解法の指針

鉛直に立てたなめらかな棒に通した同質量 \(m\) の2つの物体 A, B がばね（ばね定数 \(k\)）で接続され、接着剤で貼り合わされています。接着剤が剥がれる条件と、その前後での振動の違いを解析する問題です。

問題の構成

• 問1：つり合い位置でのばねの縮み
• 問2・3：A+B 一体での単振動の周期と最大速さ
• 問4：物体 B にはたらく力
• 問5：A, B 一体の運動方程式と内力 \(T\)
• 問6：\(T\) を \(x\) の関数としてグラフに描く
• 問7・8：接着が剥がれる条件と剥がれた瞬間の速さ

問1：ばねの縮み \(d_0\)

つり合い位置では、ばねが縮んで物体 A+B の重力を支えます。ばねの縮みを \(d_0\) とすると：

$$ kd_0 = 2mg $$ $$ d_0 = \frac{2mg}{k} $$

問2：A+B 一体の単振動の周期

物体 B をつり合い位置から \(b\) だけ押し下げて手を離すと、A+B は一体のまま上下に単振動します。質量 \(2m\)、ばね定数 \(k\) の系なので：

$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}} $$

問3：最大速さ

振幅 \(b\) の単振動の最大速さは、角振動数 \(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{2m}}\) を使って：

$$ v_{\max} = b\omega = b\sqrt{\frac{k}{2m}} $$

問4〜6：内力 \(T\) の解析

問4：物体 B にはたらく力

物体 B に注目します。位置 \(x\)（上向き正、つり合い位置を原点）にあるとき：

• 重力: \(-mg\)（下向き）
• 物体 A から受ける力: \(T\)（\(T > 0\) で上向き = 押し合い、\(T < 0\) で下向き = 引き合い）

物体 B の運動方程式：

$$ ma_B = T - mg $$

問5：A, B の運動方程式と \(T\) の表式

A+B 一体の運動方程式（合計質量 \(2m\)）：

$$ 2m\ddot{x} = -kx $$

（つり合い位置 \(x = 0\) からの変位に対する復元力。つり合い位置ではばねの力 = 重力が相殺済み。）

加速度 \(a = \ddot{x} = -\dfrac{k}{2m}x\) です。

物体 B だけの運動方程式：

$$ ma = T - mg $$ $$ m \cdot \left(-\frac{k}{2m}x\right) = T - mg $$ $$ -\frac{kx}{2} = T - mg $$ $$ T = mg - \frac{kx}{2} $$

ここで \(d_0 = \dfrac{2mg}{k}\) を使うと：

$$ T = mg\left(1 - \frac{x}{d_0}\right) $$

問6：\(T\) の \(x\) によるグラフ

\(T = mg - \dfrac{k}{2}x\) は \(x\) の1次関数（右下がりの直線）です。

• \(x = 0\) のとき \(T = mg\)（正 = 押し合い）
• \(x = d_0 = \dfrac{2mg}{k}\) のとき \(T = 0\)
• \(x = -3d_0\) のとき \(T = mg(1+3) = 4mg\)
• \(x = 3d_0\) のとき \(T = mg(1-3) = -2mg\)（引き合い）

グラフは \(T\) 軸との交点 \((0, mg)\)、\(x\) 軸との交点 \((d_0, 0)\) を通る直線です。

問7・問8：接着が剥がれる条件

問7：離れるための条件

物体が離れるのは \(T < -p\)（引っ張り力が接着力を超える）ときです。

振動中に \(|T|\) が最大になるのは \(x\) が最大のとき（上端 \(x = b\)）です：

$$ T(b) = mg - \frac{kb}{2} $$

離れる条件は \(T(b) < -p\)：

$$ mg - \frac{kb}{2} < -p $$ $$ \frac{kb}{2} > mg + p $$ $$ b > \frac{2(mg + p)}{k} $$

問8：離れた瞬間の物体 B の速さ

問題文では「物体 B をつり合い位置から \(b\) だけ押し下げ、静かに手を離すと、物体 B は運動の途中で物体 A から離れた」とあります。離れる瞬間はばねの弾性エネルギーと運動エネルギーが変化しないとされています。

離れる位置 \(x_s\) は \(T(x_s) = -p\) の位置です：

$$ mg - \frac{kx_s}{2} = -p $$ $$ x_s = \frac{2(mg + p)}{k} $$

離れる瞬間の速さを求めるため、エネルギー保存則を使います。初期位置 \(x = -b\)（速さ0）から位置 \(x = x_s\) まで：

$$ \frac{1}{2}(2m)v^2 = \frac{1}{2}k\left[(d_0 + b)^2 - (d_0 - x_s)^2\right] - 2mg(b + x_s) $$

ばねの自然長からの縮みは、位置 \(x\) では \(d_0 - x\) です（つり合い位置で縮み \(d_0\)、上に行くと縮みが減る）。

エネルギー保存（初期位置 \(x = -b\) から位置 \(x_s\)）：

$$ \frac{1}{2}(2m)v^2 + \frac{1}{2}k(d_0 - x_s)^2 + 2mg \cdot x_s = \frac{1}{2}k(d_0 + b)^2 - 2mg \cdot b $$

整理のために、つり合い位置基準の位置エネルギーを使います。単振動のエネルギー保存：

$$ \frac{1}{2}(2m)v^2 + \frac{1}{2}\frac{k}{1}x_s^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\frac{k}{1}b^2 \cdot \frac{1}{2} $$

いや、もっとシンプルに。つり合い位置基準の単振動では、有効ポテンシャルは \(\dfrac{1}{2}k_{\text{eff}}x^2 = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{k}{2}\cdot x^2 \cdot\) …

実は、運動方程式 \(2m\ddot{x} = -kx\) から有効ばね定数は \(k\) で質量 \(2m\) です。エネルギー保存は：

$$ \frac{1}{2}(2m)v^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kb^2 $$

（ここで \(x\) はつり合い位置からの変位です。これは有効ポテンシャルではなく、正しくは重力+ばねのポテンシャルをつり合い位置基準で書いたものです。）

確認：つり合い位置基準で \(U_{\text{eff}} = \frac{1}{2}k(d_0-x)^2 - 2mgx\)（自然長からの伸びでばねエネルギー + 重力ポテ）を展開すると：

$$ U_{\text{eff}} = \frac{1}{2}kd_0^2 - kd_0 x + \frac{1}{2}kx^2 - 2mgx $$

\(kd_0 = 2mg\) を使うと定数項以外は \(\frac{1}{2}kx^2\) のみ。よって：

$$ \frac{1}{2}(2m)v^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kb^2 $$

位置 \(x_s = \dfrac{2(mg+p)}{k}\) での速さ：

$$ mv^2 = \frac{1}{2}k(b^2 - x_s^2) $$ $$ v = \sqrt{\frac{k(b^2 - x_s^2)}{2m}} $$

\(x_s = \dfrac{2(mg+p)}{k}\) を代入すると：

$$ v = \sqrt{\frac{k}{2m}\left(b^2 - \frac{4(mg+p)^2}{k^2}\right)} $$

💡 離れた後の運動

離れた後、物体 B は重力のみを受けるので鉛直投げ上げ運動をします（初速 \(v\)、上向き）。物体 A は ばね + 重力で新しい単振動を始めます（質量 \(m\)、ばね定数 \(k\)、つり合い位置は \(x = mg/k = d_0/2\)）。