正弦波の基本表現から出発し、①静止音源の進行波の式、②直線上を動く音源のドップラー効果を遅延時間の連立方程式で導く、③円運動する音源の振動数変化のグラフを読み取る、という3段構成の波動総合問題。
立式：原点 O の空気の変位 $y$ は、振幅 $a$、振動数 $f$（角振動数 $\omega = 2\pi f$）、初期位相 $0$ の単振動として、
$$y(0,\,t) = a \sin(\omega t) = a \sin(2\pi f t)$$結果：周期 $T = \dfrac{1}{f}$ を使うと $y = a\sin\!\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)$ とも書けるが、$f$ を用いた形が答え。
$t=0$ で位相が $0$ rad なら、その瞬間の変位は $a\sin 0 = 0$。すなわち $t=0$ で変位ゼロから正の向きへ動き出す。もし $\cos$ を使うと $t=0$ で変位が最大 $a$ になり、初期位相が $\dfrac{\pi}{2}$ ずれてしまう。問題文の「初期位相 $0$ rad」に忠実に $\sin$ を選ぶ。
正弦波の基本形 $a\sin(2\pi f t)$。初期位相が $0$ と明記されているので、余計な位相シフト（$\cos$ や $+\phi$）は不要。
立式：波の基本式より、音波の速さ（音速）は
$$c = f\lambda$$原点 O から位置 $x$ まで、この速さで伝わるのにかかる時間は「距離 ÷ 速さ」：
$$\Delta t = \dfrac{x}{c} = \dfrac{x}{f\lambda}$$結果：問1前半では音速 $c$ が文字として与えられていないため、$f$ と $\lambda$ を用いた $\dfrac{x}{f\lambda}$ が求める形。
遅れ時間 $\dfrac{x}{f\lambda}$ に $2\pi f$ を掛けると位相の遅れ $2\pi f\cdot\dfrac{x}{f\lambda}=\dfrac{2\pi}{\lambda}x$ になる。すなわち「距離 $x$ 進むと位相が $\dfrac{2\pi}{\lambda}x$ だけ遅れる」。$x=\lambda$ でちょうど位相 $2\pi$（1波長分）遅れるので理にかなっている。
この小問の落とし穴は音速 $c$ を勝手に使わないこと。与えられているのは $f$ と $\lambda$ だけなので、$c=f\lambda$ で書き換えて $\dfrac{x}{f\lambda}$ と答える。
立式：位置 $x$ での時刻 $t$ の変位は、「原点 O での時刻 $t-\dfrac{x}{f\lambda}$ の振動」に等しい。(1) の式 $y(0,t)=a\sin(2\pi f t)$ の $t$ を $t-\dfrac{x}{f\lambda}$ に置き換えて、
$$y(x,\,t) = a \sin\!\left(2\pi f\left(t - \dfrac{x}{f\lambda}\right)\right)$$途中計算：括弧を展開すると $2\pi f\cdot\dfrac{x}{f\lambda}=\dfrac{2\pi}{\lambda}x$ なので、
$$y(x,\,t) = a \sin\!\left(2\pi f t - \dfrac{2\pi}{\lambda}x\right)$$$+x$ 方向へ進む正弦波の一般形は、角振動数 $\omega=2\pi f$、波数 $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$ を使って
$$y = a\sin(\omega t - k x)$$本問はまさにこの形。位置 $x$ が大きいほど位相が遅れる（$-kx$）ので、波が $+x$ 方向へ進むことと整合する。
進行波は「$t \to t-\dfrac{x}{c}$ の置き換え」で機械的に作れる。$c=f\lambda$ を入れれば $-\dfrac{2\pi}{\lambda}x$ の位相項が現れる。
設定：スピーカーは $t=0$ に原点 O を通過し、$x$ 正方向へ速さ $v$ で動く（$v \lt c$、P を越えない）。点 P は $x=L$ に固定。時刻 $t$ に P で聞こえる音は、時刻 $t'$ に発された音で、そのときの音源と P の距離を $l'$ とする。
時刻 $t'$ に発された音は距離 $l'$ を音速 $c$ で進み、時刻 $t$ に P に届く。かかった時間は $t-t'$ なので、
$$l' = c\,(t - t') \quad\Longrightarrow\quad t - t' = \dfrac{l'}{c}$$$t'$ について解くと、
$$t' = t - \dfrac{l'}{c}$$時刻 $t'$ に音源は原点から $v t'$ だけ進んだ位置、すなわち $x = v t'$ にいた。P は $x=L$ なので、音源と P の距離は
$$l' = L - v t'$$(4) の $l' = c(t-t')$ と (5) の $l' = L - v t'$ を等しくおく：
$$c\,(t - t') = L - v t'$$左辺を展開して $t'$ の項を集める：
$$c t - c t' = L - v t'$$ $$c t - L = c t' - v t' = (c - v)\,t'$$両辺を $(c-v)$ で割って、
$$t' = \dfrac{c t - L}{c - v}$$音源が観測者へ近づくとき、観測振動数は $f_\text{obs} = f\cdot\dfrac{c}{c-v}$。周期は $\dfrac{c-v}{c}$ 倍に縮む。(6) の $t' = \dfrac{ct-L}{c-v}$ を $t$ で微分すると
$$\dfrac{dt'}{dt} = \dfrac{c}{c-v}$$となり、音源の固有時間 $t'$ が観測時間 $t$ に対して $\dfrac{c}{c-v}$ 倍の速さで進む＝観測される振動数が $\dfrac{c}{c-v}$ 倍になる、というドップラー効果と一致する。連立方程式の結果が公式と整合していることが確認できる。
移動音源は公式を丸暗記するより「$l'$ を2通りで表して連立」が確実。$c \gt v$（音源が音速未満）なので分母 $c-v \gt 0$。また $t'\ge 0$ の条件は $ct\ge L$、つまり「音を出してから $\dfrac{L}{c}$ 以上経った」という自然な条件になる。
立式：点 P で時刻 $t$ に観測される変位は、音源が時刻 $t'$ に発した変位に等しい。音源は振幅 $a$・振動数 $f$・初期位相 $0$ で振動しているので、時刻 $t'$ の変位は $a\sin(2\pi f t')$。よって、
$$y_P(t) = a \sin(2\pi f t')$$代入：(6) の $t' = \dfrac{c t - L}{c - v}$ を代入して、
$$y_P(t) = a \sin\!\left(2\pi f \cdot \dfrac{c t - L}{c - v}\right)$$位相 $\Phi(t) = 2\pi f\cdot\dfrac{ct-L}{c-v}$ を $t$ で微分すると観測角振動数：
$$\omega_\text{obs} = \dfrac{d\Phi}{dt} = 2\pi f\cdot\dfrac{c}{c-v} \quad\Rightarrow\quad f_\text{obs} = f\cdot\dfrac{c}{c-v}$$たとえば $f=1000$ Hz, $c=340$ m/s, $v=20$ m/s なら、
$$f_\text{obs} = 1000\times\dfrac{340}{340-20} = 1000\times\dfrac{340}{320} \f\fallingdotseq 1063\ \text{Hz}$$音源が近づくので約 63 Hz 高い音として聞こえる。近づく音源のドップラー公式 $f_\text{obs}=f\dfrac{c}{c-v}$ と完全に一致する。
ドップラー効果は「音源の振動 $a\sin(2\pi f t')$ に、時刻の方程式 $t'$ を代入する」だけで導ける。公式を覚えるより、この位相追跡の方が本質的で応用が利く。
物理の準備：観測者は回転台から十分遠い点 P にいる。音源 S の速度のうち視線（S→P）方向の成分 $v_r$ だけがドップラー効果に効く。円運動なので $v_r$ は $-r\omega$ から $+r\omega$ の間を正弦的に変化する。近づく向きを正にとると、ドップラー効果で観測振動数は
$$f_\text{obs}(t) = f\cdot\dfrac{c}{c - v_r(t)},\qquad v_r(t) = r\omega\sin(\omega t)$$$v_r \ll c$ の近似では、
$$f_\text{obs}(t) \f\fallingdotseq f\left(1 + \dfrac{r\omega}{c}\sin(\omega t)\right)$$この式から、グラフの2つの特徴を次のように読み替えられる：
図3 の3曲線を、縦の振れ幅（＝ $r\omega$）と横の周期（＝ $\dfrac{2\pi}{\omega}$）で比較すると：
整理すると、音源の速さ（振れ幅）$\;r\omega$ は $\;C \gt A = B$、角速度 $\omega$（周期の逆）は $\;B \gt A \gt C$。
音源の速さは振れ幅に比例。振れ幅最大は C。
$$(r\omega)_C \gt (r\omega)_A = (r\omega)_B \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{(あ)} = C}$$A と B は振れ幅が等しく、ともに最小。「適切なものをすべて選べ」なので両方が答え。
$$(r\omega)_A = (r\omega)_B \;(\text{最小}) \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{(い)} = A,\ B}$$角速度は周期の逆比 $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$。図3 で最も速く振動する（山の間隔が最も狭い）のは点線の A なので、周期最短は A。
$$T_A \lt T_B \lt T_C \quad\Rightarrow\quad \omega_A \gt \omega_B \gt \omega_C \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{(う)} = A}$$周期最長は C なので角速度最小。
$$\omega_C \;(\text{最小}) \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{(え)} = C}$$半径は「速さ ÷ 角速度」で取り出せる：
$$r = \dfrac{r\omega}{\omega}$$各回転台について、速さ $r\omega$ と角速度 $\omega$ の大小を代入する：
すなわち $r_C \gt r_B \gt r_A$。
$$\boxed{\text{(お)} = C\ (\text{半径最大}),\qquad \text{(か)} = A\ (\text{半径最小})}$$振れ幅を「振幅の目盛」で、周期を「山の間隔」で数値化してみる（相対値でよい）。図3 から
A：振幅 1、周期 1.3 B：振幅 1、周期 2 C：振幅 1.4、周期 3 と読める（点線 A の山の間隔が最も狭い）。すると
よって速さは $C \gt A = B$、角速度は $A \gt B \gt C$、半径は $r_C \gt r_B \gt r_A$。上の結論とすべて一致する。
$f=1000$ Hz, $c=340$ m/s, $r=0.5$ m, $\omega=10$ rad/s（$r\omega=5$ m/s）のとき、最も高い/低い振動数は
$$f_\text{max} = 1000\times\dfrac{340}{340-5} \f\fallingdotseq 1015\ \text{Hz},\qquad f_\text{min} = 1000\times\dfrac{340}{340+5} \f\fallingdotseq 986\ \text{Hz}$$振れ幅は約 $\pm 15$ Hz、時間周期は $\dfrac{2\pi}{10}\f\fallingdotseq 0.63$ s。$r\omega$ が大きいほど振れ幅が広がり、$\omega$ が大きいほど揺れが速くなることが数値でも確認できる。
回転音源のグラフ問題は「縦の振れ幅 ⇔ 速さ $r\omega$」「横の周期 ⇔ 角速度 $\omega$」の2本立てで攻める。半径は求めた速さと角速度から $r=\dfrac{r\omega}{\omega}$ で逆算する。速さが同じ（A・B）でも角速度が違えば半径は変わる点に注意。「すべて選べ」の指示があるので、同点の (い) は A と B の両方を書く。