解法の指針

音波の波動方程式の基本表現から始まり、一次元直線上を動く音源のドップラー効果、そして円運動する音源が観測者に届く音波の振動数変化（円運動ドップラー）までを扱う波動総合問題。

問題の構成

• 問1（前半, (1)(2)(3)） 静止音源・観測者での正弦波の基本表現。原点の変位、位置 $x$ での遅れ時間、時刻 $t$・位置 $x$ での変位
• 問1（後半, (4)(5)(6)(7)） 音源が $x$ 正方向に速さ $v$ で動く場合、点 $P$ での観測時刻 $t$ に届く音がスピーカーから出された時刻 $t'$ を求め、そのときの変位を表現
• 問2 回転する音源（電子ブザー）による振動数の時間変化。3 つのグラフから最大・最小を持つものを選び、回転台 A, B, C の振幅と角速度を読み取る

問1 (1)：原点 O での時刻 t における変位

立式：原点 O の空気の変位 $y$ は、振幅 $a$、振動数 $f$、初期位相 0 の正弦関数：

$$y(0, t) = a \sin(2\pi f t)$$

$2\pi f = \omega$（角振動数）を使うと、$y = a \sin(\omega t)$ とも書ける。

補足：周期・角振動数との関係

周期 $T = 1/f$、角振動数 $\omega = 2\pi f = 2\pi / T$。これらの関係は正弦波の標準表記で重要。

$$y = a \sin(2\pi f t) = a \sin\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right) = a \sin(\omega t)$$

問1 (2)：位置 x で振動が遅れる時間

立式：音波が原点 O から位置 $x$ へ到達するのに要する時間は、距離を速さで割って、

$$\Delta t = \dfrac{x}{c}$$

補足：波長・振動数との関係

波の基本関係 $c = f \lambda$ を用いると、遅れ時間 $x/c$ は位相のずれ $2\pi f \cdot x/c = 2\pi x/\lambda$ に対応する。これは「距離 $x$ を進むと位相が $2\pi x/\lambda$ だけ遅れる」ことを意味する。

問1 (3)：時刻 t, 位置 x における変位

立式：位置 $x$ での時刻 $t$ の変位は、「原点での時刻 $t - x/c$ における振動」そのもの：

$$y(x, t) = y(0, t - x/c) = a \sin\bigl(2\pi f (t - x/c)\bigr)$$

$\lambda = c/f$ を用いて書き換えると、

$$y(x, t) = a \sin\left(2\pi f t - \dfrac{2\pi}{\lambda}x\right)$$

補足：進行波の一般形との対応

一次元の進行波（+x 方向）の一般形は

$$y = a \sin(k x - \omega t + \phi)$$

あるいは $y = a \sin(\omega t - k x)$（符号反転）。本問の形は後者で、波数 $k = 2\pi / \lambda$、角振動数 $\omega = 2\pi f$。

問1 (4)～(6)：音源移動時のドップラー効果（時刻の関係）

設定：音源（スピーカー）は $x = 0$ から $x$ 正方向に速さ $v$ で動く。$t = 0$ に原点を通過。点 $P$ は位置 $x = L$ に固定。時刻 $t$ に P で聞こえる音は、時刻 $t'$（$0 < t' < t$）に音源から発されたもの。スピーカーは P を通り越さない範囲とする。

(4) 音が進んだ距離 $l'$（音の伝播時間から）

音源から発された音が距離 $l'$ を進むのに要する時間は $t - t'$。音速 $c$ で進むので、

$$l' = c(t - t')$$

(5) 音源と P の距離 $l'$（位置から）

時刻 $t'$ に音源は位置 $x = v t'$ にいた。P の位置は $L$ なので、

$$l' = L - v t'$$

(6) $t'$ を $L, c, v, t$ で表す

(4)式 と (5)式 を等しくおいて $t'$ について解く：

$$c(t - t') = L - v t'$$ $$c t - c t' = L - v t'$$ $$c t - L = c t' - v t' = (c - v) t'$$ $$t' = \dfrac{c t - L}{c - v}$$

補足：$c > v$ の条件

分母 $c - v$ が正（$c > v$ つまり音源が音速以下で動く）のとき、$t'$ は意味を持つ。音速を超える場合はソニックブームの領域で、別の扱いが必要。

また、$t' \geq 0$ なら $c t \geq L$、つまり「音源が $x = 0$ から音を発してから時間 $L/c$ 以上経っている」という自然な条件になる。

問1 (7)：P における時刻 $t$ の空気の変位

立式：点 P で時刻 $t$ に観測される変位は、音源が時刻 $t'$ に発した変位と等しい。音源は振幅 $a$、振動数 $f$ で振動しているので、時刻 $t'$ に発する変位は $a \sin(2\pi f t')$。

$$y_P(t) = a \sin(2\pi f t')$$

(6) の結果 $t' = \dfrac{c t - L}{c - v}$ を代入：

$$y_P(t) = a \sin\left(2\pi f \cdot \dfrac{c t - L}{c - v}\right)$$

補足：観測される振動数（ドップラー効果）

位相を $t$ で微分すると観測角振動数：

$$\omega_\text{obs} = 2\pi f \cdot \dfrac{c}{c - v}$$

観測振動数 $f_\text{obs} = \dfrac{\omega_\text{obs}}{2\pi} = f \cdot \dfrac{c}{c - v}$。これが音源が観測者に近づくときのドップラー効果の公式。$v < c$ なら $f_\text{obs} > f$（音が高く聞こえる）。

補足：具体例

$f = 1000$ Hz, $c = 340$ m/s, $v = 20$ m/s のとき、

$$f_\text{obs} = 1000 \times \dfrac{340}{320} \fallingdotseq 1062.5 \text{ Hz}$$

音源が近づくとき、約 62.5 Hz 高い音として聞こえる。

問2 (あ)：振動数の変化が最大のグラフに対応する回転台

物理：回転する電子ブザー（音源）が観測者から見て近づくときは音が高く、遠ざかるときは低く聞こえる。角速度 $\omega$ の円運動なので、観測者方向の速度成分は $v_r(t) = r\omega \sin(\omega t)$（観測者が十分遠く、回転半径 $r$ と比べて距離が十分大きい場合）。ドップラー効果の公式から、

$$f_\text{obs}(t) = f \cdot \dfrac{c}{c - v_r(t)} = f \cdot \dfrac{c}{c - r\omega \sin(\omega t)}$$

$v_r \ll c$ の近似で、

$$f_\text{obs}(t) \approx f\left(1 + \dfrac{r \omega}{c} \sin(\omega t)\right)$$

• 振幅（振動数の最大値 - 最小値の半分）：$f \cdot r\omega/c$ に比例する。すなわち接線速度 $r\omega$ に比例
• 周期：回転周期 $T = 2\pi/\omega$

3 つのグラフ（回転台 A, B, C に対応）から：

• (あ) 振動数が最大の瞬間の値：接線速度 $r\omega$ が最大の回転台
• (い) 振動数が最小の瞬間の値：接線速度 $r\omega$ が同じ（振幅が同じ）と最も小さい
• (う) 周期が最短（角速度が最大）：$\omega$ が最大の回転台

問題文の対応から、最も振幅が大きく、かつ最も周期が短いのはC。

補足：具体例での振動数計算

$f = 1000$ Hz, $c = 340$ m/s, $r = 0.5$ m, $\omega = 10$ rad/s（$r\omega = 5$ m/s）のとき、

$$f_\text{max} = 1000 \times \dfrac{340}{340 - 5} \fallingdotseq 1014.9 \text{ Hz}$$ $$f_\text{min} = 1000 \times \dfrac{340}{340 + 5} \fallingdotseq 985.5 \text{ Hz}$$

振動数の振幅は約 $\pm 15$ Hz で、周期は $2\pi / 10 \fallingdotseq 0.63$ s。

補足：半径と角速度の独立性

振動数の振幅（音程の揺れ幅）は $r\omega$ に比例するので、半径 $r$ が 2 倍なら振幅 2 倍、$\omega$ が 2 倍なら振幅 2 倍。しかし周期は $\omega$ にのみ依存し、$r$ は関係ない。グラフの横方向（周期）は $\omega$、縦方向（振幅）は $r\omega$ を反映する。