断面積 \(S\) の鉛直シリンダー1に軽いばね（自然長 \(2L\)、下端固定）が取り付けられ、ばね上端にピストン1が載る。ピストン1の上方が領域 A、下方が領域 B である。A は真空、B には単原子分子理想気体が封入され、A と B はコック1付きの細管で外側からつながっている。
| 状態 | コック | ピストン | ばね長 | B 圧力 | B 温度 |
|---|---|---|---|---|---|
| はじめ | 閉 | 自由 | \(3L\) | \(2p_0\) | \(T_0\) |
| 問2 | 閉 | 固定 | \(3L\) | \(4p_0\) | \(2T_0\) |
| 問3 | 閉 | 自由 | \(\tfrac{7}{2}L\) | \(\tfrac{5}{2}p_0\) | \(\tfrac{35}{24}T_0\) |
| 問4 | 開 | 自由 | \(L\) | (A と等しい) | \(\tfrac{11}{9}T_0\) |
(1) 領域 B 内の気体の物質量 B は圧力 \(2p_0\)、体積 \(V_B = 3L \cdot S\)、温度 \(T_0\) の単原子分子理想気体である。状態方程式 \(PV=nRT\) より
$$P V_B = n R T_0 \;\Longrightarrow\; 2 p_0 \cdot 3 L S = n R T_0.$$これを \(n\) について解くと
$$n = \frac{2 p_0 \cdot 3 L S}{R T_0} = \frac{6 p_0 L S}{R T_0}.$$(2) ばね定数 \(k\) ピストン1のつり合いを考える。ピストンにはたらく力は、下向きを正として
ピストンのつり合い（上向きを正）：
$$2 p_0 S - p_0 S - k L = 0.$$これを \(k\) について解くと
$$k L = p_0 S \;\Longrightarrow\; k = \frac{p_0 S}{L}.$$ばねの自然長が \(2L\) で、現在の長さが \(3L\)（自然長より長い）なので伸びている状態。伸びたばねは「元に戻ろう」として両端を内側に引き寄せる。ピストン（ばね上端）は下向きに引かれ、シリンダー底面（ばね下端）は上向きに引かれる。伸び量 \(x = 3L - 2L = L\) に対し、ばねからピストンに働く力の大きさは \(kx = kL\) で向きは下向き。
(1) 吸収した熱量 ピストンが固定されているから体積変化はなく、\(W_{\rm gas} = 0\)。熱力学第1法則 \(Q = \Delta U + W_{\rm gas}\) より
$$Q = \Delta U = n C_V \Delta T = n \cdot \frac{3}{2} R \cdot (2T_0 - T_0).$$\(n = \dfrac{6 p_0 L S}{R T_0}\) を代入：
$$Q = \frac{6 p_0 L S}{R T_0} \cdot \frac{3}{2} R \cdot T_0 = 9 \, p_0 L S.$$(2) 加熱後の B 内の圧力 体積一定（定積変化）なので Gay-Lussac の法則 \(P / T = \text{const.}\) が成り立つ：
$$\frac{P_1}{T_0} = \frac{P_2}{2 T_0} \;\Longrightarrow\; P_2 = 2 P_1.$$\(P_1 = 2 p_0\) を代入：
$$P_2 = 2 \cdot 2 p_0 = 4 \, p_0.$$B の体積は \(V = 3LS\) のまま。温度 \(2T_0\) のとき \(P_2 \cdot 3LS = nR \cdot 2T_0\) で、\(n = 6p_0LS/(RT_0)\) を代入すると
$$P_2 = \frac{n R \cdot 2T_0}{3LS} = \frac{6 p_0 LS}{R T_0} \cdot \frac{2 R T_0}{3 L S} = 4 p_0.$$(1) 加熱後の B 内の圧力 ばね長が \(7L/2\)、伸びは
$$x = \frac{7L}{2} - 2L = \frac{3L}{2}.$$ばねがピストンを下向きに引く力は
$$F_{\rm sp} = k x = \frac{p_0 S}{L} \cdot \frac{3L}{2} = \frac{3}{2} p_0 S.$$ピストンのつり合い（上向き正）：
$$P_B \cdot S - p_0 S - \frac{3}{2} p_0 S = 0.$$\(P_B\) について解くと
$$P_B S = p_0 S + \frac{3}{2} p_0 S = \frac{5}{2} p_0 S \;\Longrightarrow\; P_B = \frac{5}{2} p_0.$$(2) 気体が吸収した熱量 まず加熱後の温度 \(T'\) を状態方程式で求める。B の体積は \(V' = \dfrac{7L}{2} \cdot S\) なので
$$P_B V' = n R T' \;\Longrightarrow\; \frac{5}{2} p_0 \cdot \frac{7LS}{2} = \frac{6 p_0 LS}{R T_0} \cdot R T'.$$\(T'\) について解く：
$$\frac{35}{4} p_0 L S = \frac{6 p_0 L S}{T_0} T' \;\Longrightarrow\; T' = \frac{35}{4} \cdot \frac{T_0}{6} = \frac{35}{24} T_0.$$次に内部エネルギー変化を計算：
$$\Delta U = n C_V \Delta T = \frac{6 p_0 L S}{R T_0} \cdot \frac{3}{2} R \left(\frac{35}{24} T_0 - T_0\right) = \frac{6 p_0 L S}{T_0} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{11}{24} T_0 = \frac{33}{8} p_0 L S.$$次に気体のした仕事 \(W\) を求める。A は真空なので、気体はピストンの持ち上げとばねの伸ばしに対してだけ仕事をする。
仕事の合計：
$$W = \frac{p_0 L S}{2} + \frac{5 p_0 L S}{8} = \frac{4 p_0 L S + 5 p_0 L S}{8} = \frac{9 p_0 L S}{8}.$$熱力学第1法則から吸収熱量：
$$Q = \Delta U + W = \frac{33 p_0 L S}{8} + \frac{9 p_0 L S}{8} = \frac{42 p_0 L S}{8} = \frac{21 p_0 L S}{4}.$$ピストンのつり合いより、ばね長が \(\ell\)（\(2L \le \ell\)）のとき B の圧力は
$$P(\ell) = p_0 + \frac{k(\ell-2L)}{S} = p_0 + \frac{p_0}{L}(\ell - 2L) = \frac{p_0(\ell - L)}{L}.$$体積は \(V = \ell S\) なので \(dV = S\, d\ell\)。
$$W = \int_{3L}^{7L/2} P\, dV = \int_{3L}^{7L/2} \frac{p_0(\ell-L)}{L} \cdot S\, d\ell = \frac{p_0 S}{L}\left[\frac{(\ell-L)^2}{2}\right]_{3L}^{7L/2}.$$ $$= \frac{p_0 S}{2L}\left\{\left(\frac{5L}{2}\right)^2 - (2L)^2\right\} = \frac{p_0 S}{2L}\left(\frac{25L^2}{4} - 4L^2\right) = \frac{p_0 S}{2L} \cdot \frac{9L^2}{4} = \frac{9 p_0 L S}{8}.$$本文と一致する。
(1) \(L_1\) は \(L\) の何倍か A と B の圧力・温度が等しくなった後のピストンのつり合いを考える。上下から同じ圧力が同じ面積 \(S\) に働くので気体圧は打ち消しあう。残る力は重力 \(p_0 S\)（下向き）とばねの弾性力のみ。
ばねがピストンを押し上げるためには、ばねが縮んでいる（\(L_1 < 2L\)）必要がある。自然長 \(2L\) から縮み量を \(y = 2L - L_1\) とすると、ばねは上向きに \(ky\) でピストンを押す。つり合い（上向き正）：
$$k(2L - L_1) - p_0 S = 0.$$\(k = p_0 S/L\) を代入：
$$\frac{p_0 S}{L}(2L - L_1) = p_0 S \;\Longrightarrow\; 2L - L_1 = L \;\Longrightarrow\; L_1 = L.$$したがって
$$\frac{L_1}{L} = 1.$$(2) 最終的な気体の温度 \(T_1\) 系全体について熱力学第1法則を立てる。容器・コック・細管は断熱なので \(Q = 0\)。
$$0 = \Delta U + W_{\rm gas} \;\Longrightarrow\; \Delta U = - W_{\rm gas}.$$問題文より「気体がした仕事 \(W_{\rm gas}\) は、ピストン1の重力による位置エネルギーの変化とばねの弾性エネルギーの変化の合計に等しい」。ピストンは \(3L \to L\) なので下向きに \(2L\) 移動した。したがって
よって気体がした仕事：
$$W_{\rm gas} = \Delta U_g + \Delta U_{\rm sp} = -2 p_0 L S + 0 = -2 p_0 L S.$$内部エネルギー変化は
$$\Delta U = - W_{\rm gas} = +2 p_0 L S.$$単原子分子理想気体なので \(\Delta U = n C_V (T_1 - T_0) = \tfrac{3}{2} n R (T_1 - T_0)\)。\(n = 6 p_0 L S /(R T_0)\) を使うと
$$\frac{3}{2} \cdot \frac{6 p_0 L S}{R T_0} \cdot R (T_1 - T_0) = 2 p_0 L S.$$ $$\frac{9 p_0 L S}{T_0}(T_1 - T_0) = 2 p_0 L S \;\Longrightarrow\; T_1 - T_0 = \frac{2 T_0}{9}.$$したがって
$$T_1 = T_0 + \frac{2 T_0}{9} = \frac{11}{9} T_0.$$抽象記号のままだと結果が信じがたい場合があるので、以下の具体的な数値で確認してみる。
これらを代入すると：
これらの数値は物理的にも妥当な桁（気体の典型的な圧力・体積・熱量）になっていることが確認できる。
ばねの弾性 PE は \(U_{\rm sp} = \tfrac{1}{2} k x^2\)。\(x\) は自然長からの変位で、伸びでも縮みでも符号を無視した大きさで PE が決まる。
自然長からのずれの大きさが同じ \(L\) なので弾性 PE は等しく、差は 0。ばねは一度自然長を通って反対側（縮み）へ移っただけで、蓄えたエネルギーの総量は変わらない。
A の体積 \((L+2L)S = 3LS\) と B の体積 \(LS\) を合わせると全体は \(4LS\)。初期の全気体体積 \(3LS\)（B のみ）より\(\;LS\) 増えている、ように見えるかもしれないが、A はもともと真空（体積 \(LS\) でも気体は不在）なので、気体自身が占める体積は \(3LS \to 4LS\) に増えた。膨張したにも関わらず温度が上がるのは、ばねと重力の系がネットでエネルギーを気体に返したため。具体的には、ピストンが \(2L\) 下降することでの重力 PE 減少 \(2 p_0 L S\) が、ばね PE（変化なし）の分を差し引いても気体の仕事量として 負（= 気体が外からエネルギーを受け取った）になり、内部エネルギーが増す。