解法の指針

x 軸正方向へ進む正弦波の式をつくり、壁での固定端反射による定在波を調べ、最後に空気にはさまれた薄膜での反射光の干渉から波長と屈折率を求める、波動の総合問題です。

問題の構成

• 問1 (1)〜(3)：波源（原点 O）の単振動の式と、それが速さ $v=\lambda/T$ で $x$ 正方向に「遅れて伝わる」ことを使った進行波の式
• 問2 反射 (あ)(4)〜(6)(い)：点 H（固定端）での反射波の位相・式と、入射波との合成波（定在波）の振幅・腹と節の位置
• 問2 薄膜 (7)〜(11)：屈折の法則、反射光の強め合い・弱め合い条件、$\tan i=\sqrt{13/12}$ での明暗測定から「次の極大波長」と「屈折率」を決定

問1 (1)〜(3)：x 軸正方向に進む正弦波の式

(1) 原点 O での変位：振幅 $a$、周期 $T$、$t=0$ で変位 0・直後に正へ向かう単振動なので、角振動数 $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ を用いて

$$y(0,\,t) = a\sin\frac{2\pi}{T}\,t$$

(2) 位置 $x$ に届くまでの遅れ時間：波の速さは $v=\dfrac{\lambda}{T}$。原点から距離 $x$ 進むのにかかる時間が「遅れ」なので

$$\text{遅れ時間} = \frac{x}{v} = \frac{x}{\lambda/T} = \frac{T x}{\lambda}\ \text{[s]}$$

(3) 時刻 $t$・位置 $x$ の変位：位置 $x$ では、原点での時刻 $\left(t-\dfrac{Tx}{\lambda}\right)$ の変位がそのまま現れると考えてよいので、(1) の式の $t$ を $t-\dfrac{Tx}{\lambda}$ に置き換える：

$$y(x,\,t) = a\sin\frac{2\pi}{T}\!\left(t - \frac{T x}{\lambda}\right) = a\sin 2\pi\!\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$$

補足：角振動数 ω と波数 k での書き方

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$（時間的な位相変化の速さ）、$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$（空間的な位相変化の速さ）を使うと、

$$y(x,t)=a\sin(\omega t - kx)$$

と簡潔に書ける。$x$ 正方向に進む波は $-kx$、$x$ 負方向に進む波は $+kx$。波長 $\lambda$ だけ $x$ が増えると位相が $2\pi$ ずれる関係 $v=\dfrac{\lambda}{T}=\dfrac{\omega}{k}$ が成り立つ。

問2 反射 (あ)(4)〜(6)(い)：固定端反射と合成波（定在波）

(あ) 固定端反射での位相変化：壁（固定端）では、はね返るときに波の位相が $\pi$ ずれる（変位が上下反転する）。自由端なら位相ずれなし。よって反射波の位相は入射波に対して$\pi$ ずれる（選択肢 (ウ)）。

(4) 反射波が点 H から位置 $x$ まで戻る遅れ時間：反射波は H から左向きに速さ $v=\dfrac{\lambda}{T}$ で進む。図2 より点 H の座標は $x=\dfrac{7}{4}\lambda$ なので、H から位置 $x$ まで戻る距離は $\left(\dfrac{7}{4}\lambda - x\right)$、その遅れ時間は

$$\frac{\frac{7}{4}\lambda - x}{v} = \frac{T}{\lambda}\!\left(\frac{7}{4}\lambda - x\right) = \frac{7T}{4} - \frac{T x}{\lambda}\ \text{[s]}$$

(5) 反射波の変位：点 H での反射波は、入射波の H での変位を位相 $\pi$ 反転したもの。入射波の H での変位は $y(\tfrac{7}{4}\lambda,t)=a\sin\dfrac{2\pi}{T}\!\left(t-\dfrac{7T}{4}\right)$ だから、反射（符号反転）して、さらに (4) の遅れ時間ぶん時刻を戻すと

$$y_{\text{反}}(x,t) = -a\sin\frac{2\pi}{T}\!\left(t - \frac{7T}{4} - \Bigl(\frac{7T}{4} - \frac{Tx}{\lambda}\Bigr)\right) = -a\sin\frac{2\pi}{T}\!\left(t - \frac{7T}{2} + \frac{Tx}{\lambda}\right)$$

$\dfrac{2\pi}{T}\cdot\dfrac{7T}{2}=7\pi$ で、$\sin(\theta-7\pi)=-\sin\theta$ を使うと、左向きに進む波としてきれいにまとまる：

$$y_{\text{反}}(x,t) = a\sin 2\pi\!\left(\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda}\right)$$

(6)(い) 合成波の振幅と振幅 0 の点：入射波 $y_1=a\sin 2\pi\!\left(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda}\right)$ と反射波 $y_2=a\sin 2\pi\!\left(\dfrac{t}{T}+\dfrac{x}{\lambda}\right)$ の和を、和→積の公式 $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ で整理すると

$$y_1+y_2 = 2a\,\sin\frac{2\pi t}{T}\,\cos\frac{2\pi x}{\lambda}$$

これは各点で振幅 $2a\left|\cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right|$ で振動する定在波。振幅の最大値は $\cos=\pm1$ のとき $\boxed{2a}$（腹）。振幅 0（節）は $\cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}=0$、すなわち

$$\frac{2\pi x}{\lambda}=\frac{\pi}{2}+n\pi \;\Rightarrow\; x=\frac{\lambda}{4},\ \frac{3\lambda}{4},\ \frac{5\lambda}{4},\ \frac{7\lambda}{4}\quad(=\text{B, D, F, H})$$

図2 で A〜H は $\dfrac{\lambda}{4}$ 間隔（A=0, B=$\tfrac{\lambda}{4}$, …, H=$\tfrac{7\lambda}{4}$）なので、A〜G のうち振幅が常に 0 となる点は B・D・F。

補足：壁の位置 H が「節」になる理由

固定端では壁が動かないので、その点の変位は常に 0 でなければならない。入射波と反射波が逆位相で重なるので、$x=H_x$ では必ず打ち消し合う。$y_1+y_2=2a\sin\frac{2\pi t}{T}\cos\frac{2\pi x}{\lambda}$ に $x=\frac{7\lambda}{4}$ を代入すると $\cos\frac{7\pi}{2}=0$ となり、確かに節。腹は節と節の中点（H から $\lambda/4$ ずれた点）に来る。

問2 薄膜 (7)〜(11)：薄膜による反射光の干渉

(7) 屈折の法則：空気（屈折率 1）から薄膜（屈折率 $n$）へ、入射角 $i$・屈折角 $r$ で進むので

$$\sin i = n\sin r$$

(8)(9) 反射光の干渉条件：膜内を往復する光の光路差は $2nd\cos r$。表面反射①は「空気 → 膜（薄 → 濃）」で位相 $\pi$ ずれ、底面反射②は「膜 → 空気（濃 → 薄）」で位相ずれなし。反射の段階で位相差 $\pi$（＝半波長ぶん）が入るので、強め合いは光路差が半波長ずれのとき：

$$\text{強め合い（明）：}\quad 2nd\cos r = \left(m+\tfrac12\right)\lambda \qquad (m=0,1,2,\dots)$$ $$\text{弱め合い（暗）：}\quad 2nd\cos r = m\lambda$$

(10) 次に極大となる波長：$\tan i=\sqrt{\dfrac{13}{12}}$ より、$\sin i=\dfrac{\sqrt{13}}{5},\ \cos i=\dfrac{\sqrt{12}}{5}$（斜辺 $\sqrt{13+12}=5$）。光路長 $L\equiv 2nd\cos r$ は波長に依存しない一定値。波長 720 nm で極大（明）、波長を短くすると 540 nm で極小（暗）となった。極大の次は極小で、隣り合う「極大 → 極小」は位相が $\pi$（次数で $\tfrac12$）変化するので、整数 $k$ を用いて

$$L = \left(k+\tfrac12\right)\cdot 720 = (k+1)\cdot 540$$

これを解くと $720k+360 = 540k+540 \Rightarrow 180k = 180 \Rightarrow k=1$。よって

$$L = \left(1+\tfrac12\right)\times 720 = 1080\ \text{nm}\quad(\text{確認：}(1+1)\times540=1080\ \checkmark)$$

さらに波長を短くすると、次の極大は次数 $k+\tfrac32=\tfrac52$ のとき：

$$\lambda_{\text{次}} = \frac{L}{k+\frac32} = \frac{1080}{2.5} = 432\ \text{nm} \fallingdotseq 4.3\times10^{2}\ \text{nm}$$

(11) 厚さ $d=450$ nm のときの屈折率：$\cos r=\sqrt{1-\sin^2 r}=\dfrac{\sqrt{25n^2-13}}{5n}$（$\sin r=\dfrac{\sin i}{n}=\dfrac{\sqrt{13}}{5n}$）より、

$$L = 2nd\cos r = 2d\cdot\frac{\sqrt{25n^2-13}}{5} = 1080\ \text{nm}$$

$d=450$ nm を代入すると、

$$\frac{2\times450}{5}\sqrt{25n^2-13} = 180\sqrt{25n^2-13} = 1080 \;\Rightarrow\; \sqrt{25n^2-13}=6$$ $$25n^2-13 = 36 \;\Rightarrow\; 25n^2 = 49 \;\Rightarrow\; n=\frac{7}{5}=1.4$$

補足：位相反転の有無の見分け方

光が反射するとき、屈折率の小さい側から大きい側へ向かう面での反射では位相が $\pi$ ずれる（固定端反射と同じ）。逆向きでは位相ずれなし。

• 表面①：空気 (1) → 膜 (n>1) の反射 → 位相 $\pi$ ずれ
• 底面②：膜 (n) → 空気 (1) の反射 → 位相ずれなし

差し引きで反射による位相差が $\pi$ つくため、強め合い条件が「半波長ずれ」$\left(m+\tfrac12\right)\lambda$ になる。もし膜の下がガラス（$n_{\text{ガラス}}>n_{\text{膜}}$）なら、底面でも $\pi$ ずれて反射の位相差が打ち消され、強め合い条件は $m\lambda$ に変わる。「上下どちらの面で位相反転するか」を毎回確認することが最重要。

補足：cos r を消去して計算する別ルート

$\sin i=n\sin r$ と $\cos r=\sqrt{1-\sin^2 r}$ から、光路差を $i$ で表すと

$$2nd\cos r = 2d\sqrt{n^2-\sin^2 i}$$

となり、$\sin^2 i=\dfrac{13}{25}$ を代入すると $2d\sqrt{n^2-\frac{13}{25}}=\dfrac{2d}{5}\sqrt{25n^2-13}$。本文の式と一致する。$\cos r$ を直接求めなくても、$\sqrt{n^2-\sin^2 i}$ の形にすれば屈折角 $r$ を経由せずに解ける。