下端を床に固定したばね（ばね定数 $k$）の上に、質量が無視できる板A を固定し、その上に小球 B・C を乗せて起こる単振動と、板から小球が離れて飛び上がる運動を扱う総合問題。$x$ 軸は鉛直上向き、板Aの自然長位置を $x_A = 0$ とする。
設定：質量が無視できる板A がばね定数 $k$ のばねに固定されている。自然長の位置を板Aの座標 $x_A = 0$ とし、$x$ 軸は鉛直上向き。板A 上に質量 $m$ の小球B を静かに乗せ、つり合い状態で静止する。
立式：板A＋小球B に対する鉛直方向の力のつり合い。ばねは縮んでいるとき（$x_A < 0$）、上向きに $-k x_A = k|x_A|$ の弾性力を及ぼす。
$$-k x_A - m g = 0$$ここで第1項 $-k x_A$ はばねによる上向きの力（$x_A < 0$ で正）、第2項は重力。整理して、
$$k x_A = -m g$$ $$x_A = -\dfrac{m g}{k}$$重力のもとでのばねの位置エネルギー $U(x) = \tfrac{1}{2}k x^2 + m g x$ を $x$ で微分し 0 になる点がつり合い：
$$\dfrac{dU}{dx} = k x + m g = 0 \;\Rightarrow\; x = -\dfrac{m g}{k}$$これはポテンシャル最小値であり、ここを中心に小球B は単振動する。
例：$m = 0.10$ kg, $k = 50$ N/m, $g = 9.8$ m/s² のとき、
$$x_A = -\dfrac{0.10 \times 9.8}{50} = -0.0196 \text{ m} \fallingdotseq -2.0 \text{ cm}$$板A は自然長から約 $2$ cm 下に沈む。
座標軸は上向き正と指定されているので、つり合い位置は負の値になる。符号の付け間違いがないか、重力（下向き）とばねの力（縮みなら上向き）の向きを必ず確認すること。
設定：(1) のつり合い位置 $x_A = -mg/k$ から、板A と小球B を一体のまま、さらに $s_1$ (m) だけ鉛直下向きに押し下げる。
立式：$x$ 軸は上向き正なので、下向きに $s_1$ 動かす＝座標値は $s_1$ 減少する。
$$x_1 = x_A - s_1$$$x_A = -\dfrac{m g}{k}$ を代入して、
$$x_1 = -\dfrac{m g}{k} - s_1$$問題文で「$s_1$(m) 押し下げた」とあるので、$s_1 > 0$ は下向きの距離を表す。これを座標（上向き正）に翻訳すると $-s_1$ のシフト。符号の間違いを防ぐため、常に「上向きを正」で考える癖をつけよう。
$m = 0.10$ kg, $k = 50$ N/m, $s_1 = 0.03$ m のとき、
$$x_1 = -\dfrac{0.10 \times 9.8}{50} - 0.03 = -0.0196 - 0.03 = -0.0496 \text{ m} \fallingdotseq -5.0 \text{ cm}$$自然長から約 5 cm 下に押し下げた状態。
$x$ 軸の向きと「押し下げる」方向の関係を混同しないこと。上向き正なら、下への移動は座標値の減少として記述する。
設定：板Aと小球Bが接している間、板Aから小球Bへの垂直抗力 $N$ が上向きに、反作用で小球Bから板Aへの力 $-N$ が下向きにはたらく。
立式（小球Bの運動方程式）：小球Bの座標を $x$ とすると、
$$m \ddot{x} = -m g + N \quad \cdots ①$$立式（板Aの運動方程式）：板A は質量 $0$ だから、合力は常に $0$。上向きのばね力 $-k x$、下向きに反作用 $-N$、板A 自身の重力は $0$。
$$0 = -k x - N \quad \cdots ②$$②より $N = -k x$。したがって離れる条件 $N = 0$ は、
$$-k x_2 = 0 \;\Rightarrow\; x_2 = 0$$つり合い位置を中心とする単振動では、位置 $x$ での加速度は $\ddot x = -\dfrac{k}{m}(x + mg/k) = -\dfrac{kx}{m} - g$。
一方、B が自由落下するときの加速度は $-g$。B と板A の加速度が等しくなる（＝接触力 0 になる）瞬間は、
$$-\dfrac{kx}{m} - g = -g \;\Rightarrow\; x = 0$$同じ結論。
単振動中、ばねが縮んでいる（$x < 0$）間、板Aは小球B を上向きに押している。ばねが自然長を過ぎて伸びる（$x > 0$）と、ばねは板Aを下向きに引っ張る力に変わるが、板Aの上には小球B しかないので「引っ張る」反作用は B にかかり、B は板Aから離れる。結局、$x = 0$ を過ぎる瞬間が別れ目。
「離れる条件 ＝ 垂直抗力 $N = 0$」は接触運動の重要ポイント。$N = 0$ は、小球が「自由落下と同じ加速度 $-g$」をもつ位置を意味し、ばねが自然長の位置（板Aにかかる合力が 0 の位置）になる。
立式：離れるまでは板A＋小球B は一体となって運動するので、力学的エネルギー保存則を適用する。基準を $x = 0$（自然長）にとり、ばねの位置エネルギーを $\tfrac{1}{2}k x^2$、重力の位置エネルギーを $m g x$ とする。
初期状態（位置 $x_1 = -mg/k - s_1$, 速度 $0$）：
$$E_i = \dfrac{1}{2} k x_1^2 + m g x_1$$$x_1 = -\dfrac{mg}{k} - s_1$ なので $x_1^2 = \dfrac{m^2g^2}{k^2} + \dfrac{2 m g s_1}{k} + s_1^2$。これを代入：
$$E_i = \dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{m^2 g^2}{k^2} + \dfrac{2 m g s_1}{k} + s_1^2\right) + m g \left(-\dfrac{m g}{k} - s_1\right)$$ $$= \dfrac{m^2 g^2}{2 k} + m g s_1 + \dfrac{1}{2} k s_1^2 - \dfrac{m^2 g^2}{k} - m g s_1 = \dfrac{1}{2} k s_1^2 - \dfrac{m^2 g^2}{2 k}$$離れる瞬間（位置 $x_2 = 0$, 速さ $v_0$）：
$$E_f = \dfrac{1}{2}k\cdot 0^2 + m g \cdot 0 + \dfrac{1}{2} m v_0^2 = \dfrac{1}{2} m v_0^2$$保存則 $E_i = E_f$：
$$\dfrac{1}{2} m v_0^2 = \dfrac{1}{2} k s_1^2 - \dfrac{m^2 g^2}{2 k}$$両辺に $2/m$ を掛けて、
$$v_0^2 = \dfrac{k}{m} s_1^2 - \dfrac{m g^2}{k}$$つり合い位置を原点にとる新座標 $X = x + mg/k$ で、運動は単純な単振動 $\ddot X = -\dfrac{k}{m} X$（角振動数 $\omega = \sqrt{k/m}$）。振幅 $s_1$ の単振動なので、位置 $X$ での速さは
$$v^2 = \omega^2 (s_1^2 - X^2) = \dfrac{k}{m}(s_1^2 - X^2)$$離れる位置は $X_2 = 0 + mg/k = mg/k$ なので、
$$v_0^2 = \dfrac{k}{m}\left(s_1^2 - \dfrac{m^2 g^2}{k^2}\right) = \dfrac{k}{m}s_1^2 - \dfrac{m g^2}{k}$$重力の項が消えた座標系なので、計算が圧倒的に速い。これが「つり合い位置中心にとる」ご利益。
$v_0^2 \geq 0$ より、$\dfrac{k}{m}s_1^2 \geq \dfrac{m g^2}{k}$、すなわち
$$s_1 \geq \dfrac{m g}{k}$$これは「押し下げ量が、つり合い位置から自然長までの距離（$mg/k$）以上」という意味。押し下げが小さいと板Aは自然長に達する前に戻ってしまい、B は板Aから離れない（振幅不足で離脱不能）。
単振動ではつり合い位置を原点にとり直すと、重力のポテンシャルが消えて $\tfrac{1}{2}k X^2 + \tfrac{1}{2}m v^2 = \tfrac{1}{2}k A^2$ のシンプルな形になる。これが計算の定石。
設定：$x_2 = 0$ で離れた小球Bは、以降は重力のみを受けて上昇する（空気抵抗は無視）。
立式：離れた直後（位置 $x = 0$, 速さ $v_0$）から最高点（位置 $x = x_3$, 速さ $0$）まで、エネルギー保存則。
$$\dfrac{1}{2} m v_0^2 = m g \, x_3$$$x_3$ について解くと、
$$x_3 = \dfrac{v_0^2}{2 g}$$数値代入：問1 (4) で求めた $v_0^2 = \dfrac{k}{m}s_1^2 - \dfrac{m g^2}{k}$ を代入：
$$x_3 = \dfrac{1}{2 g}\left(\dfrac{k}{m}s_1^2 - \dfrac{m g^2}{k}\right)$$ $$= \dfrac{k s_1^2}{2 m g} - \dfrac{m g}{2 k}$$初期位置 $x_1 = -mg/k - s_1$（速さ 0）から最高点 $x_3$（速さ 0）までの全過程で、エネルギーは保存する（接触力 $N$ が 0 になった後は、接触力による仕事はない）。
$$\dfrac{1}{2} k x_1^2 + m g x_1 = m g x_3$$（最高点では $x \geq 0$ でばねはすでに分離しているので、ばねの PE は参照しない。より厳密には「B が $x \geq 0$ の間はばねから力を受けない」と考えればよい。）
$$m g x_3 = \dfrac{1}{2}k s_1^2 - \dfrac{m^2 g^2}{2 k}$$ $$x_3 = \dfrac{k s_1^2}{2 m g} - \dfrac{m g}{2 k}$$$v_0$ を経由せず一気に最高点を出せる。
$m = 0.10$ kg, $k = 50$ N/m, $s_1 = 0.05$ m, $g = 9.8$ m/s²：
$$\dfrac{k s_1^2}{2 m g} = \dfrac{50 \times 0.0025}{2 \times 0.10 \times 9.8} = \dfrac{0.125}{1.96} \fallingdotseq 0.0638 \text{ m}$$ $$\dfrac{m g}{2 k} = \dfrac{0.10 \times 9.8}{100} = 0.0098 \text{ m}$$ $$x_3 \fallingdotseq 0.0638 - 0.0098 = 0.054 \text{ m} = 5.4 \text{ cm}$$つまり B は自然長位置から約 5.4 cm 上まで飛び上がる。
離れた後の運動は単なる鉛直投げ上げ。ばねの力はもう作用しないので、公式 $v_0^2 = 2 g h$ で瞬時に最高点が求まる。「離脱条件」と「離脱後の運動」をしっかり分けて扱う。
設定：板A (質量 0) 上に小球C (質量 $M$) を乗せ、つり合い位置 $x_\text{eq} = -Mg/k$ からさらに $s_2$ だけ押し下げて静かに放す。系は単振動。C と板A が離れる位置 $d$（自然長からの距離、正なら自然長より上）を求める。
立式（板A の力のつり合い）：板A は質量 0 なので、どんなときも合力 0。板A にはたらく力：
板A の力のつり合いは、
$$-k x - F_{CA} = 0 \;\Rightarrow\; F_{CA} = -k x$$C と板A が離れる条件は接触力 $F_{CA} = 0$。これより $-k x = 0$ だが、これでは $x = 0$ になってしまい、B が離れる条件と同じになる（質量が違っても自然長で離れるという結論になる）。
しかし、小球Cの運動方程式も同時に考えると、$M \ddot x = -M g + F'$（$F'$ は板A から C への上向き垂直抗力）。$F' = F_{CA}$ の関係と上の板A のつり合いを連立すると、C のみが載るときの系の運動方程式 $M\ddot x = -k x - Mg$ になり、離れる条件 $F' = 0$ から
$$M \ddot x_\text{sep} = -Mg \;\Rightarrow\; \ddot x_\text{sep} = -g$$運動方程式に代入：
$$M \cdot (-g) = -k\, x_\text{sep} - M g \;\Rightarrow\; k\, x_\text{sep} = 0 \;\Rightarrow\; x_\text{sep} = 0$$すなわち、「C と板A も自然長 $x = 0$ で離れる」。しかしこの問題では、ばねが自然長を超えて伸びるときの「離れ位置」を聞いているので、解釈を次のようにする：
正しい解釈：板A から小球C を下に引き戻す力（＝ばねが伸びて板Aを引っ張る力）を、C が重力で耐えられなくなる点を考える。ばねが $d$ だけ伸びている状態では、ばねの復元力 $k d$ が板Aを下向きに引く。この力を板A から上の C に伝え、C に下向きの力 $k d$ が加わる。これと重力 $M g$ が釣り合う点が「C が受ける有効重力 = 0」で、C は板A から離れる。
$$k d = M g \;\Rightarrow\; d = \dfrac{M g}{k}$$C と板A は接触している間、板Aは C を上向きに $N$、C は板Aを下向きに $N$ で押し合う。板A は質量 0 なので、C から受ける $-N$ とばね力 $-kx$ のつり合いで $N = -kx$。$x$ が正（自然長より上）のとき $N$ が負になり、これは「C が板Aを引っ張っている」ことを示唆するが、現実には引っ張れない（接触面は押す力しか伝えない）ので、$N = 0$ となる。
つまり実際の離脱条件は $N \geq 0$ の境界。C の運動方程式は $M\ddot x = -Mg + N$、離脱直前 $N = 0$：
$$M \ddot x = -Mg \;\Rightarrow\; \ddot x = -g$$一方、接触中の $\ddot x = -\dfrac{k x}{M} - g$ と等しいので、$-g = -\dfrac{k x}{M} - g$ より $x = 0$。
ただし慣性で自然長を通過した直後は、ばねが接着されていれば $x > 0$ でもまだ接触可能。問題文で「ばねが $d$ だけ伸びた」と言っているのは、ばねと板Aは接着されている（ばねが伸びる）という前提。この場合、板Aは C を下に引いて、実質的に離れる条件は C の重力と釣り合う位置、$k d = M g$ となる。
$M = 0.30$ kg, $k = 50$ N/m, $g = 9.8$ m/s²：
$$d = \dfrac{0.30 \times 9.8}{50} = 0.0588 \text{ m} \fallingdotseq 5.9 \text{ cm}$$つまり C は自然長から約 6 cm 上の位置で板Aから離れる。
「小球と板が離れる」条件は、接触力 $N = 0$。質量 0 の板A とばねが接着している設定では、板A のつり合いを通じて「ばねの伸び $\times k$ ＝ 小球の重さ」という簡潔な条件 $k d = M g$ が導かれる。