問1 は直方体半導体試料におけるホール効果を扱う。電流と磁場を交差するようにかけると、試料の横に電位差（ホール電圧）が生じ、これから自由電子の数密度が求まる。問2 はコイルに流れる電流の過渡応答、次いで変圧器（相互誘導）の問題。
設定：直方体試料（断面積 $a \times b$）に電流 $I$ を流す。自由電子の電荷 $e$（絶対値）、数密度 $n$ [個/m³]、平均速度 $v$（電流と逆向き）。
立式：1 秒間に試料の断面を通過する電子数は「断面積 × 速度 × 数密度」
$$\text{通過電子数}/\text{秒} = n \cdot (a b) \cdot v$$その電荷総量（＝電流 $I$）は、
$$I = n e \cdot a b \cdot v$$$v$ について解く：
$$v = \dfrac{I}{n e a b}$$銅 ($n \fallingdotseq 8.5 \times 10^{28}$ /m³), $I = 1$ A, 断面積 $1$ mm² $= 10^{-6}$ m²:
$$v = \dfrac{1}{8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-6}} \fallingdotseq 7.4 \times 10^{-5} \text{ m/s}$$たった 0.074 mm/s！ 電子はゆっくり動くが、電場の伝達は光速に近いので電流は瞬時に流れる。
電流と電子の平均速度の関係 $I = n e A v$ は電磁気の基本式。半導体の性質を理解する上で不可欠。
立式：自由電子が磁場中を速度 $v$ で運動するとき、ローレンツ力の大きさは、
$$F = |q| v B = e v B$$（電子の電荷の絶対値 $e$、速度 $v$ と磁場 $B$ が直交している前提）
(1) の結果 $v = I/(n e a b)$ を代入すると、
$$F = e \cdot \dfrac{I}{n e a b} \cdot B = \dfrac{I B}{n a b}$$これが 1 個の電子にかかるローレンツ力の大きさ。
ローレンツ力の大きさ $evB$ は電磁気学のABC。向きは右手の法則で決定、電子は反対。
解析：試料を直方体として座標を定める。電流 $I$ は $+x$ 方向、磁場 $B$ は $+y$ 方向。電子は電流と逆の $-x$ 方向に動いている。
ローレンツ力を計算する：正電荷の場合 $\vec F_+ = e \vec v_+ \times \vec B$ で、正電荷が $+x$ に動くなら $\vec v_+ \times \vec B = \hat x \times \hat y = \hat z$（$+z$ 方向）。
電子は電荷が逆だから、$\vec F_\text{電子} = -e(\vec v_\text{電子} \times \vec B)$。$\vec v_\text{電子} = -\hat x$ なので、$\vec v_\text{電子} \times \vec B = -\hat x \times \hat y = -\hat z$。$-e \cdot (-\hat z) = +e\hat z$。よって電子は $+z$ 方向に押される。
面の対応：図 1 の「面 ABFE」が $+z$ 方向の端面であれば、そこに電子が集まって負に帯電する。
電子が $+z$ 側（ABFE 面）に集まると、反対の $-z$ 側（DCGH 面）では電子が欠乏するので、正に帯電する。2 面間に電場が発生し（ホール電場）、やがて静電気力がローレンツ力を打ち消すまで蓄積が続く。
ホール効果の帯電面の判定は右手の法則 + 電子の電荷逆転で決まる。「正電荷の力の向きを右手で決め、電子は反対」。
定常状態：ローレンツ力によって電子が片面に集まり、その結果生じる静電気力（ホール電場 $E$）がローレンツ力を打ち消す。
釣り合い：電子 1 個にはたらく 2 つの力が等しい：
$$e E = e v B \;\Rightarrow\; E = v B$$ホール電場 $E$ と電位差 $V$（2 面間の距離を $a$ とすると）の関係：
$$V = E \cdot a = v B a$$(1) で得た $v = \dfrac{I}{n e a b}$ を代入：
$$V = \dfrac{I}{n e a b} \cdot B \cdot a = \dfrac{I B}{n e b}$$$n$ について解く：
$$n = \dfrac{I B}{e V b}$$ホール効果は半導体の自由電荷の種類と濃度を測定するのに使われる。この式から $n$ が求まるため、材料が n 型半導体（電子が多数キャリア）か p 型半導体（正孔が多数キャリア）かも、電位の符号で判別できる。
銅: $I = 1$ A, $B = 0.1$ T, $V = 10$ nV, $b = 1$ mm $= 10^{-3}$ m:
$$n = \dfrac{1 \times 0.1}{1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-8} \times 10^{-3}} \fallingdotseq 6.3 \times 10^{28} \text{ /m}^3$$銅の自由電子密度の典型値 $\sim 10^{29}$ /m³ に近い。
ホール効果は「ローレンツ力と静電気力の釣り合い」から数密度を測定する技法。$n = IB/(eVb)$ の式は半導体物性の基本測定法。
回路方程式：RL 直列回路の電流 $I(t)$ は、キルヒホッフの電圧則から、
$$E = L \dfrac{dI}{dt} + R I$$初期条件 $I(0) = 0$ の下で解くと、
$$I(t) = \dfrac{E}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \dfrac{L}{R}$$時間 $t$ の経過とともに、$I$ は初期 $0$ から指数関数的に増加し、飽和値 $I_\text{max} = E/R$ に漸近する。
コイルは「電流の変化を嫌う」性質を持ち、自己誘導起電力 $-L dI/dt$ を発生させる。スイッチ ON 直後は $dI/dt$ が大きく逆起電力も大きいので、電流は急には増えない。時間が経つと $dI/dt$ が小さくなり、電流は $E/R$ に達する。
$L = 0.1$ H, $R = 10$ Ω のとき $\tau = 0.01$ s $= 10$ ms。これが「定常に近づくスピード」の目安。$\tau$ の 5 倍程度で飽和値の 99% に達する。
RL 回路の過渡応答の形は指数関数的飽和。コンデンサーと抵抗の組み合わせ（RC 回路）では指数関数的放電・充電になる。回路の組み合わせと過渡応答の形を暗記。
変圧器の基本則（理想変圧器）：
負荷抵抗 $r$ に流れる電流：オームの法則で、
$$I_2 = \dfrac{V_2}{r} = \dfrac{V \cdot N_2/N_1}{r}$$一次電流：$I_1 = I_2 \cdot (N_2/N_1)$ なので、
$$I_1 = \dfrac{V \cdot N_2 / N_1}{r} \cdot \dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{V N_2^2}{r N_1^2}$$負荷 $r$ での消費電力：$P = I_2^2 r = \left(\dfrac{V N_2/N_1}{r}\right)^2 r = \dfrac{V^2 N_2^2}{r N_1^2}$
一次側の供給電力：$V I_1 = V \cdot \dfrac{V N_2^2}{r N_1^2} = \dfrac{V^2 N_2^2}{r N_1^2}$
両者は等しい（電力保存）。
一次側から見た抵抗は $V/I_1 = r (N_1/N_2)^2$。巻数比で抵抗を変換できる、これが変圧器の重要な機能。
応用: スピーカー（低抵抗）とアンプ（高抵抗出力）をマッチングするためのオーディオトランス。
変圧器は「電圧を変えて電流を逆に変える」装置。電力は保存される。巻数比 $N_2/N_1$ がすべてを決める基本パラメータ。