解法の指針

高さ $h$ の棒の上に静止した小球Bに、水平面上の点Oから角度 $\frac{\pi}{4}$ rad で打ち出した小球Aを衝突させる問題です。斜方投射・運動量保存・反発係数を段階的に使います。

問題の構成

• 問1：小球Aの斜方投射 — 最高点到達時刻・最高点高さ・発射速度 $v_0$ と距離 $l$ の関係
• 問2：小球AとBの完全非弾性衝突 → 一体小球Cの放物運動 → 着地点と跳ね返り

問1：斜方投射の解析

初速度の分解：小球Aを初速度 $v_0$、水平面と角度 $\frac{\pi}{4}$ で発射すると、

$$v_{0x} = v_0 \cos\frac{\pi}{4} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}, \quad v_{0y} = v_0 \sin\frac{\pi}{4} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$$

空欄[1]：最高点到達時刻 $t_1$

最高点では鉛直速度 $= 0$ になるので、

$$v_{0y} - gt_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{v_0}{\sqrt{2}\,g}$$

空欄[2]：最高点の高さ $h$

$v_0$ を用いて最高点の高さを求めます。

$$h = v_{0y}\,t_1 - \frac{1}{2}g\,t_1^2 = \frac{v_0}{\sqrt{2}} \cdot \frac{v_0}{\sqrt{2}\,g} - \frac{1}{2}g \cdot \frac{v_0^2}{2g^2}$$ $$= \frac{v_0^2}{2g} - \frac{v_0^2}{4g} = \frac{v_0^2}{4g}$$

空欄[3]：水平方向速度 $v_0$ の値

最高点で小球Aの水平速度は $\frac{v_0}{\sqrt{2}}$ のままです。棒の高さ $h$ がちょうど最高点の高さと等しいので、$h = \frac{v_0^2}{4g}$ から $v_0 = \sqrt{4gh} = 2\sqrt{gh}$ と表せます。

空欄[4]：水平方向移動距離

点Oから最高点（点P上方）までの水平距離は、

$$x_{\text{top}} = v_{0x} \cdot t_1 = \frac{v_0}{\sqrt{2}} \cdot \frac{v_0}{\sqrt{2}\,g} = \frac{v_0^2}{2g}$$

一方、$h = \frac{v_0^2}{4g}$ なので $v_0^2 = 4gh$ を代入すると、

$$x_{\text{top}} = \frac{4gh}{2g} = 2h$$

空欄[5]：$l$ と $d$ の関係

問題文から、$l$ と $x_{\text{top}}$ は等しく、$x_{\text{top}} = \frac{v_0^2}{2g}$ です。また $d$ は点Pから棒の位置まで（OPの距離 $l$）として、$l = 2h$ であり $h$ が棒の高さ $h$ と等しいので、$l$ は $d$ の4倍：$l = 4d$。

別解：エネルギー保存を使う方法

最高点でのエネルギー保存：

$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_{0x}^2 + mgh$$ $$h = \frac{v_0^2 - v_{0x}^2}{2g} = \frac{v_0^2 - v_0^2/2}{2g} = \frac{v_0^2}{4g}$$

同じ結果が得られます。等加速度運動の公式を使わなくても、エネルギー保存で直接最高点の高さを求められます。

問2：完全非弾性衝突と跳ね返り

空欄[6]：衝突直後の小球Cの水平速度

最高点で小球A（質量 $m$、水平速度 $\frac{v_0}{\sqrt{2}}$）が静止している小球B（質量 $M$）に衝突し、完全非弾性衝突（一体化）します。水平方向の運動量保存より、

$$m \cdot \frac{v_0}{\sqrt{2}} = (m + M) \cdot V_C$$ $$V_C = \frac{m}{m + M} \cdot \frac{v_0}{\sqrt{2}}$$

$M_1 = m + M$ とすると $V_C = \frac{m \cdot v_0}{\sqrt{2}\,M_1}$ です。

空欄[7]：運動エネルギーの減少量

衝突前後の運動エネルギー差は、

$$\Delta K = \frac{1}{2}m\left(\frac{v_0}{\sqrt{2}}\right)^2 - \frac{1}{2}(m+M)V_C^2$$ $$= \frac{mv_0^2}{4} - \frac{1}{2}(m+M)\left(\frac{mv_0}{\sqrt{2}(m+M)}\right)^2$$ $$= \frac{mv_0^2}{4} - \frac{m^2 v_0^2}{4(m+M)} = \frac{mv_0^2}{4} \cdot \frac{M}{m+M} = \frac{mMv_0^2}{4(m+M)}$$

空欄[8]：点Pと着地点R$_1$の水平距離

小球Cは高さ $h$ から初速度水平 $V_C$ で放物運動します。落下時間 $t_1$ は、

$$h = \frac{1}{2}g\,t_1^2 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{v_0}{\sqrt{2}\,g}$$

（$h = \frac{v_0^2}{4g}$ を使用）。水平距離は、

$$d_{\text{PR}_1} = V_C \cdot t_1 = \frac{mv_0}{\sqrt{2}(m+M)} \cdot \frac{v_0}{\sqrt{2}g} = \frac{mv_0^2}{2g(m+M)}$$

$m$, $M$, $l$ を用いて表すと、$v_0^2 = 4gh = 2gl$（$l = 2h$ の場合）を使って、

$$d_{\text{PR}_1} = \frac{m \cdot 2gl}{2g(m+M)} = \frac{ml}{m+M}$$

空欄[9]：跳ね返り後の距離

着地直前の鉛直速度は $v_y = \sqrt{2gh} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$。反発係数 $e$ で跳ね返ると鉛直速度は $ev_y = \frac{ev_0}{\sqrt{2}}$。水平速度 $V_C$ は変わりません。

跳ね返り後の滞空時間は $t_2 = \frac{2ev_y}{g} = \frac{2e \cdot v_0}{\sqrt{2}\,g} = \frac{\sqrt{2}\,ev_0}{g}$。

跳ね返り後の水平距離は、

$$d_{\text{R}_1\text{R}_2} = V_C \cdot t_2 = \frac{mv_0}{\sqrt{2}(m+M)} \cdot \frac{\sqrt{2}\,ev_0}{g} = \frac{mev_0^2}{g(m+M)}$$

R$_1$R$_2$ は $d$ の $\frac{me \cdot 4gh}{g(m+M) \cdot h}$ 倍 $= \frac{4me}{m+M}$ 倍。したがって R$_1$R$_2$ 間の距離は $d$ の $e$ 倍（比例関係）です。

別解：対称性を使った跳ね返り距離の導出

1回目の放物運動の水平距離を $d_1$、跳ね返り後の水平距離を $d_2$ とすると、

$$\frac{d_2}{d_1} = \frac{V_C \cdot t_2}{V_C \cdot t_1} = \frac{t_2}{t_1}$$

$t_1 = \sqrt{2h/g}$、$t_2 = 2ev_y/g = 2e\sqrt{2gh}/g$ より、

$$\frac{t_2}{t_1} = \frac{2e\sqrt{2gh}/g}{\sqrt{2h/g}} = 2e$$

つまり跳ね返り後の水平距離は $d_1$ の $2e$ 倍です。さらに R$_1$R$_2$ の距離は $d$ に対して比例関係にあり、$e$ の倍数として整理されます。

補足：完全非弾性衝突のエネルギー損失

完全非弾性衝突（$e=0$、一体化）では運動エネルギーの損失率は、

$$\frac{\Delta K}{K_0} = \frac{M}{m+M}$$

$M$ が $m$ に比べて大きいほど、エネルギー損失の割合が大きくなります。例えば $M = m$ なら損失率 $50\%$、$M = 3m$ なら $75\%$ です。