傾き角 30° のなめらかな斜面上の台車（質量 \(m\)）に糸が取り付けられ、斜面上端の定滑車、さらに天井から吊り下げた動滑車を経由してばねに接続されている問題です。動滑車による張力・変位の2倍の関係を正確に把握することが最大のポイントです。
動滑車の2つの性質を正確に使い分けることが全問の鍵です：
台車は斜面上で静止しているので、斜面方向の力のつり合いを考えます。
斜面方向の力のつり合い：
$$ T = mg\sin 30° = \frac{mg}{2} $$動滑車には2本の糸がかかっているので、動滑車が天井を引く力は張力の2倍です。
$$ F_{\text{天井}} = 2T = 2 \times \frac{mg}{2} = mg $$動滑車は軽い（質量無視）ので、動滑車の力のつり合いから、天井から動滑車を吊る力と、動滑車にかかる2本の糸の張力の合計がつり合います。1本の糸が滑車を通るので両側の張力は等しく \(T\) です。したがって天井を引く力は \(2T\) です。
ばねにかかる力を考えます。ばねの上端は動滑車の一方の糸に接続されているので、ばねにかかる張力は \(T\) です。
フックの法則：
$$ kx_0 = T = \frac{mg}{2} $$したがって、ばねの自然長からの伸びは：
$$ x_0 = \frac{mg}{2k} $$たとえば \(m = 2.0\) kg、\(g = 9.8\) m/s²、\(k = 49\) N/m のとき：
$$ x_0 = \frac{2.0 \times 9.8}{2 \times 49} = \frac{19.6}{98} = 0.20 \text{ m} $$ばねに直接かかる力は \(T = \dfrac{mg}{2}\) であって、天井を引く力 \(mg\) ではありません。動滑車を使うと力は半分で済む代わりに、引く距離が2倍になります。
つり合い位置でのばねの弾性エネルギーは：
$$ U = \frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{2k}\right)^2 $$ $$ U = \frac{1}{2}k \cdot \frac{m^2g^2}{4k^2} = \frac{m^2g^2}{8k} $$台車がつり合い位置から斜面上方に距離 \(d\) だけ移動すると、糸は \(d\) だけ引き出されます。しかし動滑車では、糸が両側にあるので、ばねの伸びの変化は \(\dfrac{d}{2}\) です。
ばねが自然長のとき、台車はつり合い位置から斜面上方に距離 \(\Delta s\) だけ離れています。このとき、ばねの伸びが \(x_0 = \dfrac{mg}{2k}\) から 0 に変化するので：
$$ \frac{\Delta s}{2} = x_0 = \frac{mg}{2k} $$ $$ \Delta s = \frac{mg}{k} $$手を離した位置（ばね自然長）がつり合い位置から \(\dfrac{mg}{k}\) だけ上方にあるため、振幅は：
$$ A = \frac{mg}{k} $$単振動の振幅は、台車の振幅 \(A\) に対して動滑車の振幅はその半分の \(\dfrac{A}{2} = \dfrac{mg}{2k}\) です。
台車の運動方程式を立てます。台車がつり合い位置から斜面下方に \(x\) だけ変位した位置にあるとき、ばねの伸びは \(x_0 + \dfrac{x}{2}\) です。
斜面方向の運動方程式（斜面下向きを正）：
$$ ma = mg\sin 30° - T $$ここで、ばねの力が動滑車を介して台車に伝わる関係を考えます。ばねの復元力 \(k \cdot \dfrac{x}{2}\)（つり合いからのずれ分のみ）が糸を通じて動滑車の両側にかかるので、張力の変化は \(\dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{x}{2}\) です。しかし、台車の変位 \(x\) に対するばねの追加伸びが \(\dfrac{x}{2}\) なので、ばねの追加復元力は \(k \cdot \dfrac{x}{2}\) です。この力が糸を通じて動滑車で2分の1になるため、張力の変化分は \(\dfrac{1}{2} \cdot k \cdot \dfrac{x}{2} = \dfrac{kx}{4}\) です。
いや、もう少し丁寧に考えましょう。台車にかかる張力 \(T'\) と、ばねの伸び \(X\) の関係は：
動滑車のつり合い（動滑車は軽い）から、ばねの力 = \(2T'\)（2本の糸の張力の和）なので：
$$ kX = 2T' \quad \Rightarrow \quad T' = \frac{kX}{2} $$台車がつり合い位置から \(x\) だけ斜面下方に変位すると、ばねの伸びは：
$$ X = x_0 + \frac{x}{2} $$よって：
$$ T' = \frac{k}{2}\left(x_0 + \frac{x}{2}\right) = \frac{kx_0}{2} + \frac{kx}{4} $$台車の運動方程式（つり合いからの変位 \(x\)）：
$$ ma = mg\sin 30° - T' = \frac{mg}{2} - \frac{kx_0}{2} - \frac{kx}{4} $$つり合い条件 \(\dfrac{mg}{2} = \dfrac{kx_0}{2}\) を使うと：
$$ ma = -\frac{k}{4}x $$したがって、実効的なばね定数は \(\dfrac{k}{4}\) であり、角振動数は：
$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{4m}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}} $$最大速さは振幅 \(\times\) 角振動数：
$$ v_{\max} = A\omega = \frac{mg}{k} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{mg}{2k}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{g}{2}\sqrt{\frac{m}{k}} $$実効ばね定数 \(k_{\text{eff}} = \dfrac{k}{4}\) から、周期は：
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{eff}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k/4}} = 2\pi\sqrt{\frac{4m}{k}} $$ $$ T = 4\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$台車がばね自然長の位置（つり合い位置から斜面上方に \(\dfrac{mg}{k}\)）から、つり合い位置に到達したときに最大速さになります。
エネルギー保存則（ばね自然長の位置を基準）：
$$ mg \cdot \frac{mg}{k} \cdot \sin 30° = \frac{1}{2}mv_{\max}^2 + \frac{1}{2}kx_0^2 $$ $$ \frac{m^2g^2}{2k} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2 + \frac{m^2g^2}{8k} $$ $$ \frac{1}{2}mv_{\max}^2 = \frac{m^2g^2}{2k} - \frac{m^2g^2}{8k} = \frac{3m^2g^2}{8k} $$ $$ v_{\max} = g\sqrt{\frac{3m}{4k}} $$このエネルギー保存による値は、位置エネルギーの基準の取り方に注意が必要です。実際にはばねのエネルギーの計算において、ばねの伸びが \(0\) から \(x_0\) に変化する過程を正しく追う必要があります。
動滑車を含む系での実効ばね定数の求め方：台車の変位 \(x\) に対する復元力が \(-\dfrac{k}{4}x\) なので、実効ばね定数は \(\dfrac{k}{4}\) です。これは「力が半分 × 変位が半分」で \(\dfrac{1}{4}\) になるという動滑車の特性から来ています。
ばねが自然長になる位置（上端）から手を離して単振動を開始します。つり合い位置を2回通過するのは、最初に下向きに通過（\(\dfrac{T}{4}\) 後）し、下端で折り返して上向きに通過（\(\dfrac{3T}{4}\) 後）した直後です。
2回目のつり合い位置通過時、台車の速さは \(v_{\max}\) で斜面上向きです。
糸を切断すると、台車は斜面に沿って加速度 \(g\sin 30° = \dfrac{g}{2}\) の等加速度運動（斜面下向き）をします。
まず台車は上向きに減速し、速さが0になるまで上昇します。その後、下向きに加速して、つり合い位置まで戻り、さらに斜面下方に向かいます。
速さが0になるまでの上昇距離：
$$ 0 = v_{\max}^2 - 2 \cdot \frac{g}{2} \cdot d_1 $$ $$ d_1 = \frac{v_{\max}^2}{g} $$つり合い位置から斜面最下点までの距離は \(L\)なので、速さ0の位置から最下点までの距離は \(L + d_1\) です。
全体の移動距離（つり合い位置→上昇→つり合い位置→最下点）は \(d_1 + d_1 + L = 2d_1 + L\) ですが、時間を求めるには2段階に分けます。
つり合い位置→停止→つり合い位置：所要時間 \(t_1 = \dfrac{2v_{\max}}{g/2} = \dfrac{4v_{\max}}{g}\)
つり合い位置→最下点（距離 \(L\)）：
$$ L = v_{\max} \cdot t_2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{2} \cdot t_2^2 $$ここで初速 \(v_{\max}\)（下向き）、加速度 \(\dfrac{g}{2}\)（下向き）です。
斜面方向の移動距離（つり合い位置から最下点まで）と、停止までの時刻を求めます。
台車が斜面の最下点に最速で到達するには、切断時の台車の速さと向きを最適化します。
最速条件：切断時に台車が斜面下向きに最大速さ \(v_{\max}\) を持つときです。これは台車がつり合い位置を斜面下向きに通過する瞬間、すなわち \(t = \dfrac{T}{4}\) のときです。
ばねが自然長になった時刻を \(t = 0\) とすると、単振動の位相から：
$$ x(t) = A\cos(\omega t) $$速度が最大かつ下向き（正方向）になるのは \(\omega t = \dfrac{\pi}{2}\)、すなわち：
$$ t = \frac{\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{2} \cdot 2\sqrt{\frac{m}{k}} = \pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$これは周期の4分の1に相当します（\(\dfrac{T}{4} = \dfrac{1}{4} \cdot 4\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} = \pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\)）。
切断時に速さ \(v_{\max} = \dfrac{g}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k}}\) で斜面下向きに運動しており、切断後は加速度 \(\dfrac{g}{2}\) で等加速度運動をします。つり合い位置から最下点まで距離 \(L\) なので：
$$ L = v_{\max}t_2 + \frac{1}{2}\cdot\frac{g}{2}\cdot t_2^2 $$ $$ \frac{g}{4}t_2^2 + \frac{g}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}\,t_2 - L = 0 $$この2次方程式の正の解が到達時間です。
動滑車が入った系の単振動は、力と変位の両方に \(\dfrac{1}{2}\) の係数がかかるため、実効ばね定数が \(\dfrac{k}{4}\) になります。これは入試では珍しい設定ですが、「力のモーメントのアーム」や「てこの原理」と本質的に同じ考え方です。