この大問は2つのパートに分かれています。
問1（RLC直列回路）：抵抗R、コイルL、コンデンサーCの直列回路に交流電圧 \(V = V_s \sin \omega t\) を加えた場合の電流・電圧関係を求めます。キルヒホッフの第二法則と各素子の電圧降下の関係を使います。
問2（荷電粒子の運動）：電場と磁場が存在する領域で荷電粒子が運動する際の軌道を、ローレンツ力と運動方程式から解析します。
数値例：角振動数 \(\omega = 1000\) rad/s、\(R = 100\) Ω、\(L = 0.1\) H のとき、コイルのリアクタンス \(\omega L = 100\) Ω で抵抗と同程度です。
抵抗 \(R\) [Ω]、自己インダクタンス \(L\) [H] のコイル、静電容量 \(C\) [F] のコンデンサーを直列に接続し、交流電圧 \(V = V_s \sin \omega t\)（(1a)式）を加えます。電流は \(I = I_s \sin(\omega t + \alpha)\)（(1b)式）と表されます。
交流電流 (1b) がコイルを通過するとき、自己誘導による起電力が生じます。コイルの自己誘導起電力は：
$$ V_L = -L\frac{dI}{dt} $$電流 \(I = I_s \sin(\omega t + \alpha)\) を微分すると：
$$ \frac{dI}{dt} = I_s \omega \cos(\omega t + \alpha) $$コイルの両端の電圧降下（電流の流れる向きに対して）は：
$$ V_L = L\frac{dI}{dt} = \omega L I_s \cos(\omega t + \alpha) $$コンデンサーに流れ込む電流と電荷の関係：
$$ I = \frac{dQ}{dt} $$ $$ Q = \int I\, dt = \int I_s \sin(\omega t + \alpha)\, dt = -\frac{I_s}{\omega}\cos(\omega t + \alpha) + \text{const.} $$コンデンサーの電圧降下は \(V_C = Q/C\) なので：
$$ V_C = \frac{Q}{C} = -\frac{I_s}{\omega C}\cos(\omega t + \alpha) $$回路全体のキルヒホッフの第二法則：
$$ V = RI + L\frac{dI}{dt} + \frac{Q}{C} $$ $$ V = RI_s \sin(\omega t + \alpha) + \omega L I_s \cos(\omega t + \alpha) - \frac{I_s}{\omega C}\cos(\omega t + \alpha) $$ $$ V = I_s R \sin(\omega t + \alpha) + I_s\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)\cos(\omega t + \alpha) $$これを (1c) の形 \(V = \boxed{□3} \sin(\omega t + \alpha) + \boxed{□4} \cos(\omega t + \alpha)\) と比較すると：
(1a) 式 \(V = V_s \sin \omega t\) と (1c) 式を比較します。(1c) を合成すると：
$$ V = I_s \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2} \sin(\omega t + \alpha + \beta) $$ここで \(\tan\beta = \dfrac{\omega L - 1/(\omega C)}{R}\)
振幅の比較から：
$$ V_s = I_s \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2} = I_s Z $$したがって：
$$ \boxed{I_s = \frac{V_s}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}} = \frac{V_s}{Z} $$(1a) と合成した (1c) の位相を比較すると：
$$ \alpha + \beta = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha = -\beta $$ $$ \tan\alpha = -\tan\beta = -\frac{\omega L - 1/(\omega C)}{R} = \frac{1/(\omega C) - \omega L}{R} $$RLC直列回路のインピーダンス \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\) と位相差 \(\tan\phi = \dfrac{X_L - X_C}{R}\) は交流回路の最重要公式です。\(X_L = \omega L\)（誘導リアクタンス）、\(X_C = \dfrac{1}{\omega C}\)（容量リアクタンス）。
\(\omega L = \dfrac{1}{\omega C}\) のとき、インピーダンスは最小値 \(Z = R\) となり、電流が最大になります。これが共振です。
共振角振動数：\(\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)
共振時は \(\alpha = 0\) で電圧と電流が同位相になります。
真空中の静電場下で荷電粒子の平面運動を考えます。大きさ \(E\) [N/C] の一様な電場が領域 \(0 < x < L\) [m] の \(y\) 方向に、磁束密度 \(B\) [T] の一様な磁場が領域 \(x > L\) の \(z\) 方向（紙面に垂直、手前から奥向き）に印加されています。
質量 \(m\) [kg]、電荷 \(q > 0\) [C] の荷電粒子が、原点Oから \(x\) 方向に初速度 \(v > 0\) で入射します。
荷電粒子は原点Oから \(x\) 方向に速度 \(v\) で入射します。電場領域 \(0 < x < L\) では、\(y\) 方向に一様な電場 \(E\) が荷電粒子に力 \(qE\) を与えます。
電場領域内での運動：
電場領域の通過時間：
$$ t_1 = \frac{L}{v} $$直線 \(x = L\) 上の点 \(\text{P}_1\) を速さ \(v_p\) [m/s] で \(x\) 軸から反時計回りに角度 \(\phi\) [rad] の方向に通過したと観測されました（\(0 < \phi < \pi/2\)）。
\(x = L\) での \(y\) 方向速度：
$$ v_y = a_y \cdot t_1 = \frac{qE}{m} \cdot \frac{L}{v} = \frac{qEL}{mv} $$\(v_x = v\)（変わらず）なので：
$$ \tan\phi = \frac{v_y}{v_x} = \frac{qEL}{mv^2} $$したがって原点Oでの速度の \(y\) 成分は 0 で、\(\text{P}_1\) での \(y\) 成分は：
粒子が \(x = L\) を超えると磁場領域に入ります。磁場は \(z\) 方向（紙面に垂直、手前から奥向き）で、ローレンツ力が粒子に円運動をさせます。
\(\text{P}_1\) での速さ：
$$ v_p = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v^2 + v_y^2} $$磁場中での円運動の半径：
$$ r = \frac{mv_p}{qB} $$粒子は磁場領域で半径 \(r\) の円弧を描き、再び直線 \(x = L\) 上の点 \(\text{P}_2\) に戻ります。
\(\text{P}_1\) と \(\text{P}_2\) の関係：磁場中の円運動で \(x = L\) に戻るので、円の中心から \(x = L\) への距離が等しくなります。円の中心は \(\text{P}_1\) からローレンツ力の方向（速度に垂直）に \(r\) だけ離れた点です。
\(\text{P}_2\) での \(x\) 方向速度成分（\(x = L\) 上に戻った時点）：
円運動の対称性から、\(\text{P}_2\) では速度の \(x\) 成分が \(-v_x = -v\)（\(x\) の負の方向に向かう）になります。これは角度 \(\phi\) の対称性から：
$$ v_{P_2,x} = -v_p\sin\phi \cdot (\text{幾何学的考察が必要}) $$より正確に：\(\text{P}_1\) での速度の向きが \(x\) 軸から角度 \(\phi\) なので、速度ベクトルは \((v_p\cos\phi, v_p\sin\phi)\) です。磁場中で半円を描いて \(x = L\) に戻るとき、速度は \((-v_p\cos\phi, -v_p\sin\phi)\) になるか、あるいは入射角に等しい角度で反射的に出るか、幾何学で決まります。
円運動の中心の位置を求めましょう。\(\text{P}_1 = (L, y_1)\) で、速度は \((v\cos\phi, v\sin\phi)... \) いいえ、\(v_x = v\), \(v_y = v\tan\phi\) なので：
$$ \vec{v}_1 = (v, v\tan\phi) $$ $$ v_p = \frac{v}{\cos\phi} $$ローレンツ力（\(q > 0\)、\(B\) が \(+z\) 方向）：
$$ \vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B} = q(v_x \hat{x} + v_y \hat{y}) \times B\hat{z} $$問題文では磁場は「紙面に垂直に手前から奥向き」= \(+z\) 方向です。
$$ \vec{F} = q(v_x B \hat{y} - v_y B \hat{x}) $$いいえ、\(\hat{x} \times \hat{z} = -\hat{y}\)、\(\hat{y} \times \hat{z} = \hat{x}\) なので：
$$ \vec{F} = q(v_x \hat{x} + v_y \hat{y}) \times B\hat{z} = qB(v_x(\hat{x} \times \hat{z}) + v_y(\hat{y} \times \hat{z})) $$ $$ = qB(-v_x \hat{y} + v_y \hat{x}) = qB(v_y, -v_x, 0) $$この力は速度に垂直で、円の中心方向を指します。円の中心は \(\text{P}_1\) から力の方向に \(r\) だけ進んだ位置です。力の向きの単位ベクトルは \(\dfrac{(v_y, -v_x)}{v_p}\) なので：
$$ \text{中心} = \text{P}_1 + r \cdot \frac{(v_y, -v_x)}{v_p} = \left(L + \frac{rv_y}{v_p},\ y_1 - \frac{rv_x}{v_p}\right) $$円の中心の \(x\) 座標は \(L + \dfrac{rv_y}{v_p} = L + r\sin\phi\) です。
粒子が \(x = L\) に戻る条件（円と直線 \(x = L\) の交点）から、\(\text{P}_2\) の \(y\) 座標を求めます。
円の中心 \((L + r\sin\phi, y_c)\) から \(x = L\) までの距離は \(r\sin\phi\) です。交点の \(y\) 座標は：
$$ y = y_c \pm \sqrt{r^2 - r^2\sin^2\phi} = y_c \pm r\cos\phi $$\(\text{P}_1\) は \(y_c + r\cos\phi\)（力の方向を考慮）... 詳細な幾何は省略しますが、\(\text{P}_1\) と \(\text{P}_2\) の \(y\) 方向の距離は：
$$ |\text{P}_1\text{P}_2| = 2r\cos\phi $$\(\text{P}_2\) の速度の \(x\) 成分は、対称性から \(-v\)（入射と反対向き）です。
粒子は \(\text{P}_2\) から電場領域に再入射し（\(x\) の負方向に）、直線 \(x = 0\) 上の点 \(\text{P}_3\) を通過します。
\(\text{P}_2\) での速度：\((-v, v_y')\) で、速さは \(v_p\) のまま（磁場は仕事をしない）。
電場領域（\(0 < x < L\)）を \(x\) の負方向に通過する間：
通過時間は同じ \(t_1 = L/v\) なので、\(y\) 方向にさらに加速されます：
$$ v_{y,P_3} = v_{y,P_2} + \frac{qE}{m} \cdot \frac{L}{v} $$\(\text{P}_3\) での速度の \(y\) 成分は \(\text{P}_2\) での \(y\) 成分に \(v\tan\phi\) を加えたものです。
特に、\(\text{P}_3\) が原点に一致する場合（粒子が出発点に戻る）の磁束密度 \(B\) を求めます。
\(\text{P}_3\) の \(y\) 座標が 0 になる条件：
\(\text{P}_1\) の \(y\) 座標（電場領域通過後）：
$$ y_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{qE}{m} \cdot \left(\frac{L}{v}\right)^2 = \frac{qEL^2}{2mv^2} $$\(\text{P}_2\) の \(y\) 座標：\(y_2 = y_1 + 2r\cos\phi\)（磁場中の円運動による \(y\) 方向変位）
電場領域を逆に通過する間の \(y\) 方向変位：
$$ \Delta y = v_{y,P_2} \cdot \frac{L}{v} + \frac{1}{2} \cdot \frac{qE}{m} \cdot \left(\frac{L}{v}\right)^2 $$\(\text{P}_3\) の \(y\) 座標が 0 になる条件から \(B\) を求めることができます。
荷電粒子の問題では、(1) 電場領域では放物運動（等加速度運動）、(2) 磁場領域では等速円運動、という2つの運動を組み合わせます。磁場は速さを変えない（仕事をしない）ことが重要です。
正電荷 \(q > 0\) が速度 \(\vec{v}\) で磁場 \(\vec{B}\) 中を運動するとき、ローレンツ力は：
$$ \vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B} $$右手の法則：右手の4本指を \(\vec{v}\) の方向に向け、\(\vec{B}\) の方向に曲げたとき、親指の方向が \(\vec{F}\) の方向です。
磁場が紙面裏向き（\(+z\)）で粒子が \(+x\) 方向に動くとき、力は \(-y\) 方向（下向き）です。磁場が紙面表向きなら力は \(+y\) 方向です。