本大問は「左右対称な斜面をもつ台 X」上の2小球の運動を、2つの段階に分けて扱う総合問題です。
立式：A は斜面上を運動するが、斜面に垂直な方向には移動しないので、その方向の力のつり合いが成り立つ。重力 \(3mg\) の斜面に垂直な成分（斜面方向の角度 \(\theta\)）は \(3mg\cos\theta\)。
$$ N_A = 3mg\cos\theta $$これが「斜面が A から受ける垂直抗力」の大きさ（作用反作用で同じ大きさ）。
立式：A から台 X が受ける力は \(N_A\)（斜面に垂直で、ここでは右上方向）。その鉛直成分を取ると、垂直抗力ベクトルが鉛直線となす角は \(\theta\)（斜面が水平となす角に等しい）なので：
$$ N_A \cos\theta = 3mg\cos\theta \cdot \cos\theta = 3mg\cos^2\theta $$立式：台 X は鉛直方向に静止（L 型金具で固定）。台 X に働く鉛直方向の力は、自身の重力 \(Mg\)、A から受ける鉛直成分 \(3mg\cos^2\theta\)、B から受ける鉛直成分（B は質量 \(m\) なので \(mg\cos^2\theta\)）、そして床からの垂直抗力 \(R\)。
$$ R = Mg + 3mg\cos^2\theta + mg\cos^2\theta = Mg + 4mg\cos^2\theta $$立式：A は摩擦のない斜面を高さ \(h\) だけ下る。垂直抗力は速度に垂直で仕事をしないので、力学的エネルギー保存則を使う。
$$ \tfrac{1}{2}(3m) v_0^2 = 3mgh $$ $$ v_0 = \sqrt{2gh} $$（B も同じ高さ \(h\) を下るので、ばねに到達する瞬間の速さは同じく \(v_0 = \sqrt{2gh}\)。質量によらないことに注意。）
| 空欄 | 式 |
|---|---|
| (あ) | \(3mg\cos\theta\) |
| (い) | \(3mg\cos^2\theta\) |
| (う) | \(Mg + 4mg\cos^2\theta\) |
| (え) | \(v_0 = \sqrt{2gh}\) |
系全体（台 X + A + B）について、外力は重力（\(Mg + 3mg + mg = (M+4m)g\) 下向き）、床の垂直抗力 \(R\) 上向き、L 型金具の水平方向の力（鉛直方向には成分ゼロ）。
系全体は鉛直方向に等速（A・B は斜面方向に加速するが鉛直成分は時間変化する）なので、瞬間的には鉛直方向の運動方程式：
$$ R - (M + 4m)g = -(3m)\cdot a_y^A - m \cdot a_y^B $$ここで A の鉛直加速度 \(a_y^A = g\sin^2\theta\)（下向き）、B も同様に \(g\sin^2\theta\)。よって
$$ R = (M + 4m)g - 4m g \sin^2\theta = Mg + 4mg(1 - \sin^2\theta) = Mg + 4mg\cos^2\theta $$本文の力分解と一致する。
「斜面の上の物体から床が受ける垂直抗力」は、静止系では重力の総和より小さいのが特徴。理由は物体が下向きに加速度成分をもつから（鉛直方向の運動量変化が生じる）。\(\cos^2\theta\) が現れるのは、垂直抗力を一度斜面方向に分解し、その鉛直成分を取り出すため。式の形を見て \(\cos\theta\) が2回掛かることに納得しよう。
立式（速さ \(v_A'\)）：ばねからの力は内力。A・B 系について運動量保存則を、衝突直前と最大縮みの瞬間の間で適用する。最大縮みの瞬間は両者が同じ速度 \(V'\)（ばねの長さが瞬間停止）。A の進行方向を正とすると、衝突直前に A は \(+v_0\)、B は \(-v_0\)（向かい合う）。
$$ (3m)(+v_0) + (m)(-v_0) = (3m + m) V' $$ $$ 2m v_0 = 4m V' \;\Rightarrow\; V' = \tfrac{1}{2} v_0 $$これが最大縮みの瞬間の A の速さ。
$$ v_A' = \tfrac{1}{2} v_0 $$立式（縮みの最大値 \(d\)）：摩擦なし、ばね以外の力は仕事をしない。力学的エネルギー保存則を同じ2状態で適用する。
$$ \tfrac{1}{2}(3m)v_0^2 + \tfrac{1}{2}(m)v_0^2 = \tfrac{1}{2}(4m){V'}^2 + \tfrac{1}{2}k d^2 $$左辺：\(\tfrac{3}{2}m v_0^2 + \tfrac{1}{2}m v_0^2 = 2 m v_0^2\)
右辺の運動エネルギー：\(\tfrac{1}{2}(4m)\left(\tfrac{1}{2}v_0\right)^2 = \tfrac{1}{2}m v_0^2\)
$$ 2m v_0^2 - \tfrac{1}{2}m v_0^2 = \tfrac{1}{2} k d^2 $$ $$ \tfrac{3}{2}m v_0^2 = \tfrac{1}{2} k d^2 \;\Rightarrow\; d^2 = \dfrac{3 m v_0^2}{k} $$ $$ d = v_0 \sqrt{\dfrac{3m}{k}} $$2体衝突は相対座標で見ると換算質量 \(\mu = \dfrac{(3m)(m)}{3m + m} = \dfrac{3}{4}m\) のばね振動になる。相対速度の初期値は \(v_0 - (-v_0) = 2v_0\)。最大縮み \(d\) はこの相対運動の振幅：
$$ \tfrac{1}{2}\mu (2v_0)^2 = \tfrac{1}{2} k d^2 $$ $$ \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3}{4}m \cdot 4 v_0^2 = \tfrac{1}{2} k d^2 \;\Rightarrow\; d = v_0\sqrt{\dfrac{3m}{k}} $$同じ結果。重心は \(V' = \dfrac{(3m)(v_0) + (m)(-v_0)}{4m} = \dfrac{v_0}{2}\) で並進、相対運動は静止する瞬間が最大縮み。
2体ばね衝突で「縮みが最大」⇔「相対速度がゼロ」⇔「両球が同じ速度（重心速度に等しい）」。この3つは同値。運動量保存で速度を、エネルギー保存で縮みを求める2段構えが定石。換算質量 \(\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\) を覚えておくと相対運動の式がコンパクトになる。
立式：相対速度の合成則そのもの。A の床基準速度 \(\vec{v}\) は、A の台 X 基準速度 \(\vec{u}\) と、台 X の床基準速度 \(\vec{V}\) の和。
$$ \vec{v} = \vec{u} + \vec{V} $$各ベクトルの向き：
この関係を満たす図は、「\(\vec{u}\) が水平線下方向（θ）」かつ「\(\vec{V}\) が水平左向き」、これらの和として \(\vec{v}\) がやや下向きで斜面より急な向きを示す図。選択肢のうち、3 ベクトルが \(\vec{v} = \vec{u} + \vec{V}\) を満たし、\(\vec{u}\) の水平線下方向角度がちょうど θ になっている図 (イ)が正解。
\(|\vec{u}| = u\)、\(|\vec{V}| = V\) とすると、A の床基準速度の成分は
$$ v_x = u\cos\theta - V, \quad v_y = -u\sin\theta $$水平方向には「斜面方向の右成分 \(u\cos\theta\)」から「台が左に動く分 \(V\)」を引いた値。\(u\cos\theta = V\) のとき \(v_x = 0\) で A は真下に落ちる。
糸の拘束（\(\sin\theta\) 関係）と運動方程式から得られる \(u\) と \(V\) の値に対して、ふつうは \(u\cos\theta > V\) になり、A は右下方向（鉛直よりはやや右）に進む。
相対速度の合成は「観測する系を変えるだけ」。\(\vec{v}_{\text{床}} = \vec{v}_{\text{台}} + \vec{V}_{\text{台が床に対して}}\) という形で覚える。台 X 基準では A は単純に斜面に沿って下るだけ、その単純な \(\vec{u}\) に \(\vec{V}\) を足せば床基準の \(\vec{v}\) が出る。図形ではベクトルチェーン（首尾接続）で和を作るのが基本。
方針：台 X が床に対して左向き加速度 γ で動くので、台 X とともに動く非慣性系では、A・B にそれぞれ右向きに慣性力 \(3m\gamma\)、\(m\gamma\) が働く。この系では A・B は斜面方向にだけ加速し、斜面に垂直な方向は力のつり合い。
A は左斜面（傾斜角 θ）の上にいる。A に働く力（非慣性系）：
斜面に垂直な方向のつり合いを立てる。斜面の法線方向に各力を分解：
「斜面から離す向き」を正として、つり合い（A は斜面に垂直方向に動かない）：
$$ N_A + 3m\gamma\sin\theta - 3mg\cos\theta = 0 $$ $$ N_A = 3m(g\cos\theta - \gamma\sin\theta) $$B は右斜面（傾斜角 θ）の上にいる。B に働く力：
右斜面では慣性力（右向き）が法線方向にもつ成分の符号が逆。慣性力の法線成分は \(m\gamma \cdot \sin\theta\) で、こんどは斜面に押しつける向き。
同じく斜面に垂直方向のつり合い（「斜面から離す向き」を正）：
$$ N_B - mg\cos\theta - m\gamma\sin\theta = 0 $$ $$ N_B = m(g\cos\theta + \gamma\sin\theta) $$糸の拘束から、台基準で A の斜面方向加速度の大きさ α が両球で共通。床基準で A の加速度成分は
$$ a_x^A = -\gamma + \alpha\cos\theta, \quad a_y^A = -\alpha\sin\theta $$（A は台 X 基準で右下方向に α で滑るため）。A に床基準で働く力は重力 \(3mg\) 下向きと N_A（斜面法線、左斜面なら右上方向）。鉛直方向：
$$ N_A \cos\theta - 3mg = 3m \cdot a_y^A = -3m\alpha\sin\theta $$水平方向：
$$ N_A \sin\theta = 3m \cdot a_x^A = 3m(-\gamma + \alpha\cos\theta) $$2式から α を消去すると \(N_A = 3m(g\cos\theta - \gamma\sin\theta)\)（同じ結果）。非慣性系のほうがずっと早い。
動く台の上の物体の抗力は、慣性力の斜面法線成分だけ静止時から増減する。「台が動く方向」と「斜面が向いている方向」の関係で押される側（B）と離される側（A）が決まる。式中の \(\gamma\sin\theta\) の符号で見分ける。本問のように左右対称な台でも、片方だけが台と同じ向きに加速されるので両者で符号が逆になる。
方針：台 X の床基準での水平方向運動方程式を立てる。台 X に水平方向に働く力は、（i）A から受ける反作用 \(N_A\) の水平成分、（ii）B から受ける反作用 \(N_B\) の水平成分、（iii）滑車を経由した糸の張力の水平成分。これらを丁寧に書き出す。
左滑車には A 側の糸（斜面下向き＝左下方向）と水平糸（右向き）が張力 T で引っ張られる。滑車に作用する糸からの引張力の水平成分は、左下方向の \(-T\cos\theta\) と水平糸の \(+T\) の和 \(T(1 - \cos\theta)\)（右向き）。
右滑車には水平糸（左向き）と B 側糸（斜面下向き＝右下方向）が張力 T で引っ張られる。水平成分は \(-T(1 - \cos\theta)\)（左向き）。
左右滑車を合計すると \(T(1 - \cos\theta) - T(1 - \cos\theta) = 0\)。つまり糸の張力からの台 X への水平方向合力はゼロ。台 X に作用する水平方向の正味の力は、A・B からの垂直抗力の反作用だけになる。
A から台 X が受ける反作用は \(N_A\) で左下方向（左斜面内向き）。水平成分は \(-N_A\sin\theta\)（左向き）。
B から台 X が受ける反作用は \(N_B\) で右下方向。水平成分は \(+N_B\sin\theta\)（右向き）。
台 X の床基準加速度は左向きに γ なので、右向きを正とすると \(-\gamma\)。
$$ M(-\gamma) = -N_A\sin\theta + N_B\sin\theta = \sin\theta (N_B - N_A) $$設問4 の結果 \(N_A = 3m(g\cos\theta - \gamma\sin\theta)\)、\(N_B = m(g\cos\theta + \gamma\sin\theta)\) を代入：
$$ N_B - N_A = m(g\cos\theta + \gamma\sin\theta) - 3m(g\cos\theta - \gamma\sin\theta) $$ $$ = mg\cos\theta + m\gamma\sin\theta - 3mg\cos\theta + 3m\gamma\sin\theta $$ $$ = -2mg\cos\theta + 4m\gamma\sin\theta $$運動方程式に戻すと：
$$ -M\gamma = \sin\theta(-2mg\cos\theta + 4m\gamma\sin\theta) $$ $$ -M\gamma = -2mg\sin\theta\cos\theta + 4m\gamma\sin^2\theta $$γ について整理：
$$ -M\gamma - 4m\gamma\sin^2\theta = -2mg\sin\theta\cos\theta $$ $$ \gamma (M + 4m\sin^2\theta) = 2mg\sin\theta\cos\theta $$ $$ \gamma = \dfrac{2mg\sin\theta\cos\theta}{M + 4m\sin^2\theta} = \dfrac{mg\sin 2\theta}{M + 4m\sin^2\theta} $$系全体（X + A + B）に水平方向に働く外力は、床からの摩擦・垂直抗力（鉛直方向のみ）、L 型金具なし＝水平方向外力ゼロ。よって系の水平方向運動量は保存。初期に全静止なので、任意時刻でも水平方向重心は静止：
$$ M v_X + 3m \cdot v_A^x + m \cdot v_B^x = 0 $$糸の拘束から、台基準の A・B の斜面方向速度は同じ大きさ \(u\)（A は左斜面下向きに右下方向、B は右斜面上向きに右上方向）。床基準では：
$$ v_A^x = -V + u\cos\theta, \quad v_B^x = -V - u\cos\theta $$（V = 台 X の左向き速度の大きさ。A は台基準で右に \(u\cos\theta\)、B は台基準で左に \(u\cos\theta\)）
運動量保存：
$$ -MV + 3m(-V + u\cos\theta) + m(-V - u\cos\theta) = 0 $$ $$ -(M + 4m)V + 2mu\cos\theta = 0 \;\Rightarrow\; V = \dfrac{2mu\cos\theta}{M + 4m} $$これを時間微分：
$$ \gamma = \dfrac{2m\alpha\cos\theta}{M + 4m} $$ここで \(\alpha\) は台基準での A の斜面方向加速度。設問4 の解説の (iii) 式から
$$ \alpha = \tfrac{1}{2}g\sin\theta + \gamma\cos\theta $$これを代入して整理しても同じ \(\gamma = \dfrac{mg\sin 2\theta}{M + 4m\sin^2\theta}\) が得られる。
動く台と乗り物の連立問題は、(1) 慣性系か非慣性系で各物体の運動方程式 (2) 拘束条件 (3) 連立で未知量を解く の 3 ステップ。糸でつながれた滑車系は「滑車の張力寄与の水平成分が打ち消し合う」性質を見抜くと式が短くなる。\(M \to \infty\) の極限で \(\gamma \to 0\) になるのも、固定台の場合と一致するチェックポイント。\(\theta = 0\) でも \(\gamma = 0\)（斜面なし＝動かない）、\(\theta = \pi/2\) でも \(\gamma \to 0\)（重力が斜面に平行で台に水平力が来ない）と、両端で消えるのも物理的に妥当。