傾斜角 \(\theta\) の斜面上に平行な２本のレールが敷かれ、鉛直上向きに磁束密度 \(B\) の一様磁場がかかっています。質量 \(m\) の導体棒 PQ（長さ \(\ell\)）がレール上を滑ると、磁場の斜面に垂直な成分 \(B\cos\theta\) が有効に働き、誘導起電力が生じます。スイッチ S₁、S₂ と抵抗 R、直流電源 E を切り替えて、発電・駆動両面の回路を扱います。
磁場 \(B\) は真上向き、一方レールは傾斜面上。導体棒 PQ が速度 \(v\) で斜面を下ると、棒が囲む回路面積が時間変化する。面積の法線方向の磁束成分だけが磁束に寄与するので、実効的な磁場は \(B\cos\theta\)。したがって起電力は \(V = (B\cos\theta)\ell v\)。
磁束の計算：回路の面積ベクトルは斜面の法線方向。磁束は
$$\Phi = (B\cos\theta)\cdot S = B\cos\theta \cdot \ell x$$ここで \(x\) は PQ の斜面に沿った位置。時間微分：
$$V_{ind} = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = B\ell\cos\theta \frac{dx}{dt} = B\ell v\cos\theta$$ゆえに誘導起電力の大きさは \(V_{ind} = B\ell v\cos\theta\)。
導体棒内の自由電子には速度 \(v\) （斜面下方向）と磁場 \(B\) （鉛直）によるローレンツ力が働く。力 \(e\vec{v}\times\vec{B}\) は棒の軸方向成分として \(evB\cos\theta\)。単位電荷あたりのこの起電力を棒の長さ \(\ell\) で積分すると \(V=B\ell v\cos\theta\)。
$$V = \int_0^\ell (vB\cos\theta) \, d\ell' = B\ell v\cos\theta$$PQ が自重で下り始めると、誘導電流が流れ、その電流に磁場がかけるアンペール力（斜面を登る向き）がブレーキとして働く。速度が上がるにつれてブレーキが強くなり、重力の斜面成分 \(mg\sin\theta\) とブレーキ力が釣り合うときに加速度が 0 になる（終端速度）。
アンペール力（斜面に沿った成分）：電流 \(I\) に磁場 \(B\) がかける力は水平方向の成分 \(IB\ell\) に対し、斜面を登る成分は \(IB\ell\cos\theta\)。
終端速度の条件：加速度 0、すなわち斜面に沿った力の釣り合い：
$$mg\sin\theta = I\ell B\cos\theta$$電流について解くと：
$$\boxed{I = \frac{mg\sin\theta}{B\ell\cos\theta} = \frac{mg\tan\theta}{B\ell}}$$オームの法則から \(I = B\ell v_f\cos\theta / R\)。これを釣り合い条件に代入：
$$mg\sin\theta = \frac{B\ell\cos\theta}{R} \cdot B\ell\cos\theta \cdot v_f = \frac{B^2\ell^2\cos^2\theta}{R} v_f$$ $$v_f = \frac{mgR\sin\theta}{B^2\ell^2\cos^2\theta}$$スイッチを電源側に切り替え、PQ を静止させる（動かない状態で力の釣り合い）。電流 \(I\) は電源電圧 E と抵抗 R だけで決まる：\(I = E/R\)。PQ を斜面上向きに支えるアンペール力が重力成分と釣り合う。
静止条件（PQ 停止）：速度 0 なので誘導起電力 0、電流は電源のみで決まる。
$$I = \frac{E}{R}$$斜面方向の力の釣り合い：
$$IB\ell\cos\theta = mg\sin\theta$$\(I = E/R\) を代入して \(E\) について解くと：
$$\frac{E}{R}\cdot B\ell\cos\theta = mg\sin\theta$$ $$\boxed{E = \frac{mgR\sin\theta}{B\ell\cos\theta} = \frac{mgR\tan\theta}{B\ell}}$$アンペール力を「斜面を登る向き」にするためには、磁場（鉛直上向き）と導体電流のベクトル積 \(I\vec{\ell}\times\vec{B}\) が正しく斜面上方の成分を持つ必要がある。回路の幾何と右ねじ則から電流の向きを判定し、電源極性をそれに合わせる。
PQ が上向きに速度 \(u\) で動くと、誘導起電力が生じる。電源から見れば、PQ はモーターのように動いており、PQ 両端に逆起電力 \(B\ell u\cos\theta\) が発生する。電源電圧は「抵抗による降下」＋「逆起電力」の和となる。
一定速度 \(u\) で上昇（等速なので加速度 0）：斜面方向の釣り合いから電流 \(I\) が決まる：
$$IB\ell\cos\theta = mg\sin\theta \;\Rightarrow\; I = \frac{mg\sin\theta}{B\ell\cos\theta} = \frac{mg\tan\theta}{B\ell}$$キルヒホッフの法則（電源電圧 V）：抵抗での降下 \(IR\) に、PQ の逆起電力 \(B\ell u\cos\theta\) を加える：
$$V = IR + B\ell u\cos\theta$$\(I\) を代入：
$$\boxed{V = \frac{mgR\sin\theta}{B\ell\cos\theta} + B\ell u\cos\theta}$$電源が供給する電力 \(P_V = VI\)。うち抵抗で消費 \(P_R = I^2R\)、残りが PQ の力学的仕事率 \(P_m = F\cdot u = IB\ell\cos\theta \cdot u = mg\sin\theta \cdot u\)（重力に対する仕事）。
$$VI = I^2 R + mg\sin\theta \cdot u$$ $$V = IR + \frac{mg\sin\theta \cdot u}{I} = IR + B\ell u\cos\theta$$（\(I = mg\sin\theta/(B\ell\cos\theta)\) を代入した）
この傾斜レール系では、(A)発電モード（自由落下）と(B)駆動モード（電源で押し上げ）でエネルギーの流れ方が逆転する。どちらのモードでも「力学的エネルギー」「電気エネルギー」「熱エネルギー（抵抗で消費）」の3者のバランスを把握することが重要。
降下モード（問(2) 終端速度）：
上昇モード（問(10) 一定速度 u）：
\(I = mg\sin\theta/(B\ell\cos\theta)\) を代入：
$$V = \frac{mgR\sin\theta}{B\ell\cos\theta} + \frac{mgu\sin\theta \cdot B\ell\cos\theta}{mg\sin\theta} = \frac{mgR\sin\theta}{B\ell\cos\theta} + B\ell u\cos\theta$$これは問(10) の結果と一致。
上昇モードでの「機械的効率」は
$$\eta = \frac{P_m}{P_V} = \frac{mgu\sin\theta}{VI}$$\(V\) が大きいほど（高速上昇）、抵抗ロスの割合が上がって効率が低下する。実用モーターの設計では、内部抵抗 R を小さく保つことが重要。
具体的な数値を入れて確認する：
設問(2) の終端速度での電流：
$$I = \frac{mg\tan\theta}{B\ell} = \frac{0.10\cdot 9.8\cdot\tan 30°}{0.50\cdot 0.20} = \frac{0.566}{0.100} = 5.66\,\text{A}$$終端速度 \(v_f\)：
$$v_f = \frac{mgR\sin\theta}{B^2\ell^2\cos^2\theta} = \frac{0.10\cdot 9.8\cdot 2.0\cdot 0.5}{0.25\cdot 0.04\cdot 0.75} = \frac{0.98}{0.0075} \fallingdotseq 130.7\,\text{m/s}$$（現実には摩擦や空気抵抗があるのでここまで速くならない）
設問(9) の電源電圧：
$$E = \frac{mgR\sin\theta}{B\ell\cos\theta} = \frac{0.10\cdot 9.8\cdot 2.0\cdot 0.5}{0.50\cdot 0.20\cdot\cos 30°} = \frac{0.98}{0.0866} \fallingdotseq 11.3\,\text{V}$$設問(10) で \(u = 1.0\,\text{m/s}\) のとき：
$$V = 0.50\cdot 0.20\cdot 1.0\cdot\cos 30° + 11.3 = 0.0866\,\text{V} + 11.3\,\text{V} \fallingdotseq 11.4\,\text{V}$$このように、1つの系で電流・電圧・速度がすべてつながることが確認できる。