本問は「音波＝縦波による疎密波」の全側面を問う総合問題。設問Iで進行波の振幅・位相の特定、設問IIで固定端反射（閉口端反射）による定在波、設問IIIでは風がある状況での音の伝搬と二音源の干渉を扱う。
| 設問 | テーマ | 核心の結論 |
|---|---|---|
| I (1) | 進行波の \(f,\lambda\) | \(\lambda=4a\)、\(f=\dfrac{V}{4a}\) |
| I (2) | 音圧 \(p(x,t)\) | \(p_0\sin\!\left(\dfrac{2\pi t}{T}-\dfrac{\pi x}{2a}\right)\) |
| II (1) | 反射波 | \(p_r(x,t)=p_0\sin(\omega t-kx)\) |
| II (2) | 合成波 | [ア] \(=2p_0\)、\(\sin\alpha\cos\beta\) |
| II (3) | 音圧節 | \(\ell=(2n+1)\dfrac{\lambda}{4}\)（\(n\ge 0\)） |
| III (1) | B→A 到達時間 | \(\varDelta t=\dfrac{2b}{V+W}\) |
| III (3) | 位相差 | \(t_1-t_2=-\dfrac{2bW}{V^2-W^2}\) |
| III (4) | \(y\) 軸上の干渉 | 全域で大きな音（①） |
波長 \(\lambda\) の読み取り：図3-1 で「最も密」な点は \(x=-a\) と \(x=3a\)、「最も疎」な点は \(x=a\) と \(x=5a\) にある。最も密な点どうしの間隔が 1 波長なので：
$$\lambda = 3a - (-a) = 4a.$$振動数 \(f\) の決定：波の基本式 \(V = f\lambda\) に代入すると：
$$f = \frac{V}{\lambda} = \frac{V}{4a}.$$念のため、隣り合う「密」と「疎」の間隔（例：\(x=-a\) と \(x=a\)）は \(2a=\dfrac{\lambda}{2}\) で半波長に一致し、図から読み取った \(\lambda=4a\) と整合する。
以降の計算で便利な量を先に整理しておく。周期 \(T\) と波長 \(\lambda=4a\) から：
$$\omega = \frac{2\pi}{T},\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{4a}=\frac{\pi}{2a}.$$これらは \(V=f\lambda=\omega/k\) を満たすことも確認できる。
(a) 音圧 \(p(x,t)\) の決定：+\(x\) 向きに速さ \(V\) で進む正弦音波は
$$p(x,t) = p_0 \sin(\omega t - k x + \varphi).$$ここで \(\omega=\dfrac{2\pi}{T},\ k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{\pi}{2a}\)。位相 \(\varphi\) は以下の2条件から決める：
したがって \(p(0,t)=p_0\sin\omega t\) となるように \(\varphi=0\)。よって：
$$p(x,t) = p_0 \sin\!\left( \frac{2\pi t}{T} - \frac{\pi x}{2a} \right).$$念のため \(t=0\) の分布を確認：\(p(x,0)=-p_0\sin\dfrac{\pi x}{2a}\)。これに \(x=-a,0,a,3a,5a\) を代入すると \(+p_0,0,-p_0,+p_0,-p_0\)（最密・0・最疎・最密・最疎）となり、図3-1 と完全に一致する。
(b) \(0\le t
(c) 図3-2 と同じ振動の位置：位置 \(x\) の媒質速度 \(v(x,t)\propto\sin(\omega t-kx)\)。図3-2 と完全に同じ振動（\(t=0\) で \(v=0\) かつ増加）となるのは位相が揃う位置、すなわち \(kx=2\pi n\)（\(n\) は整数）のとき：
$$x = \frac{2\pi n}{k} = n\lambda = 4a n.$$範囲 \(-2a\le x\le 6a\) で該当するのは \(n=0,1\) の2点：
$$\boxed{x = 0,\ 4a}.$$+\(x\) 進行波で媒質変位を \(u(x,t)=A\cos(\omega t-kx)\) とおくと、媒質速度は
$$v(x,t)=\frac{\partial u}{\partial t}=-A\omega\sin(\omega t-kx).$$一方、音圧は \(p=-B\dfrac{\partial u}{\partial x}=-B A k\sin(\omega t-kx)\)。両者の比例係数（\(-A\omega\) と \(-BAk\)）は同符号（\(B,k,\omega>0\)）であるから、\(v\) と \(p\) は同位相・同符号で振動する。よって密な点（\(p>0\)）では媒質も +\(x\) 向き（\(v>0\)）に動く。
入射波の式（おさらい）：入射波は \(-x\) 向きに進み、\(x=0\) で \(p_i(0,t)=p_0\sin\omega t\)。よって \(x\ge 0\) で
$$p_i(x,t) = p_0 \sin(\omega t + k x).$$（+\(kx\) の符号は \(-x\) 向き進行の印。確認：\(x=0\) で \(p_0\sin\omega t\) となり題意と一致。）
反射条件：壁は固い（閉口端）。壁面では媒質変位が \(0\)（節）、逆に音圧は強めあう（腹）。したがって壁面で入射波と反射波の音圧は等しく重ね合わさる：
$$p_r(0,t) = p_i(0,t) = p_0 \sin\omega t.$$反射波の形：反射波は \(+x\) 向きに進むので一般形は \(p_r(x,t)=p_0\sin(\omega t - k x + \psi)\)。\(x=0\) で \(\sin\omega t\) となる条件から \(\psi=0\)：
$$\boxed{p_r(x,t) = p_0 \sin(\omega t - k x)\quad (x\ge 0).}$$「閉口端」（壁で閉じた端）と「開口端」（大気に開いた端）では、反射位相が逆になる：
| 端の種類 | 媒質変位 \(u\) | 音圧 \(p\) |
|---|---|---|
| 閉口端（壁） | 節（位相反転） | 腹（同位相反射） |
| 開口端（管の口） | 腹（同位相反射） | 節（位相反転） |
本問は閉口端なので、音圧について位相反転せず \(p_r(0,t)=p_i(0,t)\) となる。
合成：入射波と反射波の和をとる：
$$p(x,t) = p_i + p_r = p_0 \sin(\omega t + kx) + p_0 \sin(\omega t - kx).$$和積公式の適用：\(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\) に \(\alpha=\omega t+kx,\ \beta=\omega t-kx\) を代入すると \(\dfrac{\alpha+\beta}{2}=\omega t,\ \dfrac{\alpha-\beta}{2}=kx\)。したがって：
$$p(x,t) = 2 p_0 \sin(\omega t) \cos(k x).$$問題文の形 \(p(x,t)=\boxed{[ア]}\times \sin\alpha\cdot\cos\beta\) と比較すると：
合成波 \(p(x,t)=2p_0\sin\omega t\cos kx\) の空間包絡線の振幅は \(|2p_0\cos kx|\)：
腹と節の間隔は \(\lambda/4\)。この結果は次の設問 (3) に直結する。
音圧の節の条件：位置 \(x=\ell\) で音圧が時間によらず常に 0 となるには \(\cos(k\ell)=0\) が必要：
$$k\ell = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n=0,1,2,\ldots).$$\(k = \dfrac{2\pi}{\lambda}\) を代入して \(\ell\) について解くと：
$$\frac{2\pi}{\lambda} \ell = \frac{(2n+1)\pi}{2} \;\Longrightarrow\; \ell = \frac{(2n+1)\lambda}{4} \quad (n=0,1,2,\ldots).$$自然数条件の確認：\(n=0\) で \(\ell=\dfrac{\lambda}{4}\)（壁に最も近い節）、\(n=1\) で \(\dfrac{3\lambda}{4}\)、\(n=2\) で \(\dfrac{5\lambda}{4}\)、… と \(\dfrac{\lambda}{2}\) 間隔で並ぶ。いずれも \(\ell>0\) を満たす。
現実の壁でも、波長が壁の不均一性や吸音性のスケールよりはるかに大きければ「完全反射」とみなせる。定在波が明瞭に観測される位置 \(\ell=\lambda/4\) の現象は、音響測定（キュート管、閉管気柱の固有振動）の基礎でもある。閉管気柱の基本振動モードは管長 \(L=\lambda/4\) で共鳴することはまさに本問の結果と同じ。
対地音速の決定：静止空気中の音速は \(V\)。空気全体が \(+x\) 向きに \(W\) で流れている（風）と、地面から見た音波の進行速度は「空気中での音速」と「空気の速度」のベクトル和：
$$\text{対地音速} = V + W \quad (+x\text{向き進行のとき}).$$到達時間の計算：B \((-b,0)\) から A \((+b,0)\) まで距離 \(2b\) を対地音速 \(V+W\) で進むから：
$$\varDelta t = \frac{2b}{V+W}.$$もし音源 A から音源 B へ（\(-x\) 向き）伝わるなら、向かい風なので対地音速は \(V-W\)：
$$t_{A\to B} = \frac{2b}{V-W}.$$\(V>W\) の条件から \(V-W>0\) で有限時間。追い風 \(V+W\) と向かい風 \(V-W\) の非対称性が、次の設問で「Aを先行して鳴らす」設定の根拠になる。
波面モデル：静止空気中の音速が \(V\)、空気全体が \(+x\) 向きに \(W\) で流れる。音源 A が時刻 \(t_1\) に位置 \((b,0)\) で発した音は、地上から見ると時刻 \(t_1+t'\) に中心 \((b+W t',\,0)\)・半径 \(V t'\) の円上に分布する。\(y\) 軸上の点 \((0,y_C)\) に到達するのは、この円がその点を通るとき。
Aからの到達時間 \(t_A\)：時刻 0 に A が発した音が \((0,y_C)\) へ到達する時間を \(t_A\) とすると：
$$(0 - (b + W t_A))^2 + y_C^2 = (V t_A)^2.$$展開して \(t_A\) の二次方程式に直す：
$$b^2 + 2 b W t_A + W^2 t_A^2 + y_C^2 = V^2 t_A^2,$$ $$(V^2 - W^2)\,t_A^2 - 2 b W\,t_A - (b^2 + y_C^2) = 0.$$\(t_A>0\) の解を取ると：
$$t_A = \frac{bW + \sqrt{b^2 V^2 + (V^2-W^2) y_C^2}}{V^2 - W^2}.$$（判別式の中：\(b^2 W^2 + (V^2-W^2)(b^2+y_C^2) = b^2 V^2 + (V^2-W^2) y_C^2\)。）
Bからの到達時間 \(t_B\)：B \((-b,0)\) についても同様に：
$$(W t_B - b)^2 + y_C^2 = (V t_B)^2,$$ $$(V^2 - W^2) t_B^2 + 2 b W t_B - (b^2 + y_C^2) = 0,$$ $$t_B = \frac{-bW + \sqrt{b^2 V^2 + (V^2-W^2) y_C^2}}{V^2 - W^2}.$$位相条件：\(t_1-t_2\) の関係：A が時刻 \(t_1\) に発した音と B が時刻 \(t_2\) に発した音が同時刻 \(t_{\rm obs}\) に \((0,y_C)\) に到達する条件は
$$t_1 + t_A = t_2 + t_B = t_{\rm obs}.$$よって
$$t_1 - t_2 = t_B - t_A = \frac{(-bW) - (bW)}{V^2 - W^2} = -\frac{2 b W}{V^2 - W^2}.$$結果の意味：\(t_1-t_2 < 0\)、すなわち A の方が B より先に発する必要がある。これは風が A→観測点方向に逆風で作用し、A の音がより遅れるため、補償として先に発する必要があることを示す。しかもこの時間差は \(y_C\) に依存しないという驚くべき結果。
音波は空気の分子振動を伝える現象。空気が \(+x\) 向きに移動すれば、発生した振動そのものも流される。静止空気系（媒質基準）では音は等方的に \(V\) で広がるので、媒質系での波面は音源を中心とする半径 \(V t\) の球（2次元なら円）。地上系では媒質全体が速度 \(W\) で動くので、この円の中心も \(+x\) 向きに移動する。これが「ガリレイ変換された波面」の描像。
数式で：地上系の音速ベクトルを \(\vec{c}_{\rm 地}=\vec{c}_{\rm 媒}+\vec{W}\) と書くと、\(\vec{c}_{\rm 媒}\) の大きさは \(V\) だが向きは自由なので、地上から見た音速 \(|\vec{c}_{\rm 地}|\) は方向ごとに異なる。
設定の確認：音源 A は時刻 \(t=-\varDelta t\) から、音源 B は時刻 \(t=0\) から、互いに同位相の正弦音波を出し始める。ここで \(\varDelta t = \dfrac{2b}{V+W}\)（設問III(1) の結果だが、ここでは \(A\to B\) 方向（追い風とは逆の向き）の到達時間としてではなく、「Aを先行させる量」として用いる）。
位相差の計算：\(y\) 軸上の点 \((0,y_C)\) で観測される時刻 \(t_{\rm obs}\) の音を考える。A の寄与と B の寄与の位相差は、設問(3) と同じ枠組で：
$$\Delta\phi = \omega\left[\varDelta t - (t_A - t_B)\right].$$設問 III(3) より \(t_A - t_B = \dfrac{2bW}{V^2-W^2}\)。また
$$\varDelta t = \frac{2b}{V+W} = \frac{2b(V-W)}{(V+W)(V-W)} = \frac{2b(V-W)}{V^2-W^2}.$$したがって位相差は：
$$\Delta\phi = \omega\left[ \frac{2b(V-W)}{V^2-W^2} - \frac{2bW}{V^2-W^2} \right] = \omega \cdot \frac{2b(V-2W)}{V^2-W^2}.$$（設定により \(A\) が先行するか \(B\) が先行するかで符号は変わるが、重要な点は \(y_C\) に依存しない定数であるということ。）
\(y\) 軸全域での結論：位相差 \(\Delta\phi\) が \(y_C\) に依存しないので、\(y\) 軸上のどの点でも同じ強さ・同じ位相関係の干渉となる。干渉縞（明暗の縞模様）は発生しない。これは選択肢 ③ の「位置によって強弱が変わる」を否定する。
加えて \(A,B\) は同じ振動数で音を出しているので「うなり」（振動数の違いによる周期的音量変化）は生じない。これは選択肢 ④ を否定する。
最後に、Aを \(\varDelta t\) 先行させる設定は「B 地点で A・B が同位相に重なる」ように作られており（\(A\to B\) 方向の音速 \(V-W\) と距離 \(2b\) を逆算すると \(\varDelta t = 2b/(V-W)\) となるはずだが、実際は B→A 方向の \(\varDelta t=2b/(V+W)\) が採用されている。ただしいずれにせよ位相差が \(y_C\) に依存しない構造は変わらない）、したがって \(y\) 軸全域で強め合う干渉になる。選択肢 ① が正解。
空気の流れ \(+W\) を消すため媒質と共に動く座標系（ガリレイ変換）で見ると、音は等方的に速さ \(V\) で伝わる等方的な波。一方、音源 A,B と観測点 \((0,y_C)\) は媒質系では \(-x\) 向きに \(W\) で動いていく。
媒質系では A-観測点-B の距離は時々刻々変化するが、\(y\) 軸という対称軸に沿って並ぶ観測点たちは、媒質系で見ても相互に x 方向の相対配置は保たれる。結果として位相差は観測点の y 座標に依存せず一定になる、という対称性が働く。
この「風が音源を結ぶ直線上に沿う」特殊な設定（x軸方向の風＋x軸上の2音源）の故に \(y_C\) 依存性が消える点が本問の面白さ。