シリンダー内の理想気体と、ゴムのように伸縮するヒモという「2つの異なる系」を、同じ熱力学の枠組み（状態方程式・熱力学第一法則・サイクルの仕事）で比較する問題です。前半で理想気体、後半でヒモを扱い、最後の問2で両者の断熱伸長を比較します。
シリンダーに閉じ込めた気体は、底からピストンまでの長さ \(L\) を変えると体積 \(V = SL\) が変わる。理想気体の内部エネルギーは「温度だけ」で決まるので、温度が変わらなければ \(\Delta U = 0\)。逆に体積を固定して温めれば、加えた熱はすべて内部エネルギーになる。
あ）圧力 \(p\)：体積は \(V = SL\)。理想気体の状態方程式 \(pV = nRT\) に代入する：
$$p \cdot SL = nRT \quad\Rightarrow\quad p = \frac{nRT}{SL}$$い）定積変化での \(\Delta U\)：体積一定なので気体は仕事をせず \(\Delta W = 0\)。熱力学第一法則 \(\Delta U = \Delta Q + (\text{気体がされる仕事})\) で、加えた熱はすべて内部エネルギーになる。定積モル比熱 \(C_V\) の定義より：
$$\Delta U = nC_V\,\Delta T$$う）等温変化での \(\Delta U\)：理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まる。温度 \(T\) が一定なので：
$$\Delta U = 0$$え）等温変化で気体がする仕事 \(\Delta W\)：圧力 \(p\) のもとでピストンが動き、体積が \(\Delta V = S\,\Delta L\) 増える。微小変化なので圧力を \(p\) と見なして：
$$\Delta W = p\,\Delta V = pS\,\Delta L = \frac{nRT}{SL}\cdot S\,\Delta L = \frac{nRT}{L}\,\Delta L$$したがって \(\Delta W\) は \(\dfrac{nRT}{L} \times \Delta L\) と表せる（係数 \(=pS=\dfrac{nRT}{L}\)）。
理想気体では分子間に位置エネルギー（相互作用）がなく、内部エネルギーは分子の運動エネルギーの総和だけ。単原子分子では \(U = \dfrac{3}{2}nRT\)、一般に \(U = nC_V T\) と書け、体積や圧力には直接よらない。だから等温変化（\(T\) 一定）では、体積が変わっても \(\Delta U = 0\) になる。
具体的な数値で確認しよう。\(n = 1.0\) mol の単原子分子理想気体を、定積のまま \(T = 300\) K から \(T+\Delta T = 320\) K まで温める（\(\Delta T = 20\) K, \(R = 8.31\) J/(mol·K), \(C_V = \tfrac{3}{2}R\)）。内部エネルギーの増加は：
$$\Delta U = nC_V\Delta T = 1.0 \times \frac{3}{2} \times 8.31 \times 20 \fallingdotseq 2.5 \times 10^{2}\ \text{J}$$定積なので気体は仕事をせず、加えた熱 \(\Delta Q\) はすべてこの \(249\) J の内部エネルギー増加になる。一方、同じ気体を等温（\(T\) 一定）で膨張させても \(\Delta U = 0\) J で、温度は変わらない。
定積なら「熱 → すべて内部エネルギー」、等温なら「内部エネルギー変化ゼロ・熱はすべて仕事へ」。この2つの極端な変化を押さえることが、サイクル全体を読み解く鍵になる。
4つの過程をぐるっと一周する。各過程で「気体が熱をもらう（吸熱）」か「熱を放す（放熱）」かは、第一法則 \(\Delta Q = \Delta U + \Delta W_{\text{気体がする}}\) で判定できる。等温なら \(\Delta U=0\)、定積なら \(\Delta W=0\) なので話は単純。1サイクルの仕事は \(p\)-\(L\) グラフで囲む面積で、回る向き（時計回り）が「正の仕事」を意味する。
各過程を熱力学第一法則 \(\Delta Q = \Delta U + \Delta W_{\text{気体がする}}\) で調べる。等温なら \(\Delta U=0\)、定積なら \(\Delta W=0\) に注意する。
| 過程 | 種類 | ΔU | 気体がする仕事 ΔW | ΔQ＝ΔU＋ΔW |
|---|---|---|---|---|
| Ⅰ | 等温 \(T_A\)（圧縮 \(L_2\to L_1\)） | \(0\) | \(<0\)（される） | \(<0\) 放熱 |
| Ⅱ | 定積（昇温 \(T_A\to T_B\)） | \(>0\) | \(0\) | \(>0\) 吸熱 |
| Ⅲ | 等温 \(T_B\)（膨張 \(L_1\to L_2\)） | \(0\) | \(>0\)（する） | \(>0\) 吸熱 |
| Ⅳ | 定積（降温 \(T_B\to T_A\)） | \(<0\) | \(0\) | \(<0\) 放熱 |
お）吸熱する過程：表より \(\Delta Q>0\) となるのは過程Ⅱ（②）と過程Ⅲ（③）。
か）1サイクルで気体が外部にする仕事の総量：サイクルは \(p\)-\(L\) 図で \(L_1\) で上昇・\(L_2\) で下降・高温側（\(T_B\)）で右へ膨張・低温側（\(T_A\)）で左へ圧縮するので時計回り。\(p\)-\(V\) 図（\(V=SL\) なので \(p\)-\(L\) 図と相似）で時計回りに回るサイクルが囲む面積は、気体が外部にする正味の仕事に等しく：
$$W_{\text{正味}} = (\text{Ⅲで気体がする仕事}) - (\text{Ⅰで気体がされる仕事}) > 0$$高温 \(T_B\) での膨張の仕事のほうが、低温 \(T_A\) での圧縮の仕事より大きいので、総量は正（①）。
等温過程で気体がする仕事は \(W = nRT\log\dfrac{L_{\text{後}}}{L_{\text{前}}}\)（\(\log\) は自然対数）。
過程Ⅲ（膨張, \(T_B\)）：\(W_{\text{Ⅲ}} = nRT_B\log\dfrac{L_2}{L_1} > 0\)
過程Ⅰ（圧縮, \(T_A\)）：\(W_{\text{Ⅰ}} = nRT_A\log\dfrac{L_1}{L_2} < 0\)
定積過程Ⅱ・Ⅳは仕事ゼロなので、正味は
$$W_{\text{正味}} = nR(T_B-T_A)\log\frac{L_2}{L_1} > 0$$\(T_B>T_A\)、\(L_2>L_1\) より確かに正。
吸熱判定は「ΔUとΔWの符号を足す」だけ。サイクルの仕事の正負は回る向き（時計回り＝正の仕事）で即決できる。これはエンジン（熱機関）が外部に仕事をする仕組みそのもの。
ゴムひもを引き伸ばすと、外から仕事を「されて」エネルギーが入る。気体と同じ第一法則が成り立つが、ヒモの張力 \(F = AT(L-L_0)\) は温度が高いほど強いのが特徴。だから断熱で伸ばすと（熱の出入りなしで仕事だけ入る）、内部エネルギー \(U=KT\) が増え、温度が上がる——輪ゴムを素早く伸ばして唇に当てると温かく感じる、あの現象。
き）ヒモの \(\Delta U\)（\(F,K,\Delta W\) を使わずに表す）：ヒモにも熱力学第一法則が成り立つ。ヒモが外部にした仕事 \(\Delta W = -F\Delta L\) なので、ヒモがされる仕事は \(-\Delta W = F\Delta L\)。よって
$$\Delta U = \Delta Q + (\text{される仕事}) = \Delta Q - \Delta W = \Delta Q + F\Delta L$$ここで \(F = AT(L-L_0)\) を代入すれば、\(F,K,\Delta W\) を使わない形になる：
$$\Delta U = \Delta Q + AT(L-L_0)\,\Delta L$$く）断熱的にゆっくり伸ばしたときの温度変化 \(\Delta T\)：断熱なので \(\Delta Q = 0\)。きの結果と \(\Delta U = K\Delta T\) を等置する：
$$K\Delta T = AT(L-L_0)\,\Delta L$$\(\Delta T\) について解くと：
$$\Delta T = \frac{AT(L-L_0)}{K}\,\Delta L$$\(A,K,L_0,L,T,\Delta L\) はすべて正で \(L \geqq L_0\)、伸ばす \((\Delta L>0)\) なら \(\Delta T>0\)、すなわち温度が上がる。
問題文で \(\Delta W = -F\Delta L\) と定義されているのがポイント。これはヒモが外部にする仕事。ヒモを伸ばす（\(\Delta L>0\)）とき、張力は縮む向き（引いた向きと逆）なので、ヒモは外部に負の仕事をする＝外部から仕事をされる。第一法則は「\(\Delta U = \Delta Q + (される仕事)\)」の形で書くと符号ミスを防げる。
ヒモの張力は温度に比例（\(F=AT(L-L_0)\)）。だから「伸ばす＝仕事が入る＝\(U=KT\) が増える＝温度が上がる」という、気体の断熱膨張とは逆の温度変化が起きる。これが問2の核心。
等温過程（α・γ）では温度 \(T\) が一定なので、\(F = AT(L-L_0)\) は \(L\) の1次関数（直線）になる。傾きは \(AT\) なので、高温 \(T_B\) のほう（γ）が急。温度を変える過程（β・δ）は \(L\) を固定したまま \(F\) が縦に変わるので鉛直線。4本をつなぐと長方形に近いループになる。
各過程を \(L\)（横軸）-\(F\)（縦軸）で描く。等温過程では \(T\) が一定なので、張力は \(F = AT(L-L_0)\) という原点 \((L=L_0)\) から伸びる傾き \(AT\) の直線になる。
向きは α↗ → β↑ → γ↙ → δ↓ で反時計回りのループ。傾きの違い（γ が急）でループに面積ができる。
(1) の気体サイクルは \(p\)-\(L\) 図で時計回り（外部に正の仕事）。一方ヒモのサイクルは \(L\)-\(F\) 図で反時計回り。ただしヒモが「外部にする仕事」は \(\Delta W=-F\Delta L\) と符号が逆向きに定義されているため、後述((2)け〜さ)のとおり、ヒモが外部にする仕事の総量はやはり正になる。グラフの向きと仕事の符号の対応は、縦軸・横軸と仕事の定義で決まる点に注意。
等温過程＝傾き \(AT\) の直線、温度変化過程＝\(L\) 一定の鉛直線。温度が高いほど傾きが急になる——この「温度で傾きが変わる」性質が、囲む面積（仕事）を生む。
ヒモがする仕事は \(\Delta W=-F\Delta L\) の総和。問1のグラフでは「曲線と \(L\) 軸の間の面積に \(-\)（マイナス）をつけたもの」に対応する。等温過程の面積は直線の下の台形（または三角形の差）で計算でき、温度が高いγのほうが面積が大きい。
ヒモが各過程で外部にする仕事は \(\Delta W=-F\Delta L\) の総和。\(F=AT(L-L_0)\) なので、面積の計算（または微小和の積分）で求める。
け）過程αでヒモがする仕事 \(W_1\)：等温 \(T_A\)、\(L\) を \(L_1\) から \(L_2\) へ伸ばす。
$$W_1 = \sum(-F\Delta L) = -\int_{L_1}^{L_2} AT_A(L-L_0)\,dL = -AT_A\left[\frac{(L-L_0)^2}{2}\right]_{L_1}^{L_2}$$ $$W_1 = -\frac{AT_A}{2}\Big[(L_2-L_0)^2-(L_1-L_0)^2\Big]$$\(L_2>L_1\) なので \(W_1<0\)（伸ばす間、ヒモは外部に負の仕事をする＝されている）。
こ）過程γでヒモがする仕事 \(W_3\)：等温 \(T_B\)、\(L\) を \(L_2\) から \(L_1\) へ戻す。\(W_1\) と同じ形だが温度が \(T_B\) で積分の向きが逆：
$$W_3 = -\int_{L_2}^{L_1} AT_B(L-L_0)\,dL = +\frac{AT_B}{2}\Big[(L_2-L_0)^2-(L_1-L_0)^2\Big]$$\(W_1\) と比べると、温度比 \(T_B/T_A\) がかかり符号が逆なので：
$$W_3 = -\frac{T_B}{T_A}\times W_1$$さ）過程β・δでヒモがする仕事 \(W_2,\,W_4\)：どちらも長さ \(L\) を変えない（\(\Delta L=0\)）。したがって \(\Delta W=-F\Delta L=0\)：
$$W_2 = W_4 = 0$$し）1サイクルでヒモが外部にする仕事の総量：
$$W_{\text{合計}} = W_1+W_2+W_3+W_4 = W_1+W_3 = W_1\left(1-\frac{T_B}{T_A}\right)$$\(W_1<0\) かつ \(\left(1-\dfrac{T_B}{T_A}\right)<0\)（\(T_B>T_A\)）なので、積は正。整理すると：
$$W_{\text{合計}} = \frac{A}{2}\Big[(L_2-L_0)^2-(L_1-L_0)^2\Big](T_B-T_A) > 0$$\(L\)-\(F\) 図で、等温過程の「直線と \(L\) 軸が囲む面積」は仕事の大きさ \(|W|\) に等しい。αの面積（青）とγの面積（赤）はどちらも台形で底辺は \((L_2-L_1)\)。高さ（張力）は γ のほうが \(T_B/T_A\) 倍高い。
α では伸ばす（ヒモは負仕事）、γ では戻す（正仕事）なので、ヒモがする正味仕事は
$$|W_3|-|W_1| = (\text{赤の面積})-(\text{青の面積}) > 0$$反時計回りループの「囲む面積」がそのまま正味仕事の大きさで、符号は正になる。
温度を変える過程（β・δ）は \(\Delta L=0\) で仕事ゼロ。仕事を生むのは等温過程（α・γ）だけで、高温で戻すγの仕事が低温で伸ばすαの仕事を上回るため、ヒモも熱機関として正の仕事を取り出せる。
同じ「断熱で長さ \(L\) を大きくする」でも、向きが正反対。気体は膨張すると外部に仕事をして冷える。ヒモは伸ばすと外部から仕事をされて温まる。原因は「系が仕事をするのか／されるのか」の違い。
「断熱（\(\Delta Q=0\)）で長さ \(L\) を大きくする」場合を、内部エネルギーと温度の変化に着目して比較する。第一法則は両者とも \(\Delta U = \Delta Q + (\text{される仕事}) = (\text{される仕事})\)。
ピストンが押し出され、気体は外部に仕事をする（\(\Delta W_{\text{気体}}>0\)）。断熱なので：
$$\Delta U = -\Delta W_{\text{気体}} < 0$$\(\Delta U = nC_V\Delta T\) より \(\Delta T<0\)。
内部エネルギー減・温度が下がる。
張力に逆らって引くので、外部からヒモが仕事をされる（\(F\Delta L>0\)）。断熱なので：
$$\Delta U = F\Delta L > 0$$\(\Delta U = K\Delta T\) より \(\Delta T>0\)。
内部エネルギー増・温度が上がる。
記述解答（まとめ）：断熱的に長さ \(L\) を大きくすると、理想気体はピストンを通して外部に仕事をするため、内部エネルギーが減少し温度が下がる。一方ゴムひもは、張力に逆らって伸ばされる＝外部から仕事をされるため、内部エネルギーが増加し温度が上がる。両者の差は「長さを増やすときに系が仕事をするか／されるか」の違いに由来する。
ゴムの張力が温度に比例する（\(F\propto T\)）のは、ゴム分子（高分子鎖）が温度が高いほど激しく熱運動して「縮もうとする」ためで、これをエントロピー弾性という。金属ばねの弾性（エネルギー弾性）とは仕組みが違い、ゴムは伸ばすと発熱・縮めると吸熱する。冷やしたゴムが縮みにくく、温めると縮む（＝引き伸ばした輪ゴムにおもりを吊るし温めると上がる）という実験で確かめられる。
断熱変化の温度の向きは「系が仕事をする→冷える／系が仕事をされる→温まる」で決まる。気体（膨張＝仕事をする＝冷える）とヒモ（伸長＝仕事をされる＝温まる）はこの一点で逆になる。