前期 大問３：熱力学（単原子分子理想気体の状態変化サイクル）

解法の指針

単原子分子理想気体1 mol に対して、4つの状態変化（A→B→C→D→A）を繰り返すサイクルを考えます。\(p\text{-}V\) 図上で各状態と過程を正確に把握することが重要です。

サイクルの構成

状態Aにおける圧力を \(p_A\)、体積を \(V_A\) とし、状態Bにおける圧力を \(p_B\)、体積を \(V_B\) とします。

全体を貫くポイント
・単原子分子理想気体：内部エネルギー \(U = \frac{3}{2}nRT\)、定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\)、定圧モル比熱 \(C_p = \frac{5}{2}R\)、比熱比 \(\gamma = \frac{5}{3}\)
・断熱変化では \((圧力) \times (体積)^{\gamma}\) の値が一定
・1 mol なので \(n = 1\)、状態方程式は \(pV = RT\)
Point

このサイクルは古典的な熱機関のサイクルの一種です。各過程で状態方程式・第一法則・断熱条件を適切に使い分ける力が問われます。

問1：状態Aの圧力と状態Bの圧力

直感的理解
状態方程式 \(pV = nRT\) から各状態の圧力を体積と温度（または他の状態量）で表します。

状態Aにおける気体の圧力を \(p_A\)、体積を \(V_A\) とし、状態Bにおける圧力を \(p_B\)、体積を \(V_B\) とします。

理想気体の状態方程式（1 mol）：

$$ p_A V_A = RT_A, \quad p_B V_B = RT_B $$

よって \(p_A\) を \(p_B\), \(V_A\), \(V_B\) で表すと、A→Bは等温変化なので \(T_A = T_B\)：

$$ p_A V_A = p_B V_B $$ $$ p_A = \frac{p_B V_B}{V_A} $$
答え： \(p_A = \dfrac{p_B V_B}{V_A}\)
Point

等温変化ではボイルの法則 \(pV = \text{const}\) が成り立ちます。

問2：状態Aと状態Bの温度

直感的理解
A→B が等温変化なので \(T_A = T_B\) です。状態方程式から温度を求めます。

A→B は等温変化なので \(T_A = T_B \equiv T\) です。

状態方程式から（1 mol）：

$$ T_A = \frac{p_A V_A}{R} $$

問1の結果 \(p_A = \frac{p_B V_B}{V_A}\) を代入すると：

$$ T_A = \frac{p_B V_B}{R} $$

同様に状態Bから直接：

$$ T_B = \frac{p_B V_B}{R} $$
答え： \(T_A = T_B = \dfrac{p_B V_B}{R}\)

問3：状態Cの温度

直感的理解
B→C は断熱変化です。断熱変化では \(TV^{\gamma-1} = \text{const}\) が成り立ちます。

B→C は断熱変化なので、ポアソンの関係式：

$$ T_B V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1} $$

単原子分子では \(\gamma = \frac{5}{3}\) なので \(\gamma - 1 = \frac{2}{3}\)：

$$ T_C = T_B \left(\frac{V_B}{V_C}\right)^{2/3} $$

状態Bの温度 \(T_B = \frac{p_B V_B}{R}\) を代入すると：

$$ T_C = \frac{p_B V_B}{R}\left(\frac{V_B}{V_C}\right)^{2/3} $$
答え： \(T_C = T_B \left(\dfrac{V_B}{V_C}\right)^{2/3} = \dfrac{p_B V_B}{R}\left(\dfrac{V_B}{V_C}\right)^{2/3}\)
別解：\(pV^{\gamma}\) の関係を使う

断熱変化のもう一つの表現 \(pV^{\gamma} = \text{const}\) を使うこともできます：

$$ p_B V_B^{5/3} = p_C V_C^{5/3} $$ $$ p_C = p_B \left(\frac{V_B}{V_C}\right)^{5/3} $$

これを状態方程式に代入して \(T_C = p_C V_C / R\) を求めても同じ結果が得られます：

$$ T_C = \frac{p_B}{R}\left(\frac{V_B}{V_C}\right)^{5/3} V_C = \frac{p_B V_B}{R}\left(\frac{V_B}{V_C}\right)^{2/3} $$
Point

断熱変化の関係式には3つの表現があります：\(TV^{\gamma-1}\)、\(pV^{\gamma}\)、\(T^{\gamma}p^{1-\gamma}\) のいずれも定数。問題の条件（どの量が与えられているか）に応じて使い分けましょう。

問4：状態Dの温度

直感的理解
C→D は定圧変化で \(p_C = p_D\)、D→A は定積変化で \(V_D = V_A\) です。この2つの条件から状態Dが完全に決まります。

C→D は定圧変化なので \(p_D = p_C\) です。D→A は定積変化なので \(V_D = V_A\) です。

問題文では状態Dの温度 \(T_D\) を \(p, V_A, V_B, V_C\) のうち必要な記号で表すことが求められています。

状態Dの状態方程式：

$$ T_D = \frac{p_D V_D}{R} = \frac{p_C V_A}{R} $$

ここで \(p_C\) は断熱変化の結果から：

$$ p_C = p_B \left(\frac{V_B}{V_C}\right)^{5/3} $$

したがって：

$$ T_D = \frac{p_B V_A}{R}\left(\frac{V_B}{V_C}\right)^{5/3} $$

問題文の指定する形式（\(X\) と \(Y\)）として \(T_D = XT_A + YT_C\) の形にするなら：

状態方程式から：

$$ T_D = \frac{p_C V_A}{R} $$

\(p_C = \frac{RT_C}{V_C}\) を代入：

$$ T_D = \frac{T_C V_A}{V_C} $$
答え： \(T_D = \dfrac{V_A}{V_C} T_C\)
あるいは \(T_D = \dfrac{p_B V_A}{R}\left(\dfrac{V_B}{V_C}\right)^{5/3}\)
Point

定圧変化では \(V/T = \text{const}\)（シャルルの法則）、定積変化では \(p/T = \text{const}\) が成り立ちます。これらの関係を組み合わせて未知の状態量を求めます。

問5：D→Aで放出する熱量

直感的理解
D→A は定積変化なので、仕事は0で、熱の出入りは内部エネルギーの変化に等しくなります。

D→A は定積変化（\(V_D = V_A\)）なので、気体がする仕事は \(W = 0\) です。

熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W\) より：

$$ Q_{D \to A} = \Delta U = \frac{3}{2}R(T_A - T_D) $$

問題文では「状態Dから状態Aに戻る際に気体が放出した熱量 \(Q_2\)」を求めています。D→Aでは温度が上昇（\(T_D < T_A\)、なぜなら \(p_D < p_A\) で定積のため）するので、気体は熱を吸収します。

しかし問題の設定を確認すると、D→A は定積変化で圧力が増加する過程（\(p_D \to p_A\)、\(p_A > p_D\)）なので温度も上昇し、気体は熱を吸収します。

問題文の表現を \(Q_2 = \alpha Q_1 + \beta T\) の形で求めるなら：

$$ Q_{D \to A} = \frac{3}{2}R(T_A - T_D) $$

ここで \(T_A = \frac{p_B V_B}{R}\) なので：

$$ Q_{D \to A} = \frac{3}{2}(p_B V_B - RT_D) = \frac{3}{2}(p_B V_B - p_C V_A) $$
答え： \(Q_{D \to A} = \dfrac{3}{2}R(T_A - T_D)\)
気体が吸収する熱量（\(T_A > T_D\) のとき正）
補足：サイクル全体のエネルギー収支

サイクル1周で内部エネルギーは元に戻るので \(\Delta U_{\text{cycle}} = 0\) です。したがって：

$$ Q_{\text{total}} = W_{\text{total}} $$

各過程の仕事：

  • A→B（等温）：\(W_{AB} = RT_A \ln\frac{V_B}{V_A}\)
  • B→C（断熱）：\(W_{BC} = -\frac{3}{2}R(T_C - T_B) = \frac{3}{2}R(T_B - T_C)\)
  • C→D（定圧）：\(W_{CD} = p_C(V_D - V_C) = p_C(V_A - V_C)\)（圧縮なので負）
  • D→A（定積）：\(W_{DA} = 0\)

これらの合計がサイクルの正味仕事（\(p\text{-}V\) 図の囲む面積）になります。

Point

定積変化では \(W = 0\) なので \(Q = \Delta U = nC_V \Delta T\) です。単原子分子では \(C_V = \frac{3}{2}R\) を使います。

問6：状態Dの温度（\(T_A\), \(T_B\), \(T_C\) で表す）

直感的理解
状態Dは、定圧変化（C→D）と定積変化（D→A）の交点です。各条件から \(T_D\) を他の状態量で表します。

C→D は定圧変化なので、シャルルの法則：

$$ \frac{V_C}{T_C} = \frac{V_D}{T_D} = \frac{V_A}{T_D} $$ $$ T_D = T_C \cdot \frac{V_A}{V_C} $$

D→A は定積変化（\(V_D = V_A\)）なので：

$$ \frac{p_D}{T_D} = \frac{p_A}{T_A} $$

また \(p_D = p_C\)（定圧変化）で、\(p_A = \frac{p_B V_B}{V_A}\)（問1）なので：

$$ T_D = \frac{p_C V_A}{p_A} T_A = \frac{p_C V_A}{\frac{p_B V_B}{V_A}} T_A = \frac{p_C V_A^2}{p_B V_B} T_A $$

\(p_C = \frac{RT_C}{V_C}\) と \(p_B = \frac{RT_B}{V_B}\) を代入：

$$ T_D = \frac{\frac{T_C}{V_C} \cdot V_A^2}{\frac{T_B}{V_B} \cdot V_B} T_A = \frac{T_C V_A^2}{V_C T_B} \cdot T_A \cdot \frac{V_B}{V_B} $$

より直接的に、\(T_D = T_C \cdot \frac{V_A}{V_C}\) と表せます。ここで \(V_A/V_C\) を \(T_A, T_B, T_C\) で書き換えたいのですが、

A→B等温：\(p_A V_A = p_B V_B\) で \(T_A = T_B\)

B→C断熱：\(T_B V_B^{2/3} = T_C V_C^{2/3}\) つまり \(\frac{V_B}{V_C} = \left(\frac{T_C}{T_B}\right)^{3/2}\)

A→B等温：\(\frac{V_A}{V_B} = \frac{p_B}{p_A}\) なので \(V_A = V_B \cdot \frac{p_B}{p_A}\)。ただし \(p_A, p_B\) を温度だけで書くのは困難（\(p\) と \(V\) が独立変数）。

結論として、\(T_D = T_C \cdot \frac{V_A}{V_C}\) が最も簡潔な表現であり、\(V_A/V_C\) は一般には温度だけでは書けません（体積の情報が必要）。

答え： \(T_D = \dfrac{V_A}{V_C}\,T_C\)
別解：状態方程式の比を使う

状態Cと状態Dの状態方程式を比較します（定圧変化 \(p_C = p_D\)）：

$$ p_C V_C = RT_C, \quad p_C V_A = RT_D $$

辺々割ると：

$$ \frac{V_A}{V_C} = \frac{T_D}{T_C} $$ $$ T_D = \frac{V_A}{V_C} T_C $$

これは定圧変化のシャルルの法則そのものです。

Point

サイクル問題では、各過程の特性（等温・断熱・定圧・定積）を正しく適用し、状態量を順に求めていくことが大切です。特に断熱変化の指数関係は計算ミスしやすいので注意しましょう。