解法の指針

正弦波の基本表現から始まり、波の反射による合成波（定在波）の発生、そして薄膜における光の干渉までを扱う波動総合問題。

問題の構成

• 問1 右向きに進む正弦波の原点・任意位置での変位。波長 $\lambda$、周期 $T$、振幅 $a$ を用いた基本形
• 問2 固定端 H（反射壁）での反射。入射波と反射波の位相関係、振幅の最大・最小点（腹と節）の位置
• 問3 薄膜干渉。屈折率 $r = \sqrt{13/12}$ の膜に垂直入射した光の、反射強度の波長依存性から膜厚 $d$ を求める

問1 (1)：原点 O で時刻 $t$ における変位

立式：振幅 $a$、周期 $T$、初期位相 $0$ rad の単振動：

$$y(0, t) = a \sin\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)$$

角振動数 $\omega = 2\pi/T$ を用いれば、$y = a \sin(\omega t)$ とも書ける。

補足：各表現の対応

• $y = a \sin(2\pi t/T)$ ← 周期 $T$ を使う
• $y = a \sin(2\pi f t)$ ← 振動数 $f = 1/T$ を使う
• $y = a \sin(\omega t)$ ← 角振動数 $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$

同じ現象を違う文字で表現しただけ。どの表現を使うかは問題の指示に従う。

問1 (2)：位置 $x$ における時刻 $t$ の変位

立式：位置 $x$ での時刻 $t$ の変位は、原点での時刻 $t - x/c$ の変位と等しい（波の速さ $c = \lambda/T$）：

$$y(x, t) = a \sin\left(\dfrac{2\pi (t - x/c)}{T}\right)$$

$x/c = T x/\lambda$ を代入して整理：

$$y(x, t) = a \sin\left(\dfrac{2\pi t}{T} - \dfrac{2\pi x}{\lambda}\right) = a \sin\left(2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\right)$$

補足：角振動数と波数

角振動数 $\omega = 2\pi/T$、波数 $k = 2\pi/\lambda$ を用いると、より簡潔に

$$y = a \sin(\omega t - k x)$$

と書ける。$\omega$ は時間的な位相変化の速さ、$k$ は空間的な位相変化の速さ。

問2 (4)-(6)：固定端反射と合成波

固定端反射の原理：反射壁 H（位置 $x = H_x$）で波が反射するとき、位相が $\pi$ ずれる（符号反転）。

(4) 反射波の距離

時刻 $t$ に位置 $x$ で観測される反射波は、「過去に波源 O で発した波が、壁 H で反射し、戻ってきた」もの。移動距離は$(H_x - 0) + (H_x - x) = 2 H_x - x$。この距離を音速 $c$ で進むので、時間 $\dfrac{2H_x - x}{c}$ かかる。

したがって、反射波が $x$ に到達する時刻 $t$ に対応する、波源での発信時刻は $t' = t - \dfrac{2H_x - x}{c}$。

(あ) 固定端での位相変化

固定端反射では、波が反射するときに位相が $\pi$ ずれる（「壁で叩かれて跳ね返る」イメージ）。逆に、自由端反射では位相ずれはない。

(5)(6) 振幅最大・最小の位置

合成波 = 入射波 + 反射波。入射波 $y_1 = a \sin(2\pi(t/T - x/\lambda))$、反射波 $y_2 = -a \sin(2\pi(t/T - (2H_x-x)/\lambda))$（符号反転）。三角関数の和と積の公式で整理すると、

$$y_1 + y_2 = 2 a \sin\left(\dfrac{2\pi (H_x - x)}{\lambda}\right) \cos\left(\dfrac{2\pi (t/T - H_x/\lambda)}{1}\right)$$

（位相の詳細は省略）。振幅部分 $2a |\sin(2\pi(H_x - x)/\lambda)|$ は、

• 最大 $2a$（腹）: $\sin = \pm 1$ ⇒ $2\pi(H_x - x)/\lambda = \pi/2, 3\pi/2, \ldots$、すなわち $H_x - x = \lambda/4, 3\lambda/4, \ldots$
• 最小 $0$（節）: $\sin = 0$ ⇒ $2\pi(H_x - x)/\lambda = 0, \pi, 2\pi, \ldots$、すなわち $H_x - x = 0, \lambda/2, \lambda, \ldots$

別解：複素数表示

複素振幅 $A_1 e^{i(\omega t - k x)}$ と $-A_2 e^{i(\omega t - k(2H_x - x))}$ の和を取り、実部を取ると上の結果と同じになる。複素数表示は多重反射・干渉の計算を単純化する。

問3：薄膜による光の干渉

設定：屈折率 $r = \sqrt{13/12}$ の薄膜（厚さ $d$）が屈折率の大きい基板の上に乗っている（空気 < 膜 < 基板）。光が垂直入射する。

干渉の条件：上面反射（空気 → 膜、位相 $\pi$ ずれ）と、下面反射（膜 → 基板、位相ずれあり）の経路差。基板の屈折率が膜より大きいので、下面反射でも位相 $\pi$ ずれる。両方の反射で位相 $\pi$ ずれるので、相対的な位相差は $0$（打ち消し合わない）。光路差は $2 n d$（$n = r$、往復距離）。

強め合い（反射光最大）: $2 r d = m \lambda$（$m$ は整数、正）

弱め合い（反射光最小）: $2 r d = (m + 1/2) \lambda$

問題設定：$\lambda_1 = 540$ nm と $\lambda_2 = 450$ nm で反射強度が最小になる。整数 $m_1, m_2$ に対して、

$$2 r d = (m_1 + 1/2) \lambda_1 = (m_2 + 1/2) \lambda_2$$

$\lambda_1 = 540$, $\lambda_2 = 450$ で、$\lambda_2/\lambda_1 = 5/6$。$(m_1 + 1/2) \cdot 540 = (m_2 + 1/2) \cdot 450$ なので、$m_2 + 1/2 = \dfrac{6}{5}(m_1 + 1/2)$。整数解は、$m_1 = 2, m_2 = 3$（5/2 → 3）。これを代入：

$$2 r d = (2 + 1/2) \times 540 = 1350 \text{ nm}$$ $$d = \dfrac{1350}{2r} = \dfrac{1350}{2 \sqrt{13/12}}$$

$\sqrt{13/12} = \sqrt{13}/\sqrt{12} = \sqrt{13}/(2\sqrt 3)$ なので、

$$d = \dfrac{1350 \times 2\sqrt 3}{2 \sqrt{13}} = \dfrac{1350 \sqrt 3}{\sqrt{13}} \text{ nm}$$

$\sqrt{13}/\sqrt 3 = \sqrt{13/3} \fallingdotseq 2.08$。$d \fallingdotseq 1350/2.08 \fallingdotseq 649$ nm。

補足：位相反転の有無の判定

屈折率の小さい側から大きい側へ進む光が反射するとき、位相が $\pi$ ずれる（固定端反射と類似）。逆方向では位相ずれなし。

• 空気 (n=1) → 膜 (n=r): 上面反射で π ずれ
• 膜 (n=r) → 基板 (n>r): 下面反射で π ずれ

両方 π ずれなので、相対的位相差は $0$。したがって弱め合い条件は光路差が半整数、強め合い条件は整数。

補足：反射光から透過光へ

反射光の強め合いは、透過光の弱め合い（エネルギー保存）。薄膜干渉の応用例:

• 反射防止コート（カメラレンズ）: 膜厚を $\lambda/(4r)$ にして特定波長の反射を消す
• シャボン玉や水面の油膜の虹色: 膜厚が光の波長とほぼ等しい