天井に固定された2つの定滑車に渡した糸の両端に小球P（質量 \(m\)）と小球Q（質量 \(M>m\)）が取り付けられた、いわゆる「アトウッドの装置」を中心に、衝突・撃力・ばね振動・グラフ選択を組み合わせた総合問題です。
設定：Pは上向きを正、Qは下向きを正にとる。糸が伸びないので、両者の加速度の大きさは等しく \(a_1\) で、糸の張力の大きさも両端で等しく \(S_1\) である。
立式：
小球P（上向き正）：受ける力は張力 \(S_1\)（上向き）と重力 \(mg\)（下向き）。
$$ m a_1 = S_1 - m g $$小球Q（下向き正）：受ける力は重力 \(M g\)（下向き）と張力 \(S_1\)（上向き）。
$$ M a_1 = M g - S_1 $$糸は伸び縮みしないので、糸の長さ \(\ell\) は一定。糸の長さは「Pから定滑車1までの長さ」＋「定滑車1から定滑車2までの長さ」＋「定滑車2からQまでの長さ」の和。中央の水平部分は変わらないので、Pが \(\Delta x\) だけ上がれば、Qは必ず \(\Delta x\) だけ下がる。これを時間で2回微分すると、Pの加速度の大きさ＝Qの加速度の大きさ。
アトウッドの定滑車型問題では「同じ大きさの加速度」「同じ大きさの張力」が成立する（質量無視・なめらかな滑車）。各小球ごとに座標の正の向きを定義し、運動方程式を独立に立ててから連立するのが定石。
立式：問1(a) で得た2式を辺々足すと、張力 \(S_1\) が消去できる。
$$ m a_1 + M a_1 = (S_1 - m g) + (M g - S_1) = (M-m) g $$ $$ (m+M) a_1 = (M-m) g $$計算：
$$ a_1 = \frac{(M-m) g}{m+M} $$これをPの式に代入すると
$$ S_1 = m(a_1 + g) = m\cdot\frac{(M-m)g + (m+M)g}{m+M} = m\cdot\frac{2 M g}{m+M} $$ $$ S_1 = \frac{2 m M g}{m+M} $$QがΔだけ落ちる間に、Pは Δだけ上がる。重力のした仕事は \( (M-m)g\Delta \)。系全体の運動エネルギー変化は \( \tfrac{1}{2}(m+M)v^2 \)（同じ速さ \(v\) で動くため）。仕事＝エネルギー変化より \( v^2 = \dfrac{2(M-m)g\Delta}{m+M} \)。これを微分すれば \( a = \dfrac{(M-m)g}{m+M} \) を得る。
\(M=m\) のとき：\(a_1 = 0\)（つり合い）、\(S_1 = mg\)（重力を支えるだけ）。確かに合う。
\(M\gg m\) のとき：\(a_1 \to g\)（Pは無視できて Q が自由落下）、\(S_1 \to 2mg\)（Pの実効重力が約 2倍 ⇒ 「無重力的浮上の感覚で重力 \(g\) で加速」）。これも物理的に合理的。
アトウッドの公式：加速度 \(=\dfrac{|\Delta m|g}{\sum m}\)、張力 \(=\dfrac{2m_1m_2 g}{m_1+m_2}\)。よく出題されるので暗記推奨。\(m=M\) で停止、\(M\to\infty\) で \(a\to g\)、\(M\to 0\) で Pが自由落下する。
設定：Q は加速度 \(a_1=\dfrac{(M-m)g}{m+M}\) の等加速度直線運動で、初速 0、距離 \(h\) を落下する。
立式（時間 \(t_1\)）：等加速度の式 \(h = \tfrac{1}{2}a_1 t_1^2\) より
$$ t_1^2 = \frac{2 h}{a_1} = \frac{2 h (m+M)}{(M-m) g} $$ $$ t_1 = \sqrt{\frac{2 h (m+M)}{(M-m) g}} $$立式（速さ \(v_1\)）：\(v_1 = a_1 t_1\) より
$$ v_1 = a_1 \cdot \sqrt{\frac{2h}{a_1}} = \sqrt{2 a_1 h} = \sqrt{\frac{2 (M-m) g h}{m+M}} $$Q が \(h\) 下がり、P が \(h\) 上がる間の力学的エネルギー保存：
$$ Mgh - mgh = \tfrac{1}{2}(m+M)v_1^2 $$（左辺＝重力ポテンシャルの減少、右辺＝両球同じ速さ \(v_1\) の運動エネルギー）。整理して
$$ v_1^2 = \frac{2(M-m)gh}{m+M} $$運動方程式の結果と完全一致する。
等加速度落下では \(v^2 = 2 a h\) と \(t = \sqrt{2h/a}\) が基本公式。アトウッド型では \(g\) を \(a_1\) に読み替えるだけ。エネルギー保存と運動方程式の両者で同じ答えが出ることを確認すると検算になる。
設定：Q は床と非弾性衝突（反発係数 0）して静止し、糸はたるむ。P は上向きの速さ \(v_1\) のまま、重力 \(g\) で減速して投げ上げ運動。やがて落下して元の高さに戻り、下向きの速さは再び \(v_1\) になる（自由落下の対称性）。
この瞬間、糸が「ぴんと張る」。問題文より「糸の張力が各小球に与える力積の大きさは等しく、重力の力積は張力の力積に比べて非常に小さい」ので、撃力中の重力の影響は無視できる。糸からの力積を \(J\)（両球とも上向きが正）とする。
立式1（小球Pの運動量変化）：直前は下向きに \(v_1\)、直後は下向きに \(v_2\)。上向きを正にとると
$$ m\,(-v_2) - m\,(-v_1) = +J \;\;\Rightarrow\;\; J = m(v_1 - v_2) $$立式2（小球Qの運動量変化）：直前は静止、直後は上向きに \(v_2\)。
$$ M\,(+v_2) - 0 = +J \;\;\Rightarrow\;\; J = M v_2 $$連立して \(v_2\) を求める：両式の \(J\) を等しくおく。
$$ m(v_1 - v_2) = M v_2 $$ $$ m v_1 = (m + M) v_2 $$ $$ v_2 = \frac{m}{m+M}\,v_1 = \frac{m}{m+M}\sqrt{\frac{2(M-m)gh}{m+M}} $$糸が張る瞬間にPには上向きの撃力、Qにも上向きの撃力が同じ大きさかかる。Pは下向きに動いていてQは静止しているので、糸の張力は両球の運動量の「縦方向の差」を変える。糸の長さが一定という拘束のため、Pが下向きに \(v_2\) ならQは上向きに \(v_2\)（向きが反対で大きさが等しい）。撃力中の系の「\(P_\text{下向き} + Q_\text{上向き}\)」（＝拘束方向の合成運動量）は外力の力積で変化するが、糸からの力積は内力なので保存される ⇒ \( m v_1 + 0 = m v_2 + M v_2 \)、ゆえに \( v_2 = m v_1/(m+M) \)。
「直後に同じ速さで動き始める」という現象は、糸を「無限に固い棒」と考えれば、PとQが衝突して完全非弾性衝突を起こしたのと同じ。実際、衝突後の共通速度は \(\dfrac{m v_1 + M\cdot 0}{m+M} = \dfrac{m v_1}{m+M}\) で同じ式になる。糸を介した「遠隔の完全非弾性衝突」と理解できる。
撃力（短時間の大きな力）の問題では「重力による力積は無視」が定石。糸の張力＝内力で、両端で大きさは等しく、運動量変化を結びつける。糸でつながった2球の「再衝突」は、完全非弾性衝突 \( v = m v_1/(m+M) \) と同じ式で表される。
設定：Pの位置を \(x\)（自然長の位置を原点、上向き正）とする。Pが \(x\) のとき、ばねの自然長からの伸びは \(x\)（\(x>0\) で伸び、\(x<0\) で縮み）。糸でつながった Q は、P が上に \(\Delta x\) 動けば下に \(\Delta x\) 動く。両球の加速度は同じ大きさで、\(\ddot x\) を P の上向き加速度とすると、Q の下向き加速度も \(\ddot x\) になる。
立式（運動方程式）：張力を \(T\)、上向きを正として
P：\( m \ddot x = T - mg - k x \)（ばねは \(x>0\) で下向き、\(x<0\) で上向きに引く）
Q：Q の下向き正で \( M \ddot x = M g - T \)
2式を辺々足して張力 \(T\) を消去すると
$$ (m+M) \ddot x = -k x + (M - m) g $$これを SHM の標準形 \( \ddot x = -\omega^2 (x - x_0) \) に整形：
$$ \ddot x = -\frac{k}{m+M}\left(x - \frac{(M-m)g}{k}\right) $$これより
振動中心：\( \displaystyle x_0 = \frac{(M-m)g}{k} \)
角振動数：\( \displaystyle \omega = \sqrt{\frac{k}{m+M}} \)
周期：\( \displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m+M}{k}} \)
振動中心では合力が 0、すなわちつり合い位置。P側のつり合い：\( T = mg + k x_0 \)。Q側のつり合い：\( T = Mg \)。両者を比較して \( Mg = mg + k x_0 \)、ゆえに \( x_0 = \dfrac{(M-m)g}{k} \)。運動方程式から導いた値と一致。
SHMの周期は \( 2\pi\sqrt{m_\text{eff}/k_\text{eff}} \) で、復元力に比例する成分（\(k\)）と慣性質量（\(m+M\)）にしか依存しない。重力は「振動中心をずらす」効果はあるが「振動の速さ＝周期」には影響しない。これはばね振り子で重力が周期に効かないのと同じ理由。
糸でつながった2球＋ばね系のSHMでは、(1) 等価質量 \(m+M\)、(2) ばね定数そのまま \(k\)、(3) 重力差 \((M-m)g\) が中心位置をシフトさせる。「\((m+M)\ddot x = -k(x - x_0)\)」の形に必ず整理する。
立式（エネルギー保存）：SHM全体は「等価質量 \(m+M\)、ばね定数 \(k\)」でばね＋重力を含むポテンシャルが中心 \(x_0\) のまわりで放物状になる。中心からの距離 \(\xi = x - x_0\) を使うと
$$ \tfrac{1}{2}(m+M)\dot x^2 + \tfrac{1}{2}k\,\xi^2 = \text{一定} $$初期条件：\(x = 0\) のとき \(\xi_0 = 0 - x_0 = -x_0 = -\dfrac{(M-m)g}{k}\)、速さ \(|\dot x| = v_0\)。よって振幅 \(A\) は
$$ \tfrac{1}{2}k A^2 = \tfrac{1}{2}k\xi_0^2 + \tfrac{1}{2}(m+M)v_0^2 $$ $$ A^2 = x_0^2 + \frac{(m+M)v_0^2}{k} = \left(\frac{(M-m)g}{k}\right)^2 + \frac{(m+M)v_0^2}{k} $$ $$ A = \sqrt{\left(\frac{(M-m)g}{k}\right)^2 + \frac{(m+M)v_0^2}{k}} $$取り得る範囲：\( x \in [x_0 - A,\; x_0 + A] \)、すなわち
$$ \frac{(M-m)g}{k} - A \;\le\; x \;\le\; \frac{(M-m)g}{k} + A $$初期速度の向き（下／上）は振幅の値には影響しない（\(v_0^2\) で入る）。下向きでも上向きでも、エネルギーは同じなので振幅も同じ。違いは「最初にどちらの端へ向かうか」だけ。下向きなら最初に \(x_0 - A\)、上向きなら最初に \(x_0 + A\) に達する。
SHMの振幅は「中心からの距離の2乗＋速さの2乗(エネルギー的)」で決まる：\(A^2 = \xi_0^2 + (\dot x_0/\omega)^2\)。これは円運動の対応物（位相空間で半径＝振幅）として理解すると暗記不要。
立式：Q の運動方程式（下向き正、加速度 \(\ddot x_Q = -\ddot x_P\) なので、P の加速度を改めて \(\ddot x\) として）
$$ M(-\ddot x) = M g - T \;\;\Rightarrow\;\; T = M(g + \ddot x) $$SHM では \( \ddot x = -\omega^2 (x - x_0) \)。 \(x = x_0 + A\)（上端）で \(\ddot x = -\omega^2 A\) が最小（最も負）。よって張力の最小値は
$$ T_\text{min} = M(g - \omega^2 A) $$条件 \(T_\text{min} \ge 0\)：
$$ g \ge \omega^2 A = \frac{k}{m+M}\cdot A $$ $$ A \le \frac{g(m+M)}{k} $$両辺を 2 乗して \(A^2 = x_0^2 + (m+M)v_0^2/k\) を代入：
$$ x_0^2 + \frac{(m+M)v_0^2}{k} \le \left(\frac{g(m+M)}{k}\right)^2 $$ $$ \frac{(m+M)v_0^2}{k} \le \frac{g^2(m+M)^2}{k^2} - \frac{(M-m)^2 g^2}{k^2} $$ $$ \frac{(m+M)v_0^2}{k} \le \frac{g^2}{k^2}\Big[(m+M)^2 - (M-m)^2\Big] = \frac{g^2}{k^2}\cdot 4mM $$ $$ v_0^2 \le \frac{4 m M g^2}{k(m+M)} $$ $$ v_0 \le 2 g \sqrt{\frac{m M}{k (m+M)}} $$\(T_\text{min}=0\) になる「振幅の上限」は \(A_\max = g(m+M)/k\)。エネルギー保存より \( A^2 = x_0^2 + (m+M)v_0^2/k \) なので、 \( A \le A_\max \) を 2 乗して \(v_0^2\) について解けばよい。途中の式変形で \((m+M)^2 - (M-m)^2 = 4mM\) と展開するのがコツ。
問題文で \(k > 2Mg/h\) という条件が与えられているのは、Pの振動の最大位置が高さ \(h\)（Pがもとあった位置）を超えないようにする、または上記の張力条件を保証する意味があると解釈される。\(A_\max = g(m+M)/k\) と \(h\) を比較した条件式とも関連している。
糸の張力下限 \(T_\text{min} \ge 0\) が「糸がたるまない」条件。SHMでは「最大加速度＝\(\omega^2 A\)」、これが \(g\) を超えない条件 \(A \le g(m+M)/k\) が振幅の上限。エネルギー保存で振幅を \(v_0\) と結び付けて初速の上限を出す。
設定：\(M=2m\)、Q は床にある。P は原点 \(x=0\) で初速 \(v_0\)（下向き）を与えられる。下向きに動く間、糸が張ってQが持ち上がるので Phase A の SHM。等価質量 \(m+M = 3m\)、ばね定数 \(k\)、振動中心 \(x_0 = (M-m)g/k = mg/k\) （原点より上）。
立式（エネルギー保存）：原点 \(x = 0\) での状態と、振動の最下点（\(x = x_0 - A_1\) で速さ 0）での状態を、振動中心 \(x_0\) を基準としたエネルギーで結ぶ。
原点での中心からの距離： \( |0 - x_0| = mg/k \)
原点でのエネルギー： \(\tfrac{1}{2}k(mg/k)^2 + \tfrac{1}{2}(3m)v_0^2 = \dfrac{(mg)^2}{2k} + \dfrac{3m v_0^2}{2}\)
最下点でのエネルギー： \(\tfrac{1}{2}k A_1^2\)
等しいとおいて
$$ \tfrac{1}{2}k A_1^2 = \tfrac{(mg)^2}{2k} + \tfrac{3m v_0^2}{2} $$ $$ A_1^2 = \left(\frac{mg}{k}\right)^2 + \frac{3m v_0^2}{k} $$ $$ A_1 = \sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^2 + \frac{3m v_0^2}{k}} = \frac{1}{k}\sqrt{m^2 g^2 + 3 m k v_0^2} $$Phase A における系のつり合い位置（合力＝0となる位置）は \(x = mg/k\)（原点より上）。原点はそこから距離 \(mg/k\) ずれた点なので、もし P が原点で静止状態から始まれば、振幅は \(mg/k\)。実際は速さ \(v_0\) も持っているので、エネルギー的にさらに \(\sqrt{(m+M)v_0^2/k} = \sqrt{3mv_0^2/k}\) だけ振幅が増える。両者を「2 乗で足す」のがエネルギー的振幅合成の法則。
SHMの振幅は「中心からの初期距離」と「初期速度に対応する振幅」の2乗和の平方根：\( A^2 = \xi_0^2 + (\dot\xi_0/\omega)^2 \)。エネルギー保存の言い換えに過ぎないが、計算が早い。
立式：
\(A_2\) の計算：原点を上向きに速さ \(v_0\)（エネルギー保存）で通過した後、Pは「ばねから離れ、糸も緩んでいる」ため重力 \(g\) のみで減速する投げ上げ運動。最高点までの距離 \(A_2\) は
$$ v_0^2 = 2 g A_2 \;\;\Rightarrow\;\; A_2 = \frac{v_0^2}{2 g} $$\(A_1\) の計算（再掲）： \( \displaystyle A_1 = \frac{\sqrt{m^2 g^2 + 3 m k v_0^2}}{k} \)
差を考える：両者の大小は条件次第だが、本問では「必ず \(A_1 > A_2\)」が成り立つことを示す。差 \(A_1 - A_2\) を吟味する代わりに、より物理的に：
Phase A での原点通過時、Pの速さは \(v_0\)、Qの速さも \(v_0\)（同じ大きさ、糸の拘束による）。系全体の運動エネルギーは \(\tfrac{1}{2}(3m)v_0^2 = \tfrac{3}{2}mv_0^2\)。これが「ばねの位置エネルギー \(\tfrac{1}{2}kA_1^2\) − ばねが \(mg/k\) のときの値」と「重力ポテンシャルの差」のバランスで振幅 \(A_1\) を決める。
一方、Phase B では原点通過時のPだけの運動エネルギー \(\tfrac{1}{2}m v_0^2\) が重力ポテンシャル \(mgA_2\) になる：
$$ \tfrac{1}{2}m v_0^2 = m g A_2 \;\;\Rightarrow\;\; A_2 = \frac{v_0^2}{2g} $$Phase A では「Pの運動エネルギー＋Qの運動エネルギー＋Qの位置エネルギー減少」が「ばねの圧縮エネルギー＋Pの位置エネルギー減少」とバランス。Q がエネルギーを「持ち上がる」ことで、ばねに蓄えられるエネルギーは Phase B の重力ポテンシャル \(mgA_2\) より多くなる傾向にある。具体的にはQ も持ち上がるため余分なエネルギーが必要、結果的に圧縮深さが大きくなる ⇒ \(A_1 > A_2\)。
例として \(m=1\), \(g=10\), \(k=100\), \(v_0=1\) とすると、
確かに \(A_1 > A_2\)。一般に \(M = 2m\) と仮定する限りは、原点での同じ速さ \(v_0\) に対し Phase A で動かす質量が大きいので振幅が大きくなる。
系の「動く質量」が大きいほど、同じ初速 \(v_0\) で蓄えられる運動エネルギーが大きく、ばねへの圧縮も大きくなる。Phase A（PとQが連動）の方が Phase B（P単独）より動く質量が3倍なので、振幅は \(A_1 > A_2\)。
各位相の解析：
Phase A（\(x \le 0\)）：SHM の正弦波。\(x = 0\) を下向きに通過 → \(x = x_0 - A_1\)（最下点）→ \(x = 0\) に戻る。この間の時間は半周期：
$$ T_A = \pi \sqrt{\frac{m+M}{k}} = \pi \sqrt{\frac{3m}{k}} $$Phase B（\(x \ge 0\)）：投げ上げの放物線。\(x=0\) を上向きに速さ \(v_0\) で通過 → 最高点 \(A_2\) → \(x=0\) に戻る。所要時間は
$$ T_B = \frac{2 v_0}{g} $$グラフの特徴：
図 4 の (ア)〜(カ) のうち、上記すべてを満たすのは (ア)（最初に下に行き、振幅小・大の比、SHM＋放物線の組み合わせ）が最も近い。
※ 図 4 の各グラフの細かい比率は問題冊子で確認する必要があるが、判定基準は「最初の方向（下向き）」「下半分の振幅 > 上半分の振幅」「下半分は正弦波・上半分は放物線」の3点。
選択肢の典型的な区別ポイント：
Phase A の有効ポテンシャル（PとQの重力＋ばね）は \( U(x) = \tfrac{1}{2}kx^2 - (M-m)g\,x \)（\(x<0\) で連動）、Phase B は \( U(x) = mgx \) のみ。\(x=0\) で連続的につながる。エネルギー保存により、\(x=0\) を通過する速さは Phase A も Phase B も同じ \(v_0\)。Phase A では「ポテンシャル井戸」が深いので振幅も大、Phase B では「単なる坂」なので投げ上げの公式で振幅小。
2つの相をまたぐ運動のグラフ問題は、(1) 「各相での運動の種類（SHM／等加速度／自由落下／投げ上げ）」、(2) 「各相の所要時間と振幅」、(3) 「相間の継ぎ目で速度・位置が連続」の3点を確認して選ぶ。本問は SHM (Phase A) と投げ上げ (Phase B) の組み合わせ。