この問題は以下の段階で構成されています。
楕円軌道の問題では、エネルギー保存と角運動量保存（ケプラーの第2法則）を連立させて2つの未知数（遠地点の速さと距離）を求めるのが定石です。
半径 \(R\) の円軌道上を速さ \(V_1\) で等速円運動するとき、万有引力が向心力となります：
$$ G\frac{Mm}{R^2} = \frac{mV_1^2}{R} $$ $$ V_1^2 = \frac{GM}{R} $$ $$ V_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} $$円軌道の力学的エネルギーは \(E = -\dfrac{GMm}{2R}\) です。
これは \(E = \dfrac{1}{2}mV_1^2 - \dfrac{GMm}{R} = \dfrac{GMm}{2R} - \dfrac{GMm}{R} = -\dfrac{GMm}{2R}\) で確認できます。
\(V_1 = \sqrt{GM/R}\) は第一宇宙速度の一般形です。\(R\) が大きいほど速さは小さくなります。
探査機が惑星の周りの楕円軌道（円軌道ではない）を描くには、点Aでの速さ \(V_1'\) は：
脱出速度との関係：
$$ V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2} \cdot V_1 $$したがって楕円軌道の条件は：
$$ V_1 < V_1' < \sqrt{2}\,V_1 $$\(V_1'\) はある値 \(V_1\) より大きく（\(V_1' > V_1\)）なければならない。
また、無限遠に飛び去らないためには \(V_1' < \sqrt{2}\,V_1\)。
\(V_1\) を \(G, M, R\) で表すと：\(V_1' > \sqrt{\dfrac{GM}{R}}\)、かつ \(V_1' < \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}\)
楕円軌道（束縛軌道）の条件は、全力学的エネルギーが負であること：
$$ E = \frac{1}{2}m{V_1'}^2 - \frac{GMm}{R} < 0 $$ $$ {V_1'}^2 < \frac{2GM}{R} \quad \Rightarrow \quad V_1' < \sqrt{\frac{2GM}{R}} $$一方、円軌道より膨らむためには \(V_1' > V_1 = \sqrt{GM/R}\) が必要です。
脱出速度は円軌道速度の \(\sqrt{2}\) 倍です。\(V_1 < V_1' < \sqrt{2}\,V_1\) の範囲で楕円軌道となります。
ケプラーの第2法則は角運動量保存と等価です。点Aと点Bでは速度と位置ベクトルが直交するため：
$$ R \cdot V_1' = R' \cdot V_1' $$正確に書くと、点Aでは距離 \(R\)、速さ \(V_1'\)、点Bでは距離 \(R'\)、速さ \(V_B\) として：
$$ R \cdot V_1' = R' \cdot V_B $$これを \(R\) と \(V_1'\) で表すと：
（点Aと点Bで面積速度が等しい）
万有引力は中心力なので、惑星中心まわりのトルクはゼロです：
$$ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0 \quad (\vec{F} \parallel \vec{r}) $$よって角運動量 \(L = m r v_\perp\) が保存されます。楕円の近点・遠点では速度が接線方向なので \(v_\perp = v\) となり、\(L = mRV_1' = mR'V_B\)。
楕円軌道の近点と遠点では、速度ベクトルが位置ベクトルに垂直なので、角運動量保存が \(rv = \text{const}\) の簡潔な形になります。
力学的エネルギー保存（AとBの間）：
$$ \frac{1}{2}m{V_1'}^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}m V_B^2 - \frac{GMm}{R'} $$角運動量保存（問3より）：
$$ R V_1' = R' V_B \quad \Rightarrow \quad V_B = \frac{R V_1'}{R'} $$エネルギー保存に代入します：
$$ \frac{1}{2}{V_1'}^2 - \frac{GM}{R} = \frac{1}{2}\left(\frac{R V_1'}{R'}\right)^2 - \frac{GM}{R'} $$ $$ \frac{1}{2}{V_1'}^2 - \frac{GM}{R} = \frac{R^2 {V_1'}^2}{2{R'}^2} - \frac{GM}{R'} $$整理すると（\(\dfrac{1}{R'}\) について解く）：
$$ \frac{1}{2}{V_1'}^2\left(1 - \frac{R^2}{{R'}^2}\right) = \frac{GM}{R} - \frac{GM}{R'} = GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R'}\right) $$ $$ \frac{1}{2}{V_1'}^2 \cdot \frac{(R' - R)(R' + R)}{{R'}^2} = GM \cdot \frac{R' - R}{R \cdot R'} $$\(R' \neq R\) なので両辺を \(R' - R\) で割ると：
$$ \frac{{V_1'}^2(R' + R)}{2{R'}^2} = \frac{GM}{R \cdot R'} $$ $$ \frac{{V_1'}^2 R(R' + R)}{2R'} = GM $$これと \(V_1^2 = GM/R\) を使って：
$$ R' = \frac{R{V_1'}^2}{2GM - R{V_1'}^2} \cdot R = \frac{{V_1'}^2 R^2}{2V_1^2 R - {V_1'}^2 R} = \frac{{V_1'}^2 R}{2V_1^2 - {V_1'}^2} $$そして \(V_B\)：
$$ V_B = \frac{RV_1'}{R'} = \frac{RV_1'(2V_1^2 - {V_1'}^2)}{{V_1'}^2 R} = \frac{2V_1^2 - {V_1'}^2}{V_1'} $$（\(G, M, V_1, R\) で表現）
エネルギー保存と角運動量保存を \(r\) について整理すると、\(r = R\) と \(r = R'\) が2次方程式の2解になります。
角運動量 \(L = mRV_1'\)、エネルギー \(E = \dfrac{1}{2}m{V_1'}^2 - \dfrac{GMm}{R}\) として、
$$ E = \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r} $$これを整理すると \(r\) の2次方程式になり、\(R \cdot R' = -\dfrac{L^2}{2mE}\) が得られます。
\(V_1' \to \sqrt{2}\,V_1\) のとき \(R' \to \infty\)（放物線軌道）、\(V_1' = V_1\) のとき \(R' = R\)（円軌道）となり、物理的に矛盾がないことを確認しましょう。
問題文から、探査機は質量体 \(m_1\) を打ち出し、質量 \(m - m_1\) で半径 \(R\) の円軌道を周回します。この軌道が静止衛星軌道です。
円軌道の速さは質量によらず：
$$ V_s = \sqrt{\frac{GM}{R}} = V_1 $$（\(G, M, R\) を用いて表す）
静止衛星軌道上を運動する探査機（惑星上から見て静止）の軌道速さは、惑星の質量と軌道半径だけで決まります。探査機の質量には依存しません。これは万有引力の式 \(F = GMm/R^2\) と向心力 \(F = mv^2/R\) の両方に \(m\) が含まれ、約分されるためです。
円軌道の速さは衛星の質量に依存しません。これが万有引力の「等価原理」に関連する重要な性質です。
半径 \(R\) の円軌道の周期は：
$$ T = \frac{2\pi R}{V_1} = \frac{2\pi R}{\sqrt{GM/R}} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}} $$静止衛星の周期 = 惑星の自転周期なので：
ケプラーの第3法則 \(T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}R^3\) を直接使えば同じ結果が得られます。
静止衛星は \(T = \text{自転周期}\) を満たす特定の軌道半径に存在します。地球では約 36,000 km の高度（半径約 42,000 km）です。
打ち出し前：全体の質量 \(m\)、速度 \(V_1'\)（\(V_1' < V_1\)、つまり Aで減速して静止軌道に入るシナリオ）。
実際に問題文を確認すると、探査機は速度 \(V_1'\) で円軌道上を運動しており、質量体 \(m_1\) を探査機進行方向に相対速度 \(u\) で打ち出して、残った探査機（質量 \(m - m_1\)）が円軌道（速さ \(V_1\)）に乗ります。
運動量保存則：
打ち出し前の全運動量 = 打ち出し後の運動量の和
$$ mV_1' = (m - m_1)V_s + m_1(V_s + u) $$ここで打ち出し後の質量体の速さは、探査機から見て相対速度 \(u\) で進行方向に打ち出されるので \(V_s + u\) ではなく... 問題文をもう一度確認します。
「探査機から見て相対的な速さ \(u\) で探査機進行方向に打ち出した」ので、惑星系での質量体の速度は打ち出し後の探査機の速度 + \(u\) です。
打ち出し後の探査機の速度を \(V_s = V_1\) とすると：
$$ mV_1' = (m - m_1)V_1 + m_1(V_1 + u) $$展開して整理：
$$ mV_1' = mV_1 - m_1 V_1 + m_1 V_1 + m_1 u = mV_1 + m_1 u $$ $$ m_1 u = m(V_1' - V_1) $$ここで \(V_1' > V_1\)（楕円軌道に入るためAで加速していたので）、待ってください。問題の流れを再確認します。
問題文では、探査機は最初に円軌道（速さ \(V_1\)）上にあり、点Aで加速して楕円軌道（速さ \(V_1'\)）に入ります。その後、静止衛星軌道に乗るために質量体を打ち出します。
実は問5以降は別の状況設定で、探査機が質量 \(m_1\) の質量体を打ち出して（速さ \(V_1'\) で進行方向に打ち出し）、質量 \(m - m_1\) の探査機が半径 \(R\) の円軌道（静止衛星）に残るという状況です。
$$ mV_1' = (m - m_1)V_1 + m_1(V_1 + u) $$ではなく、打ち出し後の探査機の速度が \(V_1\) になるように質量体を打ち出すのですが、実際の打ち出し方向が進行方向であることに注意します。
再整理：運動量保存
$$ m V_1 = (m - m_1)V_1 + m_1 v_1' $$ここで \(v_1'\) は質量体の惑星系での速度。相対速度 \(u = v_1' - V_1\)（探査機から見た質量体の速度）なので \(v_1' = V_1 + u\)。
しかし問5では探査機は静止衛星（\(V_s = V_1\)）になるので状況が異なります。
問題文に戻ると、質量体打ち出しの直前は円軌道上で速度 \(V_1\) でした（問8の文脈）。打ち出しで探査機が静止衛星に「なった」のではなく、既に円軌道上にいて質量体を打ち出す場面です。
運動量保存より：
$$u = \frac{m(V_1' - V_1)}{m_1}$$を \(G, M, m, m_1, V_1, R\) で表す。
打ち出し前後のエネルギー差は、質量体打ち出しに使われた内部エネルギー（推進剤のエネルギー等）に相当します。これが問9で問われます。
質量体打ち出しの問題では、運動量保存（外力なし or 短時間の打ち出し）を適用し、惑星系での速度と相対速度の関係を正確に区別することが重要です。
質量体の惑星系での速度 \(v_{\text{mass}}\) は打ち出し後の探査機の速度 \(V_s = V_1\) に相対速度 \(u\) を加えたもの：
$$ v_{\text{mass}} = V_1 + u $$脱出条件は：
$$ v_{\text{mass}} \geq v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2}\,V_1 $$問7の結果 \(u = \dfrac{m(V_1' - V_1)}{m_1}\) を使うと：
$$ V_1 + \frac{m(V_1' - V_1)}{m_1} \geq \sqrt{2}\,V_1 $$ $$ \frac{m(V_1' - V_1)}{m_1} \geq (\sqrt{2} - 1)V_1 $$ $$ m_1 \leq \frac{m(V_1' - V_1)}{(\sqrt{2} - 1)V_1} $$脱出できなくなる限界の \(m_0\) は等号のとき：
（\(G, M, m, m_1, V_1, R\) で表現。\(m_1 > m_0\) のとき質量体は脱出できない）
質量体が無限遠に到達するための条件は、力学的エネルギーが非負であること：
$$ \frac{1}{2}m_1 v_{\text{mass}}^2 - \frac{GMm_1}{R} \geq 0 $$ $$ v_{\text{mass}}^2 \geq \frac{2GM}{R} = 2V_1^2 $$これは \(v_{\text{mass}} \geq \sqrt{2}\,V_1\) と同じ条件です。
\(m_1\) が大きいほど \(u\) が小さくなり（同じ運動量変化を大きい質量に配分）、質量体の速度が小さくなります。\(m_1 = m_0\) でちょうど脱出速度に等しくなる限界値です。
打ち出し前の運動エネルギー：\(\dfrac{1}{2}m{V_1}^2\)（探査機全体が速さ \(V_1\)）
打ち出し後の運動エネルギー：
ここで \(V_s\) は打ち出し後の探査機の速度。\(\Delta E\) は打ち出し前後の運動エネルギーの差です。
問題文は \(\Delta E = C'(V_s - V_1)^2\) の形で表せるとしており、\(C'\) を \(m, m_1\) で表せと問うています。
打ち出し前後を一般的に考えます。質量 \(m\)、速度 \(V_1\) の探査機が、質量 \(m_1\) を相対速度 \(u\) で打ち出し：
$$ \Delta E = \frac{1}{2}(m - m_1)V_s^2 + \frac{1}{2}m_1(V_s + u)^2 - \frac{1}{2}mV_1^2 $$運動量保存 \(mV_1 = (m-m_1)V_s + m_1(V_s+u)\) より \(V_s = V_1 - \dfrac{m_1 u}{m}\)。
重心系で考えると、内部運動エネルギーの変化のみが \(\Delta E\) です：
$$ \Delta E = \frac{1}{2}\frac{m_1(m - m_1)}{m}u^2 $$ここで \(u = \dfrac{m(V_s - V_1)}{-m_1}\) ではなく... 運動量保存から
\(mV_1 = (m - m_1)V_s + m_1(V_s + u) = mV_s + m_1 u\)
\(\Rightarrow u = \dfrac{m(V_1 - V_s)}{m_1}\)
代入すると：
$$ \Delta E = \frac{1}{2}\frac{m_1(m-m_1)}{m} \cdot \frac{m^2(V_1 - V_s)^2}{m_1^2} = \frac{m(m - m_1)}{2m_1}(V_1 - V_s)^2 $$（\(\Delta E = C'(V_s - V_1)^2\) の形）
直接展開して確認します。\(V_s = V_1 - \dfrac{m_1 u}{m}\)、\(v' = V_s + u = V_1 + \dfrac{(m-m_1)u}{m}\) として：
$$ \Delta E = \frac{1}{2}(m-m_1)\left(V_1 - \frac{m_1 u}{m}\right)^2 + \frac{1}{2}m_1\left(V_1 + \frac{(m-m_1)u}{m}\right)^2 - \frac{1}{2}mV_1^2 $$展開すると交差項が打ち消し合い、\(\dfrac{m_1(m-m_1)}{2m}u^2\) が残ります。これは重心系での換算質量 \(\mu = \dfrac{m_1(m-m_1)}{m}\) を使った相対運動の運動エネルギーです。
打ち出しのエネルギーは「重心系での相対運動の運動エネルギー変化」に等しくなります。換算質量 \(\mu = m_1(m-m_1)/m\) が自然に現れるのが特徴です。