うなり（ビート）とドップラー効果、気柱の共鳴を組み合わせた波動の総合問題です。
うなりの原理：2 つの音波が重ね合わされるとき、振動数がわずかに異なっていると合成波の振幅が周期的に強弱を繰り返す。この強弱の周期数がうなりの振動数。
立式：$f_A > f_B$ とすると、1 秒間に強弱が繰り返される回数は、
$$f_{\text{beat}} = f_A - f_B$$問題文に「1 秒間に 1 回のうなり」とあるので、$f_A - f_B = 1$ Hz と特定できる。一般式としては、
$$f_{\text{beat}} = |f_A - f_B|$$2 つの単振動 $\sin(2\pi f_A t)$ と $\sin(2\pi f_B t)$ を重ね合わせると、
$$\sin(2\pi f_A t) + \sin(2\pi f_B t) = 2 \cos\left(2\pi \dfrac{f_A - f_B}{2} t\right) \sin\left(2\pi \dfrac{f_A + f_B}{2} t\right)$$後ろの $\sin$ は高速で振動する「音」。前の $\cos$ はゆっくり変動する振幅（包絡線）を表し、その振動数は $(f_A - f_B)/2$。しかし人間の耳は「強弱」を $|{\cos}|$ で感じるので、1 秒あたり 2 回の強が現れる → うなり振動数は $f_A - f_B$。
うなりの振動数は差の絶対値 $|f_A - f_B|$。一方、音の「平均的な高さ」は $(f_A + f_B)/2$。ピアノの調律でうなりが消えるまで張力を調整するのはこの原理。
ドップラー効果（音源が観測者に近づく）：音源 B が速さ $v$ で観測者（A の位置）に近づくとき、観測される振動数は、
$$f_B' = \dfrac{V}{V - v} f_B$$（$V$ は音速、分母が小さくなるので $f_B' > f_B$）
観測者 A の位置で聞くうなり：観測者の位置ではおんさ A が $f_A$、おんさ B は $f_B'$ に聞こえる。$f_A > f_B$ なら、B が近づいて $f_B' > f_B$ となるが、両者の大小関係は $v$ の大きさに依存する。一般に、うなり振動数は、
$$f' = |f_A - f_B'| = \left| f_A - \dfrac{V}{V - v} f_B \right|$$$v$ が十分小さくて $f_A > f_B'$ の場合：
$$f' = f_A - \dfrac{V}{V - v} f_B$$$v$ が大きくて $f_B' > f_A$ の場合：
$$f' = \dfrac{V}{V - v} f_B - f_A$$どちらの大小関係かで場合分けが必要。
$f_A = f_B'$ となる速さ $v$ を求めると、$f_A = V f_B / (V - v)$ より、
$$v = V\left(1 - \dfrac{f_B}{f_A}\right)$$この速さで近づけば、観測者にはうなりが聞こえなくなる（両音の振動数が一致）。音源を動かしてうなりを消すことで、$f_A / f_B$ の比を測定する応用が可能。
ドップラー効果の公式は「音源動く：分母を変える（$V \mp v_s$）」「観測者動く：分子を変える（$V \pm v_o$）」。符号は「近づく＝高く」になる向きを選ぶ。
中央の観測者での見かけの振動数：おんさ A は左向きに $v$ で動き、観測者から遠ざかる。おんさ B は右向きに $v$ で動き、同じく観測者から遠ざかる。どちらも「音源が観測者から遠ざかる」ので、
$$f_A' = \dfrac{V}{V + v} f_A, \quad f_B' = \dfrac{V}{V + v} f_B$$うなりの振動数：2 音の差の絶対値：
$$f' = |f_A' - f_B'| = \dfrac{V}{V + v} |f_A - f_B| = \dfrac{V}{V + v} (f_A - f_B)$$（$f_A > f_B$ とする。以下同様）
観測者が静止・音源が速さ $v$ で遠ざかる場合と、音源静止・観測者が $v$ で音源から遠ざかる場合を比較すると：
両者は $v \ll V$ では近似的に一致するが、一般には異なる（相対論的には同じ）。ここは音源動く公式を使うのが正しい。
両音源が同じ速さ $v$ で同じ方向（観測者から遠ざかる）に動くと、両音とも同じ係数 $V/(V+v)$ で振動数が減る。差も同じ係数倍され、うなり振動数が縮む。
問1 との関係：問1 で $f = f_A - f_B$ とすると、問3 の結果は、
$$f' = \dfrac{V}{V + v} (f_A - f_B) = \dfrac{V}{V + v} f$$つまり、「両音源が同じ速さで観測者から遠ざかる」と、うなりの回数は $V/(V+v) < 1$ 倍に減る。逆に両音源が近づくなら $V/(V-v) > 1$ 倍に増える。
音波の波長は音源の運動により圧縮・伸長される（ドップラー効果の本質）。観測者から遠ざかる音源からは、波長が $V/f_{\text{元}} \cdot (V + v)/V$ に伸びる。両音源とも同じ係数で伸びるので、うなりの周期（強弱の間隔）も同じ係数で長くなる → 振動数は逆数倍 $V/(V+v)$ で小さくなる。
実生活の例：救急車が通り過ぎる時、2 つのサイレン音のうなりを聞き分けることは難しいが、遠ざかる車同士の音のうなりは「ゆっくり」感じる。
うなり振動数は「差」なので、両音源が同じ係数でドップラーシフトすると、その係数がそのまま掛かる。同じ速さ・同じ向きの運動は「差」を保存しつつ絶対値だけ変える。
共鳴条件：閉管（一端閉じ、一端開き）の基本振動では、管長 $L$ が波長 $\lambda$ の $1/4$ に等しい。
$$L = \dfrac{\lambda}{4}$$波長と振動数の関係：音速 $V$、振動数 $f_A$ のとき波長は、
$$\lambda = \dfrac{V}{f_A}$$管長の計算：
$$L = \dfrac{\lambda}{4} = \dfrac{V}{4 f_A}$$$V = 340$ m/s, $f_A = 680$ Hz を代入：
$$L = \dfrac{340}{4 \times 680} = \dfrac{340}{2720} = \dfrac{1}{8} \text{ m} = 0.125 \text{ m} = 12.5 \text{ cm}$$閉管の共鳴振動数は基本の $1, 3, 5, \cdots$ 倍（奇数倍）のみ。
$$L = \dfrac{(2n - 1)\lambda}{4} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$基本振動（$n = 1$）の管長が最小。$n = 2$ の次の共鳴長は $3L$、$n = 3$ で $5L$ となる。
最小長さを問うているので $n = 1$ を選ぶ。
実際の共鳴管では、開口端の「腹」が管の内側よりわずかに外側にあり、管長 $L$ はこの補正 $\Delta L$（約 $0.6 \times$ 管の半径）だけ短く、実際の共鳴では $L + \Delta L = \lambda/4$。本問では開口端補正を無視するので、理論値通り $L = V/(4f_A)$。
閉管の基本振動は $L = \lambda/4$、開管の基本振動は $L = \lambda/2$。閉端は「節」、開口端は「腹」になる。共鳴箱の長さは音源の振動数に合わせて設計される。