大問Ⅱは大きく ２部構成。前半（図1）は断熱ピストンで仕切られた左右独立の２気体、後半（図2）は熱を逃がす壁＋外気（大気）と接する系。「断熱なら \(PV^{\gamma}\)＝一定／等温なら \(PV\)＝一定」の使い分けが核心。
理想気体の状態方程式
$$ PV = nRT $$を、はじめの状態（圧力 \(P\)、体積 \(V\)、温度 \(T\)、物質量 \(n\)）について書く。これを \(P\) について解くと
$$ \boxed{\,P = \dfrac{nRT}{V}\,} $$が得られる。シミュレーションでスライダーを動かすと、\(n\) や \(T\) を増やすほど \(P\) が大きくなり、\(V\) を増やすほど \(P\) が小さくなることが直感的に確認できる（粒子数や粒子の速さ・容器サイズに対応）。
初期状態の関係 \(PV = nRT\) は、後の問でしばしば使う。たとえば「\(nC_V T\) を \(PV\) で書け」と言われたら、\(nC_V T = nC_V \cdot \tfrac{PV}{nR} = \tfrac{C_V}{R}PV = \tfrac{1}{\gamma-1}PV\)。気体の内部エネルギーが \(PV\) 自体と簡単な関係にあることが効いてくる。
状態方程式 \(PV=nRT\) は熱力学のすべての出発点。問題で P・V・T・n のうちどれが未知でも、これ1本から書き出せばよい。\(R\) は気体定数（モル単位）であり、\(k_B\)（ボルツマン定数）とは別物。
断熱変化の関係式を A の最初と最後に当てはめる：
$$ P V^{\gamma} = P_A \left(\dfrac{V}{2}\right)^{\gamma} \;\;,\;\; T V^{\gamma-1} = T_A \left(\dfrac{V}{2}\right)^{\gamma-1} $$これを \(P_A, T_A\) について解く：
$$ P_A = P \cdot \left(\dfrac{V}{V/2}\right)^{\gamma} = P \cdot 2^{\gamma} $$ $$ T_A = T \cdot \left(\dfrac{V}{V/2}\right)^{\gamma-1} = T \cdot 2^{\gamma-1} $$たとえば単原子分子なら \(\gamma = 5/3\) なので、\(P_A = 2^{5/3} P \fallingdotseq 3.17\,P\)、\(T_A = 2^{2/3} T \fallingdotseq 1.59\,T\)。「半分に圧縮」しただけで圧力が3倍超、温度が約60％増になる断熱圧縮の威力を実感できる。
ピストンが断熱性 → A と B 間で熱は流れない。容器壁（左右の底面と側面）も断熱性、調節器はOFF → A も B も外界と熱を交換しない。よって両者とも「自分の中だけで」断熱変化をする。\(V_A\) が半分になれば、その鏡像として \(V_B\) は \(3V/2\) になる。同じ理屈で \(P_B = P\cdot(2/3)^{\gamma}, T_B = T\cdot(2/3)^{\gamma-1}\)（B は膨張なので冷える）。
注意：「ゆっくり動かす」とあっても、A と B の圧力が同じになるとは限らない。ピストンが外力で固定された状況（外力 \(F\) が \(P_A\) と \(P_B\) の差に応じて変わる）なので、\(P_A \neq P_B\) を許容する。
断熱圧縮では \(PV^{\gamma}\) と \(TV^{\gamma-1}\) が不変。体積比が \(V/V_A\) なら、圧力は \((V/V_A)^{\gamma}\)倍、温度は \((V/V_A)^{\gamma-1}\)倍。等温圧縮（\(P\)倍は \(V/V_A\)倍）と取り違えないこと。
A+B 系全体に第一法則を適用する。容器壁・ピストンが断熱、温度調節器OFF だから、外との熱の出入りはゼロ。よって
$$ \underbrace{Q_{\text{外}}}_{=\,0} + W_{\text{外力}} = \Delta U_A + \Delta U_B $$と書ける（系全体に注目すると、ピストンを通じて A と B が互いにする仕事は内部の力で打ち消し合うので消える）。各部屋の内部エネルギー変化は \(\Delta U_A = nC_V \Delta T_a\)、\(\Delta U_B = nC_V \Delta T_b\)。よって
$$ \boxed{\,W_{2A} = nC_V\,(\Delta T_a + \Delta T_b)\,} $$右辺は \(R\) を含まないので、答えは \(n, C_V, \Delta T_a, \Delta T_b\) の４量だけで書ける。シミュレーションのバーが A の増分（赤）＋B の増分（青）＝外力の仕事（緑）になっていることが確認できる（B は冷えるので青は負）。
A 単独に第一法則：A は断熱なので \(\Delta U_A = -W_{\text{Aがした仕事}}\)、つまり A がされた仕事 \(=\, nC_V \Delta T_a\)。同様に B は \(nC_V \Delta T_b\)。
外力は「A と B のどちらにもされた仕事の合計」を直接ピストンを通して与えるので
と一致する。
設問(2) の結果から \(\Delta T_a = T(2^{\gamma-1}-1) > 0\)（圧縮で温度上昇）。一方 B は膨張で \(\Delta T_b = T((2/3)^{\gamma-1}-1) < 0\)（冷却）。両者の和は正（圧縮の効果が膨張より大きい）なので、\(W_{2A} > 0\)：外力は系に対して正の仕事を与えている。
「複数気体の系」のエネルギー収支は、系全体に第一法則を立てるとピストン内部の仕事が消えてスッキリ書ける。気体ごとに \(W_{\text{気体がした仕事}}\) を計算する必要がない。
① A は断熱圧縮。設問(2) と同じ計算で
$$ P_A' = 2^{\gamma}\,P\,,\quad T_A' = 2^{\gamma-1}\,T $$② ピストンの力のつり合い（外力なし、ピストン質量 0）から
$$ P_B' = P_A' = 2^{\gamma}\,P $$③ B の体積は \(V_A + V_B = 2V\) のうち \(V_A = V/2\) なので \(V_B' = 3V/2\)。
B 内の気体について状態方程式：
初期状態で \(PV = nRT\) なので、
$$ \boxed{\,T_B' = 3 \cdot 2^{\gamma-1}\,T\,} $$たとえば \(\gamma = 5/3\) なら \(T_B' = 3\cdot 2^{2/3}T \fallingdotseq 4.76\,T\)：B は大きく加熱される。
B は熱を加えられているので「断熱」ではない。しかし途中の状態が分からなくても、始状態と終状態だけに状態方程式を立てれば良い。
始：\(PV = nRT\)、終：\(P_B' V_B' = nR T_B'\)。両辺の比をとると \(\dfrac{P_B' V_B'}{PV} = \dfrac{T_B'}{T}\)。\(P_B'/P = 2^{\gamma}\)、\(V_B'/V = 3/2\) を入れて \(T_B'/T = 3 \cdot 2^{\gamma-1}\)。
外力がない状況のピストンは 圧力のつり合い \(P_A = P_B\)。A 側は断熱なので体積比から圧力・温度が決まり、B 側は圧力＝A と同じとして状態方程式で温度を求める、という二段構え。
A+B 全体の第一法則：今回ピストンの外力は0、外との熱の出入りは「調節器から B への流入 \(Q_B\)」のみ。よって
$$ Q_B = \Delta U_A + \Delta U_B $$① A の内部エネルギー変化：\(\Delta T_a' = T_A' - T = (2^{\gamma-1}-1)T\)、よって
$$ \Delta U_A = nC_V\,(2^{\gamma-1}-1)\,T $$② B の内部エネルギー変化：\(\Delta T_b' = T_B' - T = (3\cdot 2^{\gamma-1}-1)T\)、よって
$$ \Delta U_B = nC_V\,(3\cdot 2^{\gamma-1}-1)\,T $$足し合わせる：
$$ Q_B = nC_V\,T\,\bigl[(2^{\gamma-1}-1) + (3\cdot 2^{\gamma-1}-1)\bigr] = nC_V\,T\,(4\cdot 2^{\gamma-1}-2) $$ $$ \boxed{\,Q_B = 2\,nC_V\,T\,(2^{\gamma}-1)\,} $$たとえば \(\gamma = 5/3\) なら \(Q_B = 2nC_V T(2^{5/3}-1) \fallingdotseq 4.34\,nC_V T\)。B にこれだけ熱を入れて、A も B も温まり、ピストンも \(V/2\) まで動いた という収支。
B 単独に第一法則：\(Q_B = \Delta U_B + W_{\text{Bがした仕事}}\)。ここで \(W_{\text{Bがした仕事}}\) は B がピストンを通して A にした仕事 = A 側で受けた仕事 = \(\Delta U_A\)（A は断熱だから）。
$$ Q_B = \Delta U_B + \Delta U_A $$結果は同じ。系全体で考えてもピストンを介する内部仕事は打ち消されるので、どちらでも OK。
\(C_V = \dfrac{R}{\gamma-1}\) を入れると
$$ Q_B = \dfrac{2nRT(2^{\gamma}-1)}{\gamma-1} = \dfrac{2(2^{\gamma}-1)}{\gamma-1}\,PV $$初期 \(nRT = PV\) を用いた表現。「\(PV\) でいくつ分」という形になり、見通しが良い。
外力がないと「外から入る熱＝系全体の内部エネルギー増加」。複雑な過程でも、系全体に第一法則を立てれば中身を細かく追わなくてよいのが熱力学の強み。
① ピストンのつり合いから \(P_a = P_b\) が常に成り立つ（外力はピストン2 にだけ働き、ピストン1 は外力なしの内部仕切り）。
② a は等温（左壁が熱を通す、ゆっくり変化＝外気と熱平衡）：
よって \(P_b' = P_a' = 2P\)。
③ b は断熱：\(PV^{\gamma}\)＝一定 から
そして \(TV^{\gamma-1}\)＝一定 から
$$ T_b' = T \cdot \left(\dfrac{V}{V_b'}\right)^{\gamma-1} = T \cdot \bigl(2^{1/\gamma}\bigr)^{\gamma-1} = T\cdot 2^{(\gamma-1)/\gamma} $$たとえば \(\gamma = 5/3\) なら \(V_b' \fallingdotseq 0.66\,V\)、\(T_b' \fallingdotseq 1.32\,T\)。シミュレーションのバーで a は等温（横線）、b は \(P,T\) ともに上がるのが見える。
b の断熱：\(P_b' (V_b')^{\gamma} = P V^{\gamma}\)。
力のつり合い：\(P_a' = P_b'\)。
a の等温：\(P_a' V_a' = PV\)、\(V_a' = V/2\) → \(P_a' = 2P\)。
よって \(P_b' = 2P\)。これを断熱式に戻して \(V_b' = V \cdot (1/2)^{1/\gamma}\)、温度は状態方程式から。順序を変えても結果は同じ。
「等温（壁が熱を通す）」と「断熱（壁が熱を通さない）」が同じ容器の中で同居する問題。どこで熱が出入りでき、どこで出入りできないかを最初に見極めるのがすべての出発点。
a+b 全体に第一法則を立てる。エネルギーの収支を整理する：
第一法則（系の内部エネルギー増 ＝ 流入熱 ＋ された仕事）：
$$ \underbrace{(W + (-P\,\Delta V))}_{\text{された仕事}} + \underbrace{(-Q_3)}_{\text{流入熱}} = nC_V\,\Delta T $$これを \(Q_3\) について解いて
$$ \boxed{\,Q_3 = W - P\,\Delta V - nC_V\,\Delta T\,} $$シミュレーションのバーで 赤（外力）＋青（大気）= 緑（b の内部エネルギー増）＋オレンジ（放熱）になっていることが確認できる。
a は等温だから \(\Delta U_a = 0\)。よって a に流入した熱 \(=\) a がした仕事。
$$ Q_{a\,\text{流入}} = W_{a\,\text{がした仕事}} = \int_{V}^{V/2}\!P_a\,dV_a = nRT\,\ln\dfrac{1/2}{1} = -nRT\ln 2 < 0 $$よって a は熱を 放出している：\(Q_3 = nRT\ln 2 = PV\ln 2\)（具体値）。
これを設問(8) の式 \(Q_3 = W - P\Delta V - nC_V\Delta T\) に代入すれば \(W\) が求まる、という関係になっている。
大気と接した系の問題では、大気がした仕事 \(-P\,\Delta V\) を忘れずに計上する。これは「ピストンの外側で大気が押し続けるサービス分」で、エネルギーの入り口になる。
等温過程では \(\Delta U = 0\)、断熱過程では \(Q = 0\)。これらを組み合わせた系では、どの式がどこで効くかを一段ずつ確認する。
部屋a の左壁は熱伝導性で、ゆっくり変化させているから、a 内の気体は常に外気と熱平衡＝等温過程。
体積は \(V \to V/2\) に減るが、温度は \(T\) のまま動かない。
したがって T-V グラフでは、点 \((V, T)\) から点 \((V/2, T)\) まで 温度軸 \(T\) のところを水平に左へ移動 する直線になる。
| 軸 | 値の変化 |
|---|---|
| 温度 \(T\) | \(T\) のまま一定 |
| 体積 \(V\) | \(V \to V/2\) に減少 |
| (参考) 圧力 \(P\) | \(P \to 2P\) に増加（\(PV=\)一定） |
a に対し \(P_a V_a = nRT_a\)。等温なら \(T_a = T\) 不変、\(V_a\) と \(P_a\) は反比例。よって T-V 平面では水平線、P-V 平面では等温双曲線（hyperbola）になる。
等温過程＝「温度が同じ」だが、微視的には体積が縮んだ分だけ気体は外から仕事をされ、それと同じだけの熱を外気に放出している（\(Q_a = W_{a\,\text{された仕事}}\) の符号を反転すれば放熱量）。だから T-V グラフ上で「動きがない」ように見えても、エネルギーのやりとり（仕事 ↔ 熱）は活発に起きている。
「等温なら温度は不動 → T-V グラフは水平線、断熱なら \(T\) と \(V\) が \(TV^{\gamma-1}\)＝一定 で結ばれた曲線」。グラフ問題は、どの量が保存され、どの量が変わるかを即答できることが鍵。