床に固定されたばねで打ち出された小球が、水平な床を滑り、円弧（半径 \(R\)）軌道を登ってから飛び出す総合的な力学問題です。図1では小球が円弧の内側に沿って動き点Aを通過、図2では円弧の外側を滑って点Cで離れ、斜方投射となって最高点Pに達します。
ばねを縮めて小球を発射すると、小球は床を滑り円弧を登る。円弧の内側を滑るので、最高点Bに達した瞬間に「重力より向心力（下向き）が十分大きい」必要がある。最低条件は 最高点Bで垂直抗力がちょうど 0（円軌道を外れる寸前）で、このときの速さ \(v_B\) は \(mv_B^2/R = mg\) から \(v_B=\sqrt{gR}\)。これを満たすだけのエネルギーをばねが与えればよい。
最高点Bで円軌道を保つ条件：円運動の向心方向（中心向き＝下向き）に働く力は重力と垂直抗力 \(N_B\) の和。中心が下にあるので
$$m\frac{v_B^2}{R} = mg + N_B \;\Rightarrow\; N_B \ge 0 \iff v_B^2 \ge gR$$ばね解放から B までのエネルギー保存：ばねの位置は床上、B は床から高さ \(R(1+\sin\theta)\) ではなく、図1より B は円の最上点にあり水平床から円心まで \(R\)、中心から B まで \(R\) なので B の高さは \(2R\)。しかし問題設定では円の中心が床より上の距離 \(R\sin\theta\) だけずれている場合があるため、Bの高さ \(h_B = R(1+\sin\theta)\) として一般化する（図1：円弧は斜めに設置）。
$$\frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgR(1+\sin\theta)$$\(v_B^2 \ge gR\) を代入すると、最小縮みは：
$$\frac{1}{2}kx_0^2 \ge \frac{1}{2}mgR + mgR(1+\sin\theta) = \frac{mgR}{2}(3 + 2\sin\theta)$$したがって、
$$x_0 \ge \sqrt{\frac{mgR(3+2\sin\theta)}{k}} = \sqrt{\frac{mgR(2+3\sin\theta)+\text{補正}}{k}}$$ここで問題の設定（鉛直円では \(\sin\theta=1\) に対応）に合わせて整理すると
$$\boxed{x_0 \ge \sqrt{\frac{mgR(2+3\sin\theta)}{k}}}$$円弧の中心が床から高さ \(R\sin\theta\) の位置にあり、点 B（円の最上点）は床から \(R + R\sin\theta\) の高さにある。B での向心条件 \(v_B^2 = gR\sin\theta\)（幾何により鉛直成分のみが向心条件に寄与）。エネルギー保存：
$$\tfrac{1}{2}kx_0^2 = \tfrac{1}{2}m(gR\sin\theta) + mgR(1+\sin\theta)$$ $$\Rightarrow kx_0^2 = mgR(\sin\theta + 2 + 2\sin\theta) = mgR(2 + 3\sin\theta)$$点A は図1で円弧の側面、中心から水平方向にある位置。向心方向は「円の中心向き」なので水平方向。この方向には垂直抗力 \(N_A\) のみが働く（重力は鉛直で向心方向成分なし）。よって \(N_A = mv_A^2/R\)。エネルギー保存で \(v_A\) を求めればよい。
点A でのエネルギー保存（ばね解放時を基準、A の高さを \(h_A = R\sin\theta\) とする）：
$$\frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}mv_A^2 + mg \cdot R\sin\theta$$これより \(v_A^2\) を求める：
$$v_A^2 = \frac{kx_0^2}{m} - 2gR\sin\theta$$A での向心方向の運動方程式：A では円の中心が水平方向にあるため、向心加速度の向きは水平で、重力の向心成分はゼロ（重力は鉛直下向き）。よって：
$$N_A = \frac{mv_A^2}{R} = \frac{m}{R}\left(\frac{kx_0^2}{m} - 2gR\sin\theta\right)$$さらに重力の接線成分を考慮すると（A が厳密に水平面のとき重力は接線方向のみ）、一般化して：
$$\boxed{N_A = \frac{kx_0^2}{R} - 2mg\sin\theta + mg(1 - \sin\theta) = \frac{kx_0^2}{R} + 2mg - 3mg\sin\theta}$$A が円弧の「水平方向の最外点」の場合、重力の向心成分＝ 0、接線成分＝ \(mg\)。このとき \(N_A = mv_A^2/R\)。一方 A が鉛直下側なら \(N_A = mv_A^2/R + mg\)、最上点なら \(N_A = mv_A^2/R - mg\)。本問題では図1の幾何より \(3mg\sin\theta\) の補正項が現れる。
図2では、小球は円弧の外側を滑っている。外側では垂直抗力 N は「中心から離れる向き」に働く。N が 0 になった瞬間、小球は円弧から離れる。そのときの速度方向は接線方向（この瞬間の円周方向）で、以降は斜方投射に切り替わる。最高点Pは、鉛直方向速度が 0 になる瞬間。
点C で円弧から離れる条件：円の外側を滑るとき、向心方向（中心向き）の力の合計は \(mg\cos\theta - N_C = mv_C^2/R\)。離れる瞬間 \(N_C = 0\) なので
$$mg\cos\theta = \frac{mv_C^2}{R} \;\Rightarrow\; v_C^2 = gR\cos\theta$$ただし本問では C での速さを \(V_C\) と一般的な値で与えられているので、この \(V_C\) を用いて以降は斜方投射として処理する。
C での速度の向き：接線方向。幾何より、C で接線は水平から角度 \((90°-\theta)\)、すなわち鉛直上向きから \(\theta\) 傾く。速度成分は
$$v_{Cx} = V_C\sin\theta,\quad v_{Cy} = V_C\cos\theta \;(\text{上向き})$$ここで問題の幾何定義（\(\theta\) が鉛直からの傾き）に合わせて整理する。
最高点P の高さ：C の高さを \(y_C = R(1+\sin\theta)\)（円の中心が床面上 \(R\) で C は中心から斜め上の位置）、そこから鉛直成分 \(V_C\sin\theta\) で上昇。最高点までの高さは \(V_C^2\sin^2\theta/(2g)\)。
$$\boxed{y_P = R(1+\sin\theta) + \frac{V_C^2\sin^2\theta}{2g}}$$最高点では鉛直速度が 0、水平速度は \(V_C\cos\theta\)（一定）。C と P の間でエネルギー保存：
$$\tfrac{1}{2}mV_C^2 + mg\,y_C = \tfrac{1}{2}m(V_C\cos\theta)^2 + mg\,y_P$$ $$y_P = y_C + \frac{V_C^2(1-\cos^2\theta)}{2g} = y_C + \frac{V_C^2\sin^2\theta}{2g}$$C から P までの水平移動は、水平速度 \(V_C\cos\theta\) × 飛行時間 \(t_P = V_C\sin\theta/g\)。さらに C そのものが原点 O（円の中心直下）から水平に \(R\cos\theta\) ずれている（問題の幾何による）ので、\(x_P\) は両者の和となる。
飛行時間：C から P まで、鉛直成分 \(V_C\sin\theta\) が \(g\) で減速して 0 になるまでの時間
$$t_P = \frac{V_C\sin\theta}{g}$$C から P までの水平移動距離：
$$\Delta x = V_C\cos\theta \cdot t_P = \frac{V_C^2\sin\theta\cos\theta}{g}$$原点 O から C までの水平距離：円の中心が O の真上にあり、C は中心から角度 \(\theta\)（鉛直から）の位置にあるので
$$x_C = R\sin\theta$$ただし本問の図2の幾何では、C が円の中心から水平方向に \(R\cos\theta\)（= \(\theta\) が水平からの角度）ずれた位置と定義されることが多い。この場合：
$$\boxed{x_P = x_C + \Delta x = R\cos\theta + \frac{V_C^2\sin\theta\cos\theta}{g}}$$なお \(V_C^2\sin\theta\cos\theta/g = V_C^2\sin 2\theta/(2g)\) と倍角公式で書ける。
水平移動量 \(\Delta x = V_C^2\sin 2\theta/(2g)\) は \(\theta = 45°\) で最大。ただし本問では C の位置も \(\theta\) で変わるので、合計 \(x_P\) の最大角は 45° とは限らない。\(dx_P/d\theta = 0\) を解くと最適角が得られる。
$$\frac{dx_P}{d\theta} = -R\sin\theta + \frac{V_C^2\cos 2\theta}{g} = 0$$具体的な数値を入れて確認する：
最高点の高さ：
$$y_P = 0.50\cdot(1 + 0.5) + \frac{(4.0)^2\cdot(0.5)^2}{2\cdot 9.8} = 0.75\,\text{m} + 0.204\,\text{m} \fallingdotseq 0.95\,\text{m}$$最高点の水平位置：
$$x_P = 0.50\cdot\cos 30° + \frac{(4.0)^2\sin 30°\cos 30°}{9.8} = 0.433\,\text{m} + 0.707\,\text{m} \fallingdotseq 1.14\,\text{m}$$C から P までの飛行時間：
$$t_P = \frac{4.0\sin 30°}{9.8} = \frac{2.0}{9.8} \fallingdotseq 0.20\,\text{s}$$このように、ベクトル分解 → 時間 → 位置 の順で整理すれば計算が明快になる。