W_{\rm bat} - \Delta U = \tfrac{1}{2} W_{\rm bat} = \frac{\varepsilon_0 l V^2}{2 d}(\varepsilon_r - 1)\,\Delta x.$$誘電体にはたらく静電気力 \(F\) \(W_{\rm f} = F \cdot \Delta x\) と比べて：
$$\boxed{\;F = \frac{(\varepsilon_r - 1)\,\varepsilon_0 \, l \, V^2}{2\, d}\;}$$向きは挿入長 \(s\) が増える向き、すなわち誘電体をコンデンサーの内側に引き込む向き（選択肢「② 内側に引き込む」）。大きさは \(x\) に依存せず一定。
電圧 \(V\) 一定の条件で誘電体に働く力の一般公式：
$$F = +\frac{1}{2} V^2 \frac{dC}{dx_{\rm 挿入長}}.$$符号は「挿入長が増える向きに正」。本問では \(dC/ds = \varepsilon_0 l (\varepsilon_r - 1)/d\) なので：
$$F = \frac{1}{2}V^2 \cdot \frac{\varepsilon_0 l (\varepsilon_r - 1)}{d} = \frac{(\varepsilon_r-1)\varepsilon_0 l V^2}{2 d}.$$一致する。\(V\) 一定ではエネルギーが増える向きに力がはたらく（電池からの仕事のうち半分が力学的仕事に回る）点がポイント。
電荷 \(Q\) 一定では、\(U = Q^2/(2C)\) は \(C\) が増えると減少する。減った分だけエネルギーが誘電体を引き込む仕事に変わる（電池の仕事はゼロ）。どちらの条件でも「力の向きは容量が増える向き」は同じだが、エネルギー収支の計算式が変わる。
運動の場合分け 重力加速度を \(g\)、誘電体の質量を \(m\)、(2) で求めた静電気力を \(F\) とする。\(x\) 軸は鉛直上向き。
加速度は \(a_1 = -\left(g + \dfrac{F}{m}\right)\)（負＝下向き）で一定。初速 0、初期位置 \(x = \tfrac{l}{2}\) からの等加速度運動なので、エネルギー保存則（あるいは \(v^2 - v_0^2 = 2a\Delta x\)）より：
$$v^2 = 2(g + F/m)\left(\frac{l}{2} - x\right).$$この区間で位置 \(x\)（\(0 \le x \le \tfrac{l}{2}\)）を通過するときの速さ \(v_1\) は：
$$v_1(x) = \sqrt{\,\dfrac{2(mg + F)}{m}\left(\dfrac{l}{2} - x\right)\,} = \sqrt{\dfrac{(mg+F)(l-2x)}{m}}.$$加速度は \(a_2 = -g\) の自由落下と同じ。\(x=0\) での速さ \(v_0\) は (1) の区間の終点速度：
$$v_0^2 = 2(g + F/m)\cdot\frac{l}{2} = \frac{(mg+F)\,l}{m}.$$この \(x=0\) を境に、\(-\tfrac{l}{2} \le x < 0\) での速さ \(v_2\) は：
$$v_2^2 = v_0^2 + 2g(0 - x) = \frac{(mg+F)\,l}{m} - 2gx.$$ $$v_2(x) = \sqrt{\,\dfrac{(mg+F)\,l}{m} - 2gx\,}\quad (-\tfrac{l}{2} \le x < 0).$$\(F=0\) とするときの速さ \(v_1\) と \(v_2\) に \(F=0\) を代入：
$$v_1\big|_{F=0} = \sqrt{g(l - 2x)},\quad v_2\big|_{F=0} = \sqrt{g\,l - 2gx}.$$ちなみに \(v_2\big|_{F=0} = v_1\big|_{F=0,\,x=0}\) で連続（自由落下そのもの）。
時刻 \(t\) と位置 \(x\) のグラフの形 等加速度運動が 2 段階。\(x=l/2\) から \(x=0\) までは加速度 \((g+F/m)\) の放物線、\(x=0\) から \(x=-l/2\) は加速度 \(g\) の放物線（ただし傾きが連続）。\(x=0\) を通過した瞬間に加速度が不連続に変わり、放物線の曲率が緩くなる。
区間 \(0 \le x \le \tfrac{l}{2}\)：初期（\(x=l/2\)、\(v=0\)）と現位置 \(x\) の間でエネルギー保存。外力（\(F\) は内側向き＝下向き）と重力の合力 \((mg+F)\) が距離 \((l/2 - x)\) で仕事をするので：
$$\tfrac{1}{2}mv^2 = (mg + F)\left(\tfrac{l}{2} - x\right).$$これから \(v_1\) を得る。\(F\) が保存力的に扱えるのは「位置 \(x\) の関数として定義でき、一定力だから」。エネルギー論なら時間を使わず速さだけ求められる。
区間 \(-\tfrac{l}{2} \le x < 0\)：誘電体が完全に極板間に入ると \(F = 0\)。起点を \(x=0\) に取り直して（速さ \(v_0\) で通過）、その後は自由落下：
$$\tfrac{1}{2}mv_2^2 - \tfrac{1}{2}mv_0^2 = mg(0 - x) = -mgx.$$整理すると \(v_2^2 = v_0^2 - 2gx\)（\(x<0\) なので正に増える）。
誘電体の長さは \(l/2\)。位置 \(x\) を誘電体の下端の座標とすると：
容量 \(C\) は挿入長 \(s\) に比例する。\(x<0\) では \(s\) が変化しないので \(dC/dx = 0\)、力 \(F = \tfrac{1}{2}V^2\,dC/dx = 0\) となる。物理的には「誘電体を左右に動かしても電場の境界面での強さが変わらない」ため。