解法の指針

平凸レンズ（曲率半径 $R$）を平面ガラスの上に置くと、接触点 C を中心とした同心円状の明暗環「ニュートンリング」が観察される。これはレンズ底面と平面ガラス上面で反射した光が干渉するためで、空気層の厚さが場所によって異なることが鍵。

セットアップ

• 平凸レンズの球面の曲率半径 $R$。接触点 $C$ で球面と平面ガラスが接触している。
• 位置 $r$（接触点からの距離）での空気層の厚さを $d$ とする。
• レンズ上方から光（波長 $\lambda$、ほぼ垂直入射）を入射し、反射光を真上から観察する。
• レンズ底面（空気→ガラス）と平面ガラス上面（空気→ガラス）から反射される 2 光線の干渉を考える。

ストーリー

1. 問1: 位置 $r$ での空気層の厚さ $d$ を近似計算
2. 問2: 反射光の干渉条件（位相反転の有無）
3. 問3: $k$ 番目の明環・暗環の半径 $r_k$
4. 問4: 空気の代わりに液体（屈折率 $n_2$、$n_2 > n_1$）を挟んだ場合
5. 問5: 液体ケースでの $k$ 番目の明環半径
6. 問6: 単色光と白色光の違い（50字以内）
7. 問7: 白色光による色付きニュートンリング、明環の内側が何色か

問1：位置 $r$ での空気層の厚さ $d$

幾何学的考察: レンズ球面の曲率中心 $O$（レンズの上方、接触点 $C$ から距離 $R$）を頂点とする。位置 $r$（接触点からの水平距離）の点を A とすると、A は球面上なので $|OA| = R$。$O$ から下に $R - d$ 降りた位置から水平に $r$ だけ移動して A に到達：

$$R^2 = r^2 + (R - d)^2$$

展開すると：

$$R^2 = r^2 + R^2 - 2Rd + d^2$$ $$2Rd - d^2 = r^2$$

通常は $d \ll R$ なので $d^2$ は無視できる：

$$2Rd \approx r^2 \ \Rightarrow\ d \approx \frac{r^2}{2R}$$

補足：厳密解

近似せず厳密に解くと $d = R - \sqrt{R^2 - r^2}$。これをマクローリン展開すると

$$d = R - R\sqrt{1 - r^2/R^2} \approx R - R\left(1 - \frac{r^2}{2R^2}\right) = \frac{r^2}{2R}$$

$r/R \lesssim 0.1$ 程度なら誤差 1% 以内の近似。ニュートンリングの観察範囲（ミリスケール）ではほぼ正確。

問2・問3：干渉条件と明環の半径 $r_k$

干渉条件（反射光）: 2 つの反射光の光路差は $2d$（光が空気層を往復する距離）。ただし、ガラス上面反射で位相が $\pi$ 反転するため、見かけ上 $\lambda/2$ の余分な経路差がある。

明環（強め合う）の条件:

$$2d + \frac{\lambda}{2} = k\lambda \ \Rightarrow\ 2d = \left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda,\quad k = 1, 2, 3, \dots$$

暗環（弱め合う）の条件:

$$2d + \frac{\lambda}{2} = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda \ \Rightarrow\ 2d = k\lambda,\quad k = 0, 1, 2, \dots$$

中心 $r = 0$ では $d = 0$ で暗環（$k = 0$）に対応する。これが「中心が暗い」理由。

$k$ 番目の明環の半径: 問1 の $d = r^2/(2R)$ を明環条件に代入：

$$2 \cdot \frac{r_k^2}{2R} = \left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda$$ $$r_k^2 = \left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda R$$ $$\therefore\ r_k = \sqrt{\left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda R}$$

補足：透過光の場合

透過光で観察する場合は、反射が 1 回少ないため位相反転の効果が逆になり、中心が明るく、条件が反転する。

$$\text{透過光 明環: } 2d = k\lambda,\quad \text{透過光 暗環: } 2d = (k - 1/2)\lambda$$

実験的には反射光観察が一般的だが、反射光と透過光は常に補色関係になる。

問4・問5：空気の代わりに液体（屈折率 $n_2$）を挟んだ場合

光路差の再計算: 液体中を往復するので光路長は $n_2 \cdot 2d$。ただし位相反転は以下の 2 パターンで場合分け：

• ガラスレンズ（屈折率 $n_1$）→ 液体（$n_2$）の界面：$n_2 < n_1$ なら位相反転なし、$n_2 > n_1$ なら位相反転あり。
• 液体（$n_2$）→ 平面ガラス（$n_1$）の界面：同上の逆。

ガラスレンズ・平面ガラスの屈折率が同じで $n_1 > n_2$（典型的な液体）なら、空気の場合と同じく片方だけ位相反転。したがって干渉条件は光路長だけ変わる：

明環の条件（液体中）:

$$2 n_2 d = \left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda$$

$d = r_k'^2/(2R)$ を代入：

$$\frac{n_2 r_k'^2}{R} = \left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda$$ $$\therefore\ r_k' = \sqrt{\frac{(k - 1/2)\lambda R}{n_2}}$$

空気と比較すると半径が $1/\sqrt{n_2}$ 倍に縮む。

補足：n_2 > n_1 のとき（反射の位相反転が両界面）

液体の屈折率がレンズガラスより大きいと、レンズ底面で位相反転（ガラス→液体、大→小）、液体→平面ガラスでは位相反転なし——結局、片方だけ位相反転で同じ結果。

ただし、レンズと平面ガラスの屈折率が異なり、かつ液体がその間に位置する場合は、位相反転のパターンが変わり、明暗が反転することもある（問題文の $n_2 > n_1$ の意味を注意深く読む）。

問6・問7：白色光によるニュートンリング

問6 の答え（50字以内）:

より簡潔（50字）: 単色光は単一波長で鮮明な明暗、白色光は多波長を含み色ごとに半径が違い虹色に分かれる。

問7：明環の内側の色: 同じ干渉次数 $k$ の明環について、半径 $r_k \propto \sqrt{\lambda}$。したがって波長が小さい色（青・紫）ほど半径が小さく、明環の内側は青に、外側は赤に見える。

理由（数式で確認）:

$$r_k(\lambda) = \sqrt{(k - 1/2)\lambda R}$$ $$\frac{dr_k}{d\lambda} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{(k-1/2)R}{\lambda}} > 0$$

よって $\lambda$ が大きい（赤）と $r_k$ が大きい、$\lambda$ が小さい（青）と $r_k$ が小さい。同じ $k$ 番目の明環の「内側（半径が小さい側）」は短波長の色、すなわち青。

補足：暗環の外側は何色？

暗環の条件は $2d = k\lambda$。暗環の半径も $r_k^{(dark)} = \sqrt{k\lambda R}$ で波長依存性は同じ。したがって「明環と明環の間の暗環」の位置も色ごとにずれ、純粋な暗黒ではなく色が混ざる。

中心付近では $k = 1$ の明環が最もはっきり色づいて見え、外側に行くほど次数が上がるにつれて異なる $k$ の明環が重なって（赤い $k$ と青い $k+1$ が近くなり）、色が混ざって不鮮明になる。

まとめと関連現象

空気層の厚さと色の対応:

空気層 d	見え方
$d = 0$	暗い（位相反転のみで打ち消し）
$d = \lambda/4$	明るい（最初の明環）
$d = \lambda/2$	暗い（次の暗環）
$d = 3\lambda/4$	明るい

関連現象:

• シャボン玉の虹色：水の薄膜で光が干渉。重力で下が厚く、上が薄いので縞模様（ニュートンリング同様）。
• 油膜（水面の油）：油と水の界面、空気と油の界面で干渉。膜厚がわずかに違うため各色が異なる位置で強め合う。
• レンズのコーティング：屈折率を選んだ薄膜で反射光を打ち消し、透過率を上げる（反射防止コート）。干渉を逆手に取った応用。

具体的な数値計算

典型値での計算: 曲率半径 $R = 1.0$ m、波長 $\lambda = 589$ nm $= 5.89\times 10^{-7}$ m（ナトリウムランプ）。

明環の半径 $r_k$:

$$r_k = \sqrt{(k - 1/2) \lambda R}$$

• $k = 1$: $r_1 = \sqrt{0.5 \times 5.89\times 10^{-7} \times 1.0} = 5.43\times 10^{-4}$ m $= 0.54$ mm
• $k = 5$: $r_5 = \sqrt{4.5 \times 5.89\times 10^{-7}} = 1.63\times 10^{-3}$ m $= 1.63$ mm
• $k = 10$: $r_{10} = \sqrt{9.5 \times 5.89\times 10^{-7}} = 2.37\times 10^{-3}$ m $= 2.37$ mm
• $k = 50$: $r_{50} = \sqrt{49.5 \times 5.89\times 10^{-7}} = 5.40\times 10^{-3}$ m $= 5.40$ mm

空気層の厚さ $d_k$:

$$d_k = \frac{r_k^2}{2R} = \frac{(k - 1/2)\lambda}{2}$$

• $k = 1$: $d_1 = 0.25 \times 5.89\times 10^{-7} = 1.47\times 10^{-7}$ m $= 147$ nm（$\lambda/4$ 程度）
• $k = 10$: $d_{10} = 4.75 \times 5.89\times 10^{-7} = 2.80\times 10^{-6}$ m $= 2.80$ μm

隣接環の間隔: $r_{k+1} - r_k = \sqrt{(k+1/2)\lambda R} - \sqrt{(k-1/2)\lambda R} \approx \dfrac{\lambda R}{2 r_k}$（$k$ 大のとき）。

• $k = 10$ から $k = 11$: 間隔 $\approx \dfrac{5.89\times 10^{-7} \times 1.0}{2 \times 2.37\times 10^{-3}} = 1.24\times 10^{-4}$ m $= 0.12$ mm
• $k = 50$ から $k = 51$: 間隔 $\approx \dfrac{5.89\times 10^{-7}}{2 \times 5.40\times 10^{-3}} = 5.45\times 10^{-5}$ m $= 0.055$ mm

外側ほど環が込み合って見える。顕微鏡で観察するのが一般的。

液体 $n_2 = 1.33$（水）を挟んだ場合

半径は $1/\sqrt{n_2} = 1/\sqrt{1.33} \fallingdotseq 0.867$ 倍に縮む。

• $k = 1$: $r_1' = 0.54 \times 0.867 = 0.47$ mm
• $k = 10$: $r_{10}' = 2.37 \times 0.867 = 2.06$ mm

$n_2 = 1.50$（油）なら $1/\sqrt{1.50} \fallingdotseq 0.816$ 倍。