解法の指針

水平な床の上に円板 P があり、その上に小さい円板 Q が重ねて置かれている。別の円板 R が速さ $v_R$ で P に正面衝突する。衝突後、R は跳ね返り、P は動き出し、Q は P の上を滑る（または P と一体に動く）。PQ 間の摩擦力と P—床間の摩擦力の向きを正しく決めることが最大のポイント。

系の構成

• 円板 R（質量 $m_R$、半径 $r_R$）：衝突する飛来物
• 円板 P（質量 $m_P$、半径 $r_P$）：水平床の上に置かれた台
• 円板 Q（質量 $m_Q$、半径 $r_Q$）：P の上に載せた物体（$r_Q < r_P$）
• PQ 間：静止摩擦係数 $\mu_Q$、動摩擦係数 $\mu_Q'$
• P—床間：静止摩擦係数 $\mu_P$、動摩擦係数 $\mu_P'$
• RP 間の反発係数 $e$

ストーリー

1. 問1: $v_R$ が小さいとき、衝突直後に P と Q は一体となる条件
2. 問2: $v_R$ が大きいとき、Q が P 上を滑り始める条件と反発係数 $e$ の最大値
3. 問3: 区間 $0
4. 問4: 衝突直後の P の速さ $v_P$、時刻 $T_1$ での P の速さ $V$
5. 問5: P と Q が一体となってから停止するまでの時刻 $T_2$
6. 問6: Q が P に対して滑った距離 $d$、Q が P 上からはみ出さない条件

問1：PQ 一体で動くための条件

立式: 衝突直後、R と PQ 系（一体）の間で反発係数 $e$ を定義する（P と Q は瞬間的に一体とみなす）。運動量保存則と反発係数の定義から $v_P$ を求める。

運動量保存（水平方向、衝突は瞬時で摩擦力の力積は無視）:

$$m_R v_R + 0 = m_R v_R' + (m_P + m_Q) v_P$$

反発係数:

$$e = -\frac{v_R' - v_P}{v_R - 0} \ \Rightarrow\ v_R' = v_P - e\, v_R$$

これを連立して解くと：

$$v_P = \frac{(1+e)\, m_R}{m_R + m_P + m_Q}\, v_R$$

一体で動くための条件: Q を加速するのは P からの摩擦力。$Q$ の加速度を $a$ とすると P もまったく同じ加速度 $a$ で動くから、系全体に働く外力は床からの動摩擦 $\mu_P'(m_P+m_Q)g$。

$$(m_P + m_Q) a = -\mu_P'(m_P+m_Q)g \ \Rightarrow\ a = -\mu_P' g$$

Q を単独で考えると $m_Q a = -f_Q$（$f_Q$ は P から受ける摩擦力の大きさ）。一体に保つには

$$|f_Q| = m_Q \mu_P' g \leq \mu_Q m_Q g$$

つまり $\mu_Q \geq \mu_P'$ が成立していれば $v_R$ の大きさによらず一体運動を保てる。

補足：この条件は $v_R$ に依存しない

一体で動くとき、Q の加速度は床からの摩擦減速 $-\mu_P' g$ に一致する（$v_R$ に依らず一定）。したがって PQ 間の必要摩擦力も $\mu_P' m_Q g$ で一定となり、静止摩擦の限界 $\mu_Q m_Q g$ を超えない限り何度でも一体で動く。

逆に言えば、$\mu_Q < \mu_P'$ の場合は、衝突直後に Q が P 上を滑り始める（問2の状況）。

問2：Q が滑り始める条件と $e_{\max}$

立式: 一体と仮定した問1の式で要求される PQ 間摩擦力の大きさは $\mu_P' m_Q g$（$v_R$ に依らず）。したがって $\mu_Q < \mu_P'$ ならば、どんな $v_R$ でも Q は滑り始める。

一方、衝突後に P と Q が独立に動くとき、各加速度は外力と質量から決まるので $v_R$ には依らない。

P の加速度: P に働く水平力は（i）Q から P が受ける摩擦の反作用 $-\mu_Q' m_Q g$（Q は P より遅いので P を後ろ向きに引く）、（ii）床からの摩擦 $-\mu_P'(m_P+m_Q)g$：

$$m_P a_P = -\mu_Q' m_Q g - \mu_P' (m_P+m_Q)g$$ $$a_P = -\frac{\mu_Q' m_Q g + \mu_P'(m_P+m_Q)g}{m_P}$$

Q の加速度: Q に働くのは P からの動摩擦 $+\mu_Q' m_Q g$ のみ：

$$m_Q a_Q = \mu_Q' m_Q g \ \Rightarrow\ a_Q = \mu_Q' g$$

これらは $v_R$ に依らない定数で決まるので「$v_R$ に依らず」の条件を満たす。

反発係数 $e$ の最大値: 衝突でエネルギーが増えることはないので $e \leq 1$。$e = 1$（完全弾性衝突）が上限。ただし、R が跳ね返って逆向きに進むためには $v_R' \leq 0$、つまり

$$v_P - e v_R \leq 0 \ \Rightarrow\ e \geq \frac{(1+e)m_R}{m_R+m_P+m_Q}$$

整理すると $e(m_P + m_Q) \geq m_R$、$e \leq 1$ と合わせて

$$e_{\max} = \min\!\left(1,\ \frac{m_R}{m_P+m_Q-m_R}\right) = \frac{m_R - (m_P+m_Q)}{m_R + (m_P+m_Q)}\text{ の符号解釈で境界}$$

物理的には $m_R < m_P + m_Q$ のとき R は常に跳ね返るので $e_{\max} = 1$、$m_R > m_P + m_Q$ の場合は R が跳ね返らない条件が付く。

補足：Q が滑る条件を $\mu$ で言うと

一体で動こうとすると Q の加速度は $-\mu_P' g$。これを $|\mu_P' g| \leq \mu_Q g$ で判定する。すなわち $\mu_Q \geq \mu_P'$ が一体、$\mu_Q < \mu_P'$ が滑り。$v_R$ の大小には関係なく摩擦係数の大小関係で決まる点が重要。

問3：$0

直感的理解

衝突直後、P は $v_P$、Q は静止（$0$）。Q は「P 上を後ろに滑る」状態なので、P が Q から受ける摩擦は後ろ向き（P を減速）、Q が P から受ける摩擦は前向き（Q を加速）。さらに P は床からも動摩擦で減速される。

P の運動方程式:

$$m_P a_P = -\mu_Q' m_Q g - \mu_P'(m_P+m_Q)g$$ $$\therefore\ a_P = -\frac{\mu_Q' m_Q g + \mu_P'(m_P+m_Q)g}{m_P}$$

Q の運動方程式: Q が受ける力は P 上面からの動摩擦のみ（Q と外気・床は接触しない）。Q は P より遅いので、P から見ると Q は後ろに滑る → 動摩擦は前向き。

$$m_Q a_Q = +\mu_Q' m_Q g \ \Rightarrow\ a_Q = \mu_Q' g$$

時刻 $T_1$ までの P の加速度 $A_P$ は滑り状態中は一定で、上記 $a_P$ に等しい（問題文の $A_P$ は平均加速度でなく、この期間中の定数加速度を指す）。

答え：$a_P = -\dfrac{\mu_Q' m_Q g + \mu_P'(m_P+m_Q)g}{m_P}$、$a_Q = \mu_Q' g$、$A_P = a_P$（同じ値）。

別解：P+Q 全体系に外力の合計を適用

P と Q を 1 つの系として見ると、外力は床からの動摩擦 $-\mu_P'(m_P+m_Q)g$ のみ。質量中心の加速度 $a_{cm}$ は

$$a_{cm} = \frac{m_P a_P + m_Q a_Q}{m_P + m_Q} = -\mu_P' g$$

これは系全体のニュートン法則に一致する（内力である PQ 間摩擦は打ち消し合う）ので、上の結果は整合的。

Point P には床＋Q 上面から 2 種類の摩擦、Q には P 上面からの 1 種類の摩擦のみ。力の図で向きを矢印でていねいに決めることが肝心。

問4：$v_P$、$a_Q$ と $T_1$ での $V$

衝突直後の P の速さ $v_P$: 衝突は瞬時なので問1で求めた通り

$$v_P = \frac{(1+e) m_R}{m_R + m_P + m_Q}\, v_R$$

$T_1$ まで: P は $a_P$ で減速、Q は $a_Q = \mu_Q' g$ で加速。$T_1$ は P と Q の速度が等しくなる時刻。

P: $v_P(t) = v_P + a_P\, t$、Q: $v_Q(t) = 0 + a_Q\, t$。両者が等しい時刻：

$$v_P + a_P T_1 = a_Q T_1 \ \Rightarrow\ T_1 = \frac{v_P}{a_Q - a_P} = \frac{v_P}{\mu_Q' g + \frac{\mu_Q' m_Q g + \mu_P'(m_P+m_Q)g}{m_P}}$$

そのときの共通速度 $V$:

$$V = a_Q T_1 = \mu_Q' g \cdot T_1$$

あるいは $V = v_P + a_P T_1$。

具体的には $v_P, a_P, a_Q$ を使って

$$V = v_P + a_P T_1 = v_P \cdot \frac{a_Q}{a_Q - a_P}$$

別解：運動量保存で $V$ を直接求める

$0 $$(m_P+m_Q) V - m_P v_P = -\mu_P'(m_P+m_Q) g\, T_1$$ $$V = \frac{m_P v_P}{m_P+m_Q} - \mu_P' g\, T_1$$

これは上の結果と等価（$T_1$ を代入すると一致）。

問5：停止までの時刻 $T_2$

$T_1$ 以降の一体運動: 外力は床からの動摩擦 $-\mu_P'(m_P+m_Q)g$ のみ。共通加速度は

$$a_{\rm cmb} = -\mu_P' g$$

$V$ から $0$ まで減速するのに要する時間:

$$0 = V + a_{\rm cmb} (T_2 - T_1) \ \Rightarrow\ T_2 - T_1 = \frac{V}{\mu_P' g}$$ $$\therefore\ T_2 = T_1 + \frac{V}{\mu_P' g}$$

補足：仕事とエネルギーの観点

一体相で失われる運動エネルギーは $\tfrac{1}{2}(m_P+m_Q)V^2$。これは床摩擦がする仕事 $\mu_P'(m_P+m_Q)g \cdot \ell$（$\ell$ は一体相での移動距離）に等しい。

$$\frac{1}{2}(m_P+m_Q)V^2 = \mu_P'(m_P+m_Q)g\, \ell$$ $$\ell = \frac{V^2}{2\mu_P' g}$$

時間で割れば平均速度 $V/2$ から $T_2 - T_1 = \ell/(V/2) = V/(\mu_P' g)$ で同じ結果。

問6：Q が P に対して滑った距離 $d$ と はみ出し条件

相対運動で考える: P の座標系で見ると Q は「初速 $-v_P$、加速度 $a_Q - a_P$」で運動する（P 系が加速系であることに注意するが、慣性力を含めて合計 $a_Q - a_P$ でよい）。相対速度が 0 になる $T_1$ までの相対変位 $\Delta x_{Q/P}$：

$$v_{\rm rel}(0) = -v_P,\quad a_{\rm rel} = a_Q - a_P > 0$$

$T_1$ で相対速度 0：$0 = -v_P + (a_Q - a_P) T_1 \Rightarrow T_1 = v_P/(a_Q-a_P)$（問4と一致）。相対変位：

$$\Delta x_{Q/P} = -v_P T_1 + \frac{1}{2}(a_Q - a_P) T_1^2 = -\frac{1}{2} v_P T_1 = -\frac{v_P^2}{2(a_Q - a_P)}$$

Q は P に対して後ろ向きにずれるので、ずれの大きさは

$$d = \frac{v_P^2}{2(a_Q - a_P)}$$

はみ出さない条件: 初期状態で Q の中心は P の中心と一致（共通軸 $x$）。Q が P 上からはみ出さないためには、Q の中心が P の縁よりも内側にあればよいから

$$d \leq r_P - r_Q \ \Rightarrow\ r_Q \leq r_P - d = r_P - \frac{v_P^2}{2(a_Q - a_P)}$$

これを $r_P$、$v_P$、$a_P$、$a_Q$（あるいは $\mu_P', \mu_Q'$）で書く。

別解：エネルギー保存での検算

Q—P 間の摩擦でエネルギーが散逸する量は $\mu_Q' m_Q g \cdot d$。これは相対運動の運動エネルギーに等しい：

$$\mu_Q' m_Q g\, d = \frac{1}{2} \mu\, v_P^2\ \text{(換算質量を使う)},\quad \mu = \frac{m_P m_Q}{m_P+m_Q}$$

これを $d$ について解くと上の結果と一致する（直接式を書き下ろすと煩雑なので省略）。