下端を床に固定したばね（ばね定数 $k$）の上端に、質量 $m$ の板A を取り付ける。$x$ 軸は鉛直下向きを正にとり、ばねが自然長のときの上端を原点 $x=0$ とする。落下してきた小球B との完全非弾性衝突、その後の単振動、さらに小球C を乗せた系の運動を扱う総合問題。
設定：ばね定数 $k$ のばねの上端に質量 $m$ の板A を取り付ける。自然長のときの上端を原点、$x$ 軸は鉛直下向きを正とする。板A が座標 $x_0\,(\gt 0)$ にあるとき、ばねは $x_0$ だけ縮んでいるので、板A を上向き（$-x$ 向き）に大きさ $k x_0$ で押す。
立式：板A の鉛直方向の力のつり合い。下向き（正）の重力 $mg$ と、上向き（負）のばねの力 $k x_0$ がつり合う。
$$mg - k x_0 = 0$$これを $x_0$ について解くと、
$$x_0 = \dfrac{mg}{k}$$例：$m = 0.20$ kg, $k = 40$ N/m, $g = 9.8$ m/s² のとき、
$$x_0 = \dfrac{0.20 \times 9.8}{40} = 0.049 \text{ m} \fallingdotseq 4.9 \text{ cm}$$板A は自然長より約 $4.9$ cm 下に沈んでつり合う。
座標軸は下向き正なので、つり合い位置 $x_0$ は正の値になる。ばねが縮んでいるとき、ばねの力は $-kx$（$x\gt 0$ で上向き）と書けることを押さえておくと、以降の運動方程式が一気に立てやすくなる。
設定：質量 $m$ の小球B を、$x_0$ から鉛直上向きに距離 $h$ 離れた位置から、鉛直下向きに速さ $v_0$ で射出する。板A に届くまで、B にはたらく力は重力 $mg$ のみ。よって B は初速 $v_0$、加速度 $g$ の等加速度運動で距離 $h$ だけ落下する。
立式：等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = 2 a \, s$（$a=g$、$s=h$）を用いる。
$$v_1^2 - v_0^2 = 2 g h$$これを $v_1$ について解くと、
$$v_1^2 = v_0^2 + 2 g h$$ $$v_1 = \sqrt{v_0^2 + 2 g h}$$射出点を高さの基準にとる。射出点での運動エネルギー $\tfrac{1}{2}m v_0^2$、$x_0$ に達したとき高さは $h$ だけ下がる（位置エネルギー $-mgh$）。
$$\dfrac{1}{2}m v_0^2 + m g h = \dfrac{1}{2}m v_1^2$$両辺 $2/m$ 倍して、$v_1^2 = v_0^2 + 2gh$。同じ結果が得られる。
「初速つきの自由落下」は $v^2 = v_0^2 + 2gh$ が定番。$v_0=0$（静かに落とす）なら $v_1=\sqrt{2gh}$ に帰着する。射出が下向きなので、$v_0$ と重力による加速が同じ向きで足し合わさる点に注意。
設定：$x_0$ に達した直後、速さ $v_1$（下向き）の小球B が、静止していた板A と完全非弾性衝突（反発係数 $e=0$）し、一体となって運動する。衝突は一瞬なので、この間にばねの力・重力が与える力積は無視でき、運動量は保存する。
立式：衝突直後の共通の速さを $v_2$（下向き）とする。B と A はともに質量 $m$。
$$m v_1 + m \cdot 0 = (m + m)\, v_2$$左辺は衝突前（B のみ運動）、右辺は衝突後（A＋B が一体で速さ $v_2$）。整理して、
$$m v_1 = 2m\, v_2 \quad\Rightarrow\quad v_2 = \dfrac{v_1}{2}$$反発係数の定義「衝突後の相対速度 ÷ 衝突前の相対速度」で $e=0$ は「衝突後、両者の相対速度が $0$」＝一体化して同じ速さで動くことを意味する。だから合体後の速さは 1 つの値 $v_2$ で表せる。
衝突の瞬間は「運動量保存」を最優先で使う。重力やばねの力は有限の力なので、衝突の一瞬（時間 $\to 0$）に与える力積は無視できる。等質量どうしの完全非弾性衝突では速さがちょうど半分になる。
立式：力学的エネルギーの損失 $\Delta E$ は「衝突前の運動エネルギー」－「衝突直後の運動エネルギー」。衝突前は B（質量 $m$）だけが速さ $v_1$、衝突後は A＋B（質量 $2m$）が速さ $v_2 = v_1/2$。
$$\Delta E = \dfrac{1}{2} m v_1^2 - \dfrac{1}{2}(2m)\, v_2^2$$$v_2 = \dfrac{v_1}{2}$ を代入すると、$v_2^2 = \dfrac{v_1^2}{4}$。よって、
$$\Delta E = \dfrac{1}{2} m v_1^2 - \dfrac{1}{2}(2m)\cdot \dfrac{v_1^2}{4} = \dfrac{1}{2} m v_1^2 - \dfrac{1}{4} m v_1^2$$整理して、
$$\Delta E = \dfrac{1}{4} m v_1^2$$質量 $m_1, m_2$ の物体（速度 $u_1, u_2$）が合体するとき失う運動エネルギーは、換算質量 $\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ を用いて
$$\Delta E = \dfrac{1}{2}\,\mu\,(u_1 - u_2)^2$$と書ける。ここでは $m_1 = m_2 = m$, $u_1 = v_1$, $u_2 = 0$ なので $\mu = \dfrac{m}{2}$、相対速度 $= v_1$。
$$\Delta E = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{m}{2}\cdot v_1^2 = \dfrac{1}{4}m v_1^2$$同じ結果。等質量どうしなら「衝突前の運動エネルギーのちょうど半分」が失われる。
完全非弾性衝突では運動量は保存するが力学的エネルギーは保存しない。失われた分は熱や変形に変わる。等質量の合体では、衝突前の運動エネルギーの半分が失われる（$\tfrac12 m v_1^2 \to \tfrac14 m v_1^2$）。
設定：衝突後、質量 $2m$ の一体は座標 $x_0=\dfrac{mg}{k}$ から、下向きに速さ $v_2$ で運動を始める。ばねを縮めながら減速し、座標 $x_3$ で速さが $0$ になる。$x_0$ から $x_3$ の間で力学的エネルギーは保存する（ばね・重力はともに保存力）。
立式：基準を $x=0$（自然長）にとる。座標 $x$（下向き正）での力学的エネルギーは、$x$ だけ下がると重力の位置エネルギーは $-(2m)g\,x$ だけ減ることに注意して、
$$E(x) = \dfrac{1}{2}(2m)v^2 + \dfrac{1}{2}k x^2 - (2m)g\,x$$座標 $x_0$（速さ $v_2$）と $x_3$（速さ $0$）で等しい：
$$\dfrac{1}{2}(2m)v_2^2 + \dfrac{1}{2}k x_0^2 - 2mg\,x_0 = \dfrac{1}{2}k x_3^2 - 2mg\,x_3$$ここで $x_0 = \dfrac{mg}{k}$ を代入すると、$\dfrac{1}{2}k x_0^2 - 2mg\,x_0 = \dfrac{m^2 g^2}{2k} - \dfrac{2m^2 g^2}{k} = -\dfrac{3 m^2 g^2}{2k}$。よって左辺は
$$m v_2^2 - \dfrac{3 m^2 g^2}{2k}$$これを右辺 $\dfrac{1}{2}k x_3^2 - 2mg\,x_3$ と等しいとおいて整理すると、$x_3$ の 2 次方程式：
$$\dfrac{1}{2}k x_3^2 - 2mg\,x_3 - m v_2^2 + \dfrac{3 m^2 g^2}{2k} = 0$$両辺を $\dfrac{2}{k}$ 倍して、
$$x_3^2 - \dfrac{4mg}{k} x_3 - \dfrac{2m v_2^2}{k} + \dfrac{3 m^2 g^2}{k^2} = 0$$解の公式で（$x_3$ は $x_0$ より深い＝大きい方の根をとる）、
$$x_3 = \dfrac{2mg}{k} + \sqrt{\left(\dfrac{2mg}{k}\right)^2 - \dfrac{3 m^2 g^2}{k^2} + \dfrac{2m v_2^2}{k}}$$根号内の $mg$ の項をまとめると $\dfrac{4m^2 g^2}{k^2} - \dfrac{3 m^2 g^2}{k^2} = \dfrac{m^2 g^2}{k^2}$。よって、
$$x_3 = \dfrac{2mg}{k} + \sqrt{\dfrac{m^2 g^2}{k^2} + \dfrac{2m v_2^2}{k}}$$質量 $2m$ の系の新しいつり合い位置は $x_{\text{eq}} = \dfrac{2mg}{k}$。ここを中心に角振動数 $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{2m}}$ の単振動をする。つり合い位置からの変位 $X = x - x_{\text{eq}}$ で書くと、振幅 $A$ は
$$A^2 = X_0^2 + \dfrac{v_2^2}{\omega^2}, \qquad X_0 = x_0 - x_{\text{eq}} = \dfrac{mg}{k} - \dfrac{2mg}{k} = -\dfrac{mg}{k}$$ $$A^2 = \dfrac{m^2 g^2}{k^2} + \dfrac{2m v_2^2}{k}$$最も深い点は $x_3 = x_{\text{eq}} + A$：
$$x_3 = \dfrac{2mg}{k} + \sqrt{\dfrac{m^2 g^2}{k^2} + \dfrac{2m v_2^2}{k}}$$2 次方程式を解かずに済む。単振動と見抜けると圧倒的に速い。
ばね付き系の運動は、質量が変わるとつり合い位置も $\dfrac{(\text{全質量})g}{k}$ に移動する。衝突後は質量 $2m$ なので、つり合いは $\dfrac{2mg}{k}$。この位置を中心とする単振動と捉えると、最深点や速さの計算が一気に楽になる。
設定：板A（質量 $m$）の上に小球C（質量 $m$）を乗せて一体で運動させる。座標 $x$ における加速度を $a$（下向きを正）、A と C の間にはたらく垂直抗力の大きさを $F$ とする。板A が座標 $x$ にあるとき、ばねは $x$ だけ縮み、板A を上向き（$-x$ 向き）に $kx$ で押す。
(6) 板A の運動方程式：板A（質量 $m$）にはたらく力は、重力 $mg$（下向き・正）、ばねの力 $-kx$（上向き・負）、そしてC から受ける垂直抗力の反作用 $+F$（C が A を下向きに押す・正）。
$$ma = mg - kx + F$$(7) 小球C の運動方程式：小球C（質量 $m$）にはたらく力は、重力 $mg$（下向き・正）と、板A から受ける垂直抗力 $F$（上向き・負）。
$$ma = mg - F$$(6) と (7) を辺々加えると、作用反作用の $F$ が消えて
$$2m a = 2mg - kx$$これは質量 $2m$ の一体系の運動方程式そのもの。つり合い位置 $x_{\text{eq}} = \dfrac{2mg}{k}$、角振動数 $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{2m}}$ の単振動であることが確認できる。
接触する 2 物体は、それぞれ別々に運動方程式を立てるのが基本。垂直抗力 $F$ は「C にとっては上向き、A にとっては下向き（反作用）」と向きが逆になる。符号を間違えないよう、各物体で力の向きを丁寧に確認する。
(8) 離れる瞬間の垂直抗力 $F$：小球C が板A から離れるのは、両者を押し合う接触力が消える瞬間、すなわち
$$F = 0$$(9) 離れる座標：$F=0$ を代入して、離れる位置を求める。まず小球C の運動方程式 (7) に $F=0$ を代入すると、その瞬間の加速度は
$$ma = mg - 0 \quad\Rightarrow\quad a = g$$一方、A と C が接触したまま運動する間、一体系（質量 $2m$）の運動方程式は (6)+(7) より $2ma = 2mg - kx$。離れる瞬間はまだ加速度が共通なので $a=g$ を代入すると、
$$2m \cdot g = 2mg - k x$$両辺の $2mg$ が消えて、
$$0 = - k x \quad\Rightarrow\quad x = 0$$つまりばねが自然長（$x=0$）になる瞬間に C は板A から離れて飛び出す。
$x\gt 0$（ばね縮み）の間は、ばねが系を上向きに押し、系の加速度は $g$ より小さい（減速される向き）。このとき C は板A に $F\gt 0$ で押しつけられている。$x=0$ を過ぎて $x\lt 0$（ばね伸び）になると、ばねは系を下向きに引くため、板A は $g$ より大きい加速度で下向きに運動しようとする。しかし C には下向きに引く力がない（重力だけ）ので、C は板A から置いていかれる＝離れる。ちょうど境目が $x=0$ で $F=0$。
「面から離れる ⇔ 垂直抗力 $=0$」は接触問題の鉄則。ばね＋質点系では、離れる位置は系の加速度がちょうど $g$ になる位置＝ばねが自然長の位置。問1 で板A と小球B が離れる位置も同じく $x=0$（自然長）で、共通の構造をもつ。
設定：A＋C の一体（質量 $2m$）を、つり合い位置 $x_4 = \dfrac{2mg}{k}$ から $d$ だけ鉛直下向きに押し下げ（座標 $x_4 + d$、速さ $0$）、静かに手を離す。離れる位置 $x=0$ での速さ $v_5$ を、力学的エネルギー保存則で求める。
立式：基準を $x=0$（自然長）にとる。座標 $x$（下向き正、質量 $2m$）での力学的エネルギーは
$$E(x) = \dfrac{1}{2}(2m)v^2 + \dfrac{1}{2}k x^2 - (2m)g\,x$$出発点 $x = x_4 + d = \dfrac{2mg}{k} + d$（速さ $0$）と、離れる点 $x = 0$（速さ $v_5$）で等しい：
$$\dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{2mg}{k} + d\right)^2 - 2mg\left(\dfrac{2mg}{k} + d\right) = \dfrac{1}{2}(2m)v_5^2$$左辺を展開する。$\left(\dfrac{2mg}{k}+d\right)^2 = \dfrac{4m^2g^2}{k^2} + \dfrac{4mgd}{k} + d^2$ より、
$$\dfrac{1}{2}k\!\left(\dfrac{4m^2g^2}{k^2} + \dfrac{4mgd}{k} + d^2\right) - 2mg\!\left(\dfrac{2mg}{k} + d\right)$$ $$= \dfrac{2m^2g^2}{k} + 2mgd + \dfrac{1}{2}k d^2 - \dfrac{4m^2g^2}{k} - 2mgd = \dfrac{1}{2}k d^2 - \dfrac{2m^2g^2}{k}$$したがって右辺 $= m v_5^2$ とおくと、
$$m v_5^2 = \dfrac{1}{2}k d^2 - \dfrac{2m^2 g^2}{k}$$両辺を $m$ で割って、
$$v_5^2 = \dfrac{k d^2}{2m} - \dfrac{2m g^2}{k}$$ $$v_5 = \sqrt{\dfrac{k d^2}{2m} - \dfrac{2m g^2}{k}}$$質量 $2m$ の系のつり合い位置 $x_4 = \dfrac{2mg}{k}$ を中心とする単振動、$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{2m}}$、振幅は押し下げ量 $d$。つり合い位置からの変位 $X$ での速さは
$$v^2 = \omega^2 (d^2 - X^2)$$離れる位置 $x=0$ での変位は $X = 0 - \dfrac{2mg}{k} = -\dfrac{2mg}{k}$。よって
$$v_5^2 = \dfrac{k}{2m}\left(d^2 - \dfrac{4m^2 g^2}{k^2}\right) = \dfrac{k d^2}{2m} - \dfrac{2m g^2}{k}$$重力の項を含まない座標系なので、展開計算が要らず一瞬で出る。
$v_5^2 \geq 0$ より $\dfrac{k d^2}{2m} \geq \dfrac{2m g^2}{k}$、すなわち $d^2 \geq \dfrac{4 m^2 g^2}{k^2}$、
$$d \geq \dfrac{2mg}{k}$$これは「押し下げ量 $d$ が、つり合い位置 $x_4$ から自然長までの距離 $\dfrac{2mg}{k}$ 以上」という条件。問題文の「$d$ が十分大きいとき」はこれを指しており、$d\lt \dfrac{2mg}{k}$ だと系は自然長に届かず、C は板A から離れない。
ばね＋質点の単振動では、押し下げた量 $d$ がそのまま振幅になる。速さは「振幅と、つり合い位置からの距離」だけで決まり、$v^2 = \omega^2(A^2 - X^2)$ が使える。$X = \dfrac{2mg}{k}$（自然長までの距離）を代入すれば $v_5$ が求まる。
設定：飛び出した小球C を回収すると、ばねに残るのは板A（質量 $m$）のみ。板A はばねに取り付けられたまま単振動を続ける。
立式：板A のみの運動方程式。座標 $x$（下向き正）で、重力 $mg$ とばねの力 $-kx$ を受ける。
$$m a = mg - k x$$つり合い位置 $x_{\text{eq}} = \dfrac{mg}{k}$ からの変位 $X = x - \dfrac{mg}{k}$ を用いると、$a = \ddot X$ かつ $mg - kx = -kX$ なので、
$$m \ddot{X} = -k X \quad\Rightarrow\quad \ddot{X} = -\dfrac{k}{m} X$$これは角振動数 $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ の単振動。周期は $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ より、
$$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$$ばね振り子の周期は $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{(\text{振動する質量})}{k}}$。C を乗せて一体（質量 $2m$）で振動していたときの周期は $T' = 2\pi\sqrt{\dfrac{2m}{k}}$ で、C を回収して質量 $m$ になると $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$。両者の比は $\dfrac{T'}{T} = \sqrt{2}$ で、質量が半分になると周期は $\dfrac{1}{\sqrt2}$ 倍になる。周期は重力加速度 $g$ にも振幅にもよらない点が、ばね振り子の重要な特徴。
鉛直ばね振り子でも、つり合い位置を原点にとり直すと重力が消え、単純な単振動 $\ddot X = -\dfrac{k}{m}X$ になる。周期は $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ で、重力加速度にも初期振幅にも無関係。この普遍性が単振動の面白さ。
大問1（問1・問2）の空欄 (1)〜(11) の解答をまとめる。
| 番号 | 解答 |
|---|---|
| (1) $x_0$ | $\dfrac{mg}{k}$ |
| (2) $v_1$ | $\sqrt{v_0^2 + 2gh}$ |
| (3) $v_2$ | $\dfrac{v_1}{2}$ |
| (4) $\Delta E$ | $\dfrac{1}{4}m v_1^2$ |
| (5) $x_3$ | $\dfrac{2mg}{k} + \sqrt{\dfrac{m^2 g^2}{k^2} + \dfrac{2m v_2^2}{k}}$ |
| (6) 板A | $ma = mg - kx + F$ |
| (7) 小球C | $ma = mg - F$ |
| (8) $F$ | $0$ |
| (9) 離れる座標 | $0$（自然長） |
| (10) $v_5$ | $\sqrt{\dfrac{k d^2}{2m} - \dfrac{2m g^2}{k}}$ |
| (11) $T$ | $2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ |
この問題を貫く 2 つの型：① 衝突は運動量保存、その後の運動はエネルギー保存＋単振動。② 面から離れる条件は垂直抗力 $=0$ ＝ 系の加速度が $g$ ＝ ばねが自然長。$x_0=\dfrac{mg}{k}$（質量 $m$）と $x_4=\dfrac{2mg}{k}$（質量 $2m$）のように、つり合い位置は乗っている総質量で決まることを常に意識すると全設問が見通しよく解ける。