壁に固定された物体 A（$2m$）と物体 B（$m$）がばね定数 $k$ のばねでつながれた系に、物体 C（$m$）が速さ $v_0$ で衝突する問題です。前半は A が壁に固定された条件、後半は A が壁から離れて運動する系を扱います。
衝突の種類：問題文に「物体 C が物体 B に衝突した瞬間、物体 B と物体 C は一体となり」とある → 完全非弾性衝突。なお冒頭で「完全非弾性衝突」と明記されているが、ここで重要なのは衝突後の運動量保存のみ（弾性とかは関係ない）。
運動量保存則：衝突直前、C は右向きから左向きに速さ $v_0$（ここでは左向きを正とする）、B は静止。衝突後は B+C が一体（質量 $2m$）で共通速度 $v_1$。
$$\underbrace{m v_0 + m \cdot 0}_{\text{前}} = \underbrace{2m \cdot v_1}_{\text{後}}$$これを $v_1$ について解いて、
$$v_1 = \dfrac{v_0}{2}$$向きは C が運動してきた向き（左向き、ばねを圧縮する向き）。
衝突前の運動エネルギー $K_i = \dfrac{1}{2} m v_0^2$。衝突後 $K_f = \dfrac{1}{2}(2m)(v_0/2)^2 = \dfrac{1}{4} m v_0^2$。半分のエネルギーが失われた（摩擦熱・音・変形エネルギーなど）。これが完全非弾性衝突の特徴。
完全非弾性衝突：運動量のみ保存、運動エネルギーは失われる。2 物体が合体すると質量が増え、共通速度は「質量加重平均」。
立式：物体 D の位置を $x$（原点 O から右向きを正）、加速度を $a$ とする。ばねが自然長から $-x$（圧縮）または $+x$（伸長）したとき、D にはたらく復元力は $-kx$。摩擦力は無視できるので、
$$2m \cdot a = -kx \quad \text{または} \quad 2m \dfrac{d^2 x}{dt^2} = -kx$$単振動の周期：上の運動方程式から角振動数 $\omega$ と周期 $T$ は、
$$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{2m}}, \quad T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\dfrac{2m}{k}}$$動きの考察：D は原点 O を通過して左へ出発 → 最左端で一瞬止まる → 戻って原点 O を通過 → 最右端（ただし A との衝突や壁から離れる条件を考えないと到達しない場合も） → ...
衝突直後（原点 O、速度 $-v_0/2$）から再び原点 O に戻るまでは、半周期に相当する。つまり、
$$t_D = \dfrac{T}{2} = \pi \sqrt{\dfrac{2m}{k}}$$単振動の変位は $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ の形。$t = 0$ で $x = 0$、$\dot{x} < 0$（左向き）なので、$\phi = \pi$、$x(t) = -A \sin \omega t$。$x = 0$ になる次の時刻は $\omega t = \pi$、すなわち $t = \pi/\omega = \pi\sqrt{2m/k}$。この時刻 D は原点を通過して右向きに動く（速度 $+v_0/2$）。
半周期後に原点を通過するのは、単振動が「原点に対して対称」であるため。
ばね−物体系の単振動の周期 $T = 2\pi\sqrt{m/k}$。質量が $2m$ だから $T = 2\pi\sqrt{2m/k}$。原点再到達は半周期。
最大圧縮量の計算：衝突直後、D は $v_1 = v_0/2$ で左へ運動。エネルギー保存則（単振動なので運動エネルギー ⇔ ばねの弾性エネルギー）より、最大圧縮量を $\Delta x$ とすると、
$$\dfrac{1}{2}(2m) v_1^2 = \dfrac{1}{2} k (\Delta x)^2$$ここに $v_1 = v_0/2$ を代入：
$$\dfrac{1}{2} \cdot 2m \cdot \dfrac{v_0^2}{4} = \dfrac{1}{2} k (\Delta x)^2$$ $$\dfrac{m v_0^2}{4} = \dfrac{k (\Delta x)^2}{2}$$ $$(\Delta x)^2 = \dfrac{m v_0^2}{2k} \quad \Longrightarrow \quad \Delta x = \dfrac{v_0}{\sqrt{2}} \sqrt{\dfrac{m}{k}}$$最大圧縮時のばねの力：ばねの弾性力はフックの法則 $F = k \Delta x$。
$$F_{\max} = k \cdot \dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{m}{k}} = \dfrac{v_0}{\sqrt{2}} \sqrt{m k} = v_0 \sqrt{\dfrac{m k}{2}}$$壁が A を押す力：A は静止しているので、A にはたらく力はつり合う。ばねから A が受ける力は $F_{\max}$（左向き）なので、壁から A は $F_{\max}$（右向き）を受ける。作用反作用により、壁が A を押す力は $F_{\max}$ と等しい。
$$F_{\max} = v_0 \sqrt{\dfrac{m k}{2}} = \dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\sqrt{m k} = \dfrac{\sqrt{2} v_0}{2}\sqrt{mk}$$運動量保存・エネルギー保存の 2 段構えで導出する標準問題。衝突直後の D は $v_1 = v_0/2$、運動エネルギーは $\dfrac{1}{2}\cdot 2m \cdot (v_0/2)^2 = \dfrac{mv_0^2}{4}$。これがすべてばねに蓄えられた瞬間が最大圧縮で、そのときの復元力 $k\Delta x$ が A を壁方向に押す力の最大値。
ばねが最大圧縮（または最大伸び）のとき、すべての運動エネルギーがばねの弾性エネルギーに変換され、ばね力は最大。A が壁に接しているなら、壁の垂直抗力もそのときに最大となる。
設定：A の位置を $x_A$、D の位置を $x_D$、AD 間の距離 $x_{AD} = x_D - x_A$、ばねの自然長からの伸び $\Delta L = x_{AD} - L_0$。A の加速度 $a_A$、D の加速度 $a_D$。
A の運動方程式：A にはばねから右向きに $k \Delta L$（伸びているとき）が作用。
$$2m \cdot a_A = k \Delta L = k(x_{AD} - L_0)$$D の運動方程式：D には反対向き（左向き）の復元力。
$$2m \cdot a_D = -k \Delta L = -k(x_{AD} - L_0)$$相対運動：A から見た D の相対加速度 $a_{\text{rel}} = a_D - a_A$、相対位置 $x_{AD}$。
両式を引き算すると、
$$a_D - a_A = \dfrac{-k \Delta L}{2m} - \dfrac{k \Delta L}{2m} = -\dfrac{k \Delta L}{m}$$これは「換算質量 $m$ の単振動」の運動方程式に相当する（換算質量 $\mu = \dfrac{2m \cdot 2m}{2m + 2m} = m$）。
$$m \cdot a_{\text{rel}} = -k(x_{AD} - L_0)$$上の式から角振動数 $\omega' = \sqrt{k/m}$、周期は、
$$T' = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$$2 物体 $m_1, m_2$ がばねでつながれた系で、相対運動の換算質量は $\mu = m_1 m_2 / (m_1 + m_2)$。本問では $m_1 = m_2 = 2m$ なので $\mu = (2m)(2m)/(4m) = m$。
これは重心系で見るとわかりやすい：重心は外力ゼロなので等速、相対運動は $\mu$ とばねの単振動になる。実質的に「一方が固定、他方が $\mu$」と同じ扱い。
2 物体 + ばねの系：重心は等速、相対運動は換算質量で単振動。これは衝突問題・連成振動・二原子分子の振動など幅広く使える技。
重心の速度：外力（水平方向）がゼロなので、重心速度は保存される。A が壁から離れた瞬間の状態を考える。離れた瞬間、A は静止（$v_A = 0$）、D は右向きに動いている。その速さを $v_1'$ とする。
実は、A が壁から離れるのは「ばねが自然長に戻った瞬間」（その前にばねが押して A を壁に押し付けていたが、自然長で押す力ゼロ、伸び始めると引く力になり A は動き始める）。自然長通過時の D の速度は、エネルギー保存から $|v_1'| = v_1 = v_0/2$（向きは右）。
離れた瞬間の重心速度は、
$$v_G = \dfrac{(2m) \cdot 0 + (2m) \cdot (v_0/2)}{2m + 2m} = \dfrac{2m \cdot v_0/2}{4m} = \dfrac{v_0}{4}$$ばね最大長の瞬間は A と D の速度が一致（相対速度 0）。これは重心速度と等しいので、
$$v_2 = v_G = \dfrac{v_0}{4}$$エネルギー保存：壁から離れた瞬間からばね最大長までで、
離れた瞬間：運動エネルギー $K_1 = \dfrac{1}{2}\cdot 2m \cdot (v_0/2)^2 = \dfrac{m v_0^2}{4}$、ばねのエネルギー 0。
ばね最大長：両物体とも $v_2 = v_0/4$、運動エネルギー $K_2 = \dfrac{1}{2}\cdot 4m \cdot (v_0/4)^2 = \dfrac{m v_0^2}{8}$、ばねの伸び $\Delta L_{\max}$、ばねのエネルギー $\dfrac{1}{2} k (\Delta L_{\max})^2$。
エネルギー保存：
$$\dfrac{m v_0^2}{4} = \dfrac{m v_0^2}{8} + \dfrac{1}{2} k (\Delta L_{\max})^2$$ $$\dfrac{m v_0^2}{8} = \dfrac{1}{2} k (\Delta L_{\max})^2$$ $$(\Delta L_{\max})^2 = \dfrac{m v_0^2}{4k} \quad \Longrightarrow \quad \Delta L_{\max} = \dfrac{v_0}{2} \sqrt{\dfrac{m}{k}}$$したがって AD 間距離の最大値は、
$$L_{\max} = L_0 + \Delta L_{\max} = L_0 + \dfrac{v_0}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$$換算質量 $\mu = m$ を使うと、相対運動のエネルギー：
$$K_{\text{相対}} = \dfrac{1}{2} \mu v_{\text{rel}}^2 = \dfrac{1}{2} m (v_0/2)^2 = \dfrac{m v_0^2}{8}$$ばね最大長で相対速度 0 → この相対運動エネルギーがすべてばねに蓄えられる：
$$\dfrac{m v_0^2}{8} = \dfrac{1}{2} k (\Delta L_{\max})^2 \Rightarrow \Delta L_{\max} = \dfrac{v_0}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$$同じ答えがより簡潔に出る。
ばねの最大伸び・最大縮みは「両物体の速度が一致」する瞬間。この共通速度は重心速度 $v_G$ に等しい（外力なしの場合）。エネルギー保存と合わせて使う定石。
各区間の分析：
Phase 1（$0 \le t \le t_D$）：A 固定、D が単振動
Phase 2（$t \ge t_D$）：A 壁から離脱後
重心位置の式：$x_G = \dfrac{2m x_A + 2m x_D}{4m} = \dfrac{x_A + x_D}{2}$。重心が等速直線運動するので、グラフ上で $x_G$ は直線。
正しい選択肢：D は衝突直後に左方向へ動き、A 接触時点で同じ値、A 離脱後も振動し続ける → (ア) 。選択肢 (ア) は「A 固定区間で D だけが sin カーブ → A 離脱後に A, D ともに右向きに移動するが、両者の差 $x_D - x_A$ はばねの伸縮を表す」パターン。
ばねで連結された 2 物体：重心は等速、相対運動は単振動。グラフ読解では「A 離脱の境界時刻」「重心が直線」「2 物体の位置が鏡像的に振動」の 3 点を押さえる。