ばねで加速した小物体 A が振り子状に吊された小物体 B と弾性衝突し、B が鉛直面内で円運動する力学の総合問題です。「ばねのエネルギー → 弾性衝突 → 円運動＋エネルギー保存 → 張力が 0 になる条件」を順に適用していきます。
ステップ1：ばねのエネルギー保存から衝突直前の $v_A$
ばねが自然長から $d$ だけ縮んでいる初期状態の弾性エネルギーは $\tfrac12 k d^2$。摩擦がないので、A が O に到達したときこれがすべて A の運動エネルギーになっている。
$$\tfrac12 k d^2 = \tfrac12 m v_A^2$$$v_A$ について解く：
$$v_A = d\sqrt{\dfrac{k}{m}}$$ステップ2：弾性衝突（等質量）
質量 $m$ の A と、静止している質量 $m$ の B との 1 次元弾性衝突。運動量保存と弾性衝突（反発係数 $e = 1$）の連立から、
$$m v_A = m v_A' + m v_B'$$ $$v_B' - v_A' = e(v_A - 0) = v_A$$この 2 式から $v_A' = 0$, $v_B' = v_A$。
一般の 1 次元弾性衝突で、質量 $m_1$ の粒子が速度 $v_1$ で静止した質量 $m_2$ の粒子に衝突するとき、衝突後の速度は
$$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1, \quad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1$$$m_1 = m_2$ なら $v_1' = 0$, $v_2' = v_1$（完全な速度交換）。これがビリヤードで「手玉が当たった玉に全速度を渡して自分は止まる」現象の数式的理由。
数値例：$m = 0.10$ kg, $k = 200$ N/m, $d = 0.050$ m とすると
$$v_A = 0.050 \times \sqrt{\frac{200}{0.10}} = 0.050 \times \sqrt{2000} \fallingdotseq 2.24 \text{ m/s}$$衝突後：$v_A' = 0$ m/s, $v_B' = 2.24$ m/s。運動エネルギーは $\tfrac12 \times 0.10 \times 2.24^2 \fallingdotseq 0.25$ J で保存される（ばね弾性エネルギー $\tfrac12 \times 200 \times 0.050^2 = 0.25$ J と一致）。
「ばね → 運動エネルギー → 衝突で速度が移る」というエネルギー・運動量の受け渡しの連鎖が本問の骨格。等質量・弾性衝突の「速度交換」は必修テクニック。
立式：B は半径 $l$ の円を描く。$\theta$ は糸と鉛直下方向のなす角。B が最下点（$\theta = 0$）から角度 $\theta$ の位置に達したときの高さの変化は
$$h(\theta) = l - l\cos\theta = l(1 - \cos\theta)$$力学的エネルギー保存則（摩擦・空気抵抗なし）を最下点と角度 $\theta$ の間で適用：
$$\tfrac12 m v_A^2 = \tfrac12 m v_B^2 + m g l(1 - \cos\theta)$$計算：$v_B^2$ について解く。
$$v_B^2 = v_A^2 - 2 g l (1 - \cos\theta)$$問 1 で $v_A^2 = k d^2 / m$ なので、代入すると
$$v_B^2 = \frac{k d^2}{m} - 2 g l (1 - \cos\theta)$$ $$v_B = \sqrt{\frac{k d^2}{m} - 2 g l (1 - \cos\theta)}$$B が止まる角度 $\theta_{\max}$ は $v_B = 0$ から
$$\frac{kd^2}{m} = 2gl(1 - \cos\theta_{\max}) \;\Longrightarrow\; \cos\theta_{\max} = 1 - \frac{kd^2}{2mgl}$$ただし糸がたるむ前にこの位置まで到達できるかは張力の正負で判断する（問 3〜4）。
円運動でも「高さが変わる」分だけエネルギー保存の式を書く。半径 $l$ の振り子では最下点基準で高さ $l(1-\cos\theta)$ が基本の上昇量。
立式：B の円運動（半径 $l$）の向心方向の運動方程式を書く。B には張力 $T$（糸に沿って固定点側）と重力 $mg$（鉛直下向き）がはたらく。
鉛直下方向から測った糸の角度 $\theta$ を使うと、重力の向心方向成分（固定点に向かう向き）は $+mg\cos\theta$（$\theta = 0$ では重力は外向き、向心方向成分は $-mg$ ではなく $+mg\cos\theta$ で、$\theta$ が増えると減る）。 実際には、$\theta = 0$ のとき重力の向きは「B から固定点と逆向き」なので、向心方向（固定点向き）の重力成分は $-mg\cos\theta$。運動方程式は
$$T - mg\cos\theta = \frac{m v_B^2}{l}$$計算：問 2 の $v_B^2 = \dfrac{kd^2}{m} - 2gl(1-\cos\theta)$ を代入。
$$T = mg\cos\theta + \frac{m}{l}\left(\frac{kd^2}{m} - 2gl(1-\cos\theta)\right)$$ $$= mg\cos\theta + \frac{kd^2}{l} - 2mg(1-\cos\theta)$$ $$= mg\cos\theta + \frac{kd^2}{l} - 2mg + 2mg\cos\theta$$ $$\boxed{T = 3mg\cos\theta - 2mg + \frac{kd^2}{l}}$$最下点 $\theta = 0$：$T = 3mg - 2mg + kd^2/l = mg + kd^2/l$（最大）
水平位置 $\theta = 90°$：$T = 0 - 2mg + kd^2/l = kd^2/l - 2mg$
最上点 $\theta = 180°$：$T = -3mg - 2mg + kd^2/l = kd^2/l - 5mg$（最小）
最上点で $T \ge 0$ を満たすには $kd^2/l \ge 5mg$、すなわち $d \ge \sqrt{5mgl/k}$ が必要。
円運動の運動方程式「$T - mg\cos\theta = m v^2/l$」は向心方向の力の合計が向心加速度に等しいという F=ma の特殊ケース。$\theta$ が 90° を超えると $\cos\theta < 0$ となり、張力が急激に減る。
立式：問 3 の張力式で $\theta = 120°$、$T = 0$（糸がたるむ条件）とおく。
$$0 = 3 m g \cos(120°) - 2 m g + \frac{k d^2}{l}$$計算：$\cos(120°) = -\dfrac{1}{2}$ を代入。
$$0 = 3 m g \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) - 2 m g + \frac{k d^2}{l}$$ $$0 = -\tfrac{3 m g}{2} - 2 m g + \frac{k d^2}{l}$$$\dfrac{kd^2}{l}$ について移項：
$$\frac{k d^2}{l} = \frac{3 m g}{2} + 2 m g = \frac{3 m g + 4 m g}{2} = \frac{7 m g}{2}$$$d$ について解く：
$$d^2 = \frac{7 m g l}{2 k}$$ $$d = \sqrt{\dfrac{7 m g l}{2 k}}$$$\theta = 120°$ で $T = 0$ ⇔ 向心力を重力成分のみで賄う。向心方向（固定点向き）の重力成分は $-mg\cos(120°) = mg/2$（$\theta > 90°$ では重力は固定点側にも成分を持つ）。
$$\frac{m v_B^2}{l} = \frac{m g}{2} \;\Longrightarrow\; v_B^2 = \frac{g l}{2}$$エネルギー保存 $v_B^2 = v_A^2 - 2gl(1 - \cos 120°) = v_A^2 - 3gl$ より
$$v_A^2 = 3gl + \frac{gl}{2} = \frac{7gl}{2}$$$v_A^2 = kd^2/m$ なので $d = \sqrt{7mgl/(2k)}$。
数値例：$m = 0.10$ kg, $l = 0.40$ m, $k = 25$ N/m, $g = 9.8$ m/s² を代入すると
$$d = \sqrt{\frac{7 \times 0.10 \times 9.8 \times 0.40}{2 \times 25}} = \sqrt{\frac{2.744}{50}} = \sqrt{0.0549} \fallingdotseq 0.234 \text{ m} = 23.4 \text{ cm}$$つまり 約 23 cm 縮めたばねで発射すれば、ちょうど $\theta = 120°$ で糸がたるむ。
振り子・糸の円運動問題では「$T = 0$」が糸がたるむ境界条件。$\theta > 90°$ では重力の一部が向心力に寄与するため、「張力＋重力成分 = 向心力」の関係から $d$ の下限を決める。
$d < \sqrt{5mgl/k}$ なら $\theta = 180°$（最上点）到達前に $T = 0$ になり糸がたるむ。今回は $\theta = 120°$ でたるむよう $d$ を調整した設定。