傾き角 30° のなめらかな斜面上の台車（質量 \(m\)）に糸が取り付けられ、斜面上端の定滑車を経由し、動滑車を介して天井に固定されています。動滑車には床との間にばね（ばね定数 \(k\)）がつながっています。動滑車による「力が2倍／変位が半分」の関係を正確に追うことが全問の鍵です。
動滑車の2つの性質を取り違えないことが全問の核心です：
台車は斜面上で静止しているので、斜面方向の力のつり合いを考えます。台車には重力の斜面成分 \(mg\sin 30°\)（斜面下向き）と、糸の張力 \(T\)（斜面上向き）がはたらきます。
斜面方向の力のつり合い：
$$ T = mg\sin 30° = \frac{1}{2}mg $$次に、天井につながる糸は1本であり、その張力は定滑車・動滑車を通っても変わらず \(T\) です。したがって天井を引く力の大きさは張力 \(T\) そのものです。
$$ F_{\text{天井}} = T = \frac{1}{2}mg $$動滑車には2本の糸（定滑車側と天井側）がかかり、どちらも張力 \(T\) で上向きに引きます。よって動滑車を上向きに引く力の合計は \(2T = mg\)。これはばねが下向きに引く力とつり合います（問2で使用）。
一方、天井を直接引いているのは1本の糸なので、その力は \(T = \dfrac{1}{2}mg\)。ここを混同して \(mg\) としないことが重要です。
「動滑車にかかる力（\(2T\)）」と「天井を引く糸の力（\(T\)）」を区別する。1本の糸の張力はどこでも \(T\) で一定。
動滑車（軽い）の鉛直方向のつり合いを考えます。動滑車には2本の糸が上向きにかかり、その合計は \(2T\) です。これと、ばねが下向きに引く力 \(kx_0\)（\(x_0\) はばねの自然長からの伸び）がつり合います。
動滑車のつり合い：
$$ kx_0 = 2T $$問1より \(T = \dfrac{1}{2}mg\) なので \(2T = mg\)。代入すると：
$$ kx_0 = mg \quad\Rightarrow\quad x_0 = \frac{mg}{k} $$たとえば \(m = 2.0\) kg、\(g = 9.8\) m/s²、\(k = 98\) N/m のとき：
$$ x_0 = \frac{mg}{k} = \frac{2.0 \times 9.8}{98} = \frac{19.6}{98} = 0.20 \text{ m} $$ばねを引く力は動滑車にかかる \(2T = mg\) であって、天井を引く力 \(T = \dfrac{1}{2}mg\) ではありません。動滑車を使うと、糸が2本かかるぶんばねには2倍の力が伝わります。
ばねの弾性力による位置エネルギーの公式 \(U = \dfrac{1}{2}kx^2\) に、つり合い位置での伸び \(x_0 = \dfrac{mg}{k}\) を代入します。
$$ U = \frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^2 $$計算すると：
$$ U = \frac{1}{2}k \cdot \frac{m^2g^2}{k^2} = \frac{m^2g^2}{2k} $$弾性エネルギーは伸びの2乗に比例。伸び \(x_0\) を正しく求めていれば代入するだけ。問2で \(x_0\) を取り違えると、ここも連動して間違える。
台車をつり合い位置から斜面上方へ移動させ、ばねが自然長になった瞬間に手を離します。このとき台車は単振動の端（最も上方）にあるので、つり合い位置からこの端までの距離が振幅 \(A\) です。
ばねの伸びは、つり合い位置で \(x_0 = \dfrac{mg}{k}\)、自然長で \(0\) です。動滑車があるため、台車が斜面方向に \(x\) 動くと、ばね端（動滑車）の移動は \(\dfrac{x}{2}\)。よって、ばねの伸びを \(x_0\) から \(0\) に変える（変化量 \(x_0\)）には、台車を：
$$ \frac{A}{2} = x_0 = \frac{mg}{k} \quad\Rightarrow\quad A = \frac{2mg}{k} $$だけ動かす必要があります。これが台車の振幅です。動滑車（ばね端）の振幅はその半分なので：
$$ A_{\text{動滑車}} = \frac{A}{2} = \frac{mg}{k} $$台車の運動方程式を立てて実効ばね定数を求めます。台車がつり合い位置から斜面下方に \(x\) だけ変位したとき、ばねの伸びは \(x_0 + \dfrac{x}{2}\) です。
動滑車のつり合い \(kX = 2T'\)（\(X\) はばねの伸び、\(T'\) は糸の張力）より、糸の張力は：
$$ T' = \frac{kX}{2} = \frac{k}{2}\left(x_0 + \frac{x}{2}\right) = \frac{kx_0}{2} + \frac{kx}{4} $$台車の斜面方向の運動方程式（斜面下向きを正）：
$$ ma = mg\sin 30° - T' = \frac{mg}{2} - \frac{kx_0}{2} - \frac{kx}{4} $$つり合い条件 \(\dfrac{mg}{2} = \dfrac{kx_0}{2}\)（問2より）を使うと、定数項が消えて：
$$ ma = -\frac{k}{4}\,x $$これは復元力が変位に比例する単振動で、実効ばね定数 \(k_{\text{eff}} = \dfrac{k}{4}\)。角振動数は：
$$ \omega = \sqrt{\frac{k_{\text{eff}}}{m}} = \sqrt{\frac{k}{4m}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}} $$最大の速さは（振幅）×（角振動数）：
$$ v_{\max} = A\omega = \frac{2mg}{k} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{mg}{k}\sqrt{\frac{k}{m}} = g\sqrt{\frac{m}{k}} $$実効ばね定数 \(k_{\text{eff}} = \dfrac{k}{4}\) を周期の公式に代入します。
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{eff}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k/4}} = 2\pi\sqrt{\frac{4m}{k}} $$\(\sqrt{4} = 2\) なので：
$$ T = 2\pi \cdot 2\sqrt{\frac{m}{k}} = 4\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$単振動のエネルギー保存 \(\dfrac{1}{2}mv^2 + \dfrac{1}{2}k_{\text{eff}}x^2 = \dfrac{1}{2}k_{\text{eff}}A^2\) を使います。最大速さは \(x = 0\)（つり合い位置）で得られ：
$$ \frac{1}{2}mv_{\max}^2 = \frac{1}{2}k_{\text{eff}}A^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{k}{4}\left(\frac{2mg}{k}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{k}{4}\cdot\frac{4m^2g^2}{k^2} = \frac{m^2g^2}{2k} $$よって \(v_{\max}^2 = \dfrac{m g^2}{k}\)、すなわち \(v_{\max} = g\sqrt{\dfrac{m}{k}}\)。運動方程式から求めた値と一致します。
動滑車を含む系の実効ばね定数は \(\dfrac{k}{4}\)。これは「力が \(\dfrac{1}{2}\)・変位が \(\dfrac{1}{2}\)」が掛け合わさって \(\dfrac{1}{4}\) になるためで、てこの原理と同じ「変位と力のトレードオフ」の現れ。
まず単振動の式を整理します。ばねが自然長になり手を離した時刻を \(t=0\)、つり合い位置からの斜面下向きの変位を \(x\) とすると、\(t=0\) では上方の端（\(x=-A\)）にいるので：
$$ x(t) = -A\cos(\omega t),\qquad A = \frac{2mg}{k},\quad \omega = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}} $$台車がつり合い位置 \((x=0)\) を通過するのは \(\cos(\omega t)=0\)、すなわち \(\omega t = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2},\dots\) のとき。1回目は斜面下向き、2回目は斜面上向きに通過します。
台車がつり合い位置を2回通過するのは \(\omega t = \dfrac{3\pi}{2}\) のとき。このとき台車はつり合い位置にあり、速さは最大 \(v_{\max}=g\sqrt{\dfrac{m}{k}}\) で斜面上向きに動いています。
糸を切断すると、台車は加速度 \(\dfrac{g}{2}\)（斜面下向き）の等加速度運動になります。上向きに動く台車は減速し、やがて速さが \(0\) になります。等加速度の式 \(v^2 = v_0^2 - 2as\) で \(v=0\) として、つり合い位置からの移動距離 \(d_1\) を求めます。
$$ 0 = v_{\max}^2 - 2\cdot\frac{g}{2}\cdot d_1 \quad\Rightarrow\quad d_1 = \frac{v_{\max}^2}{g} $$\(v_{\max}^2 = \left(g\sqrt{\dfrac{m}{k}}\right)^2 = \dfrac{mg^2}{k}\) を代入：
$$ d_1 = \frac{1}{g}\cdot\frac{mg^2}{k} = \frac{mg}{k} $$速さが \(0\) になるまでの時刻（切断からの経過時間）は \(v = v_{\max} - \dfrac{g}{2}t\) で \(v=0\) として：
$$ t = \frac{v_{\max}}{g/2} = \frac{2v_{\max}}{g} = \frac{2}{g}\cdot g\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\sqrt{\frac{m}{k}} $$糸を切断した後は重力（保存力）だけがはたらくので、力学的エネルギー \(\dfrac{1}{2}mv^2 + mgh\) が保存されます。最下点（つり合い位置から斜面下方に \(L\)）での速さを最大にするには、切断の瞬間の「運動エネルギー＋重力の位置エネルギー」を最大にすればよいことになります。
切断位置を \(x\)（つり合い位置からの斜面下向き変位）とすると、最下点までの斜面方向の距離は \(L-x\)、その間の高さの下がりは \((L-x)\sin 30° = \dfrac{L-x}{2}\)。エネルギー保存より最下点の速さ \(V\) は：
$$ \frac{1}{2}mV^2 = \frac{1}{2}mv_x^2 + mg\cdot\frac{L-x}{2} $$ここで \(v_x\) は切断時の速さで、単振動のエネルギー保存から \(v_x^2 = \omega^2(A^2 - x^2)\)。両辺を \(\dfrac{m}{2}\) で割って整理すると：
$$ V^2 = \omega^2(A^2 - x^2) + g(L - x) $$\(\omega^2 = \dfrac{k}{4m}\) を代入し、\(x\) について整理します。\(V^2\) を最大にする \(x\) を平方完成で探します。\(x\) の係数を見ると：
$$ V^2 = -\frac{k}{4m}x^2 - g\,x + \left(\frac{k}{4m}A^2 + gL\right) $$これは上に凸の放物線で、頂点は \(\dfrac{dV^2}{dx}=0\)、すなわち \(-\dfrac{k}{2m}x - g = 0\) より \(x = -\dfrac{2mg}{k} = -A\)。
つまり \(V^2\) は変位の許される範囲 \(-A \le x \le A\) の上端 \(x=-A\)（最も上方の端）で最大になります。これは台車が一瞬静止する位置で、ここで切れば最下点までの落下距離（高さの差）が最大になるからです。
\(t=0\) でも \(x=-A\) ですが、\(t>0\) で再び \(x=-A\) になるのは \(\cos(\omega t)=1\)、すなわち \(\omega t = 2\pi\)。よって最も早い切断時刻は：
$$ t = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}\sqrt{k/m}} = 4\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \;\left(= T\right) $$このとき切断時の速さは \(0\)、最下点までの斜面方向の距離は \(L+A = L + \dfrac{2mg}{k}\)。最下点の速さ \(V\) は \(V^2 = g(L+A)\) より：
$$ V = \sqrt{g\left(L + \frac{2mg}{k}\right)} = \sqrt{gL + \frac{2mg^2}{k}} $$最下点速さの2乗を切断位置 \(x\) の関数として \(f(x) = \dfrac{k}{4m}(A^2 - x^2) + g(L - x)\) とおく。これを \(x\) で微分すると：
$$ \frac{df}{dx} = -\frac{k}{2m}x - g $$\(\dfrac{df}{dx}=0\) より \(x = -\dfrac{2mg}{k} = -A\)。2階微分は \(-\dfrac{k}{2m}<0\) なので \(x=-A\) で極大。許される範囲 \([-A,\,A]\) の左端と一致するため、最上端で最大となる。物理的には、最も高い位置（位置エネルギー最大、運動エネルギーは0）で切断すると、最下点までに使える力学的エネルギーが最大になる、という意味。
糸切断後は重力だけが残り、加速度 \(\dfrac{g}{2}\) の等加速度運動。最下点速さを最大化するのは「最も高い位置（単振動の上端）で切る」こと。エネルギー保存で考えると見通しよく、\(t>0\) 最初の上端到達は1周期後の \(4\pi\sqrt{m/k}\)。