地球のまわりを楕円軌道で周回する宇宙船Uの力学的エネルギー、円軌道の周期、軌道の摂動による微小振動を扱う問題です。万有引力とケプラーの法則を中心に議論します。
運動エネルギーの分解：宇宙船Uの速度 $v$ と地球中心Oへ向かう方向に垂直な成分 $v_\perp$ を考えます。面積速度 $S$ は、
$$S = \frac{1}{2}r v_\perp \quad \Rightarrow \quad v_\perp = \frac{2S}{r}$$空欄[ア]：運動エネルギー
宇宙船の運動エネルギーは $m, v$ で表すと、
$$K = \frac{1}{2}mv^2$$ここで位置エネルギーは無限遠基準で $V = -\frac{GMm}{r}$ です。
空欄[イ]：力学的エネルギー $E$
$$E = \frac{1}{2}mv^2 + V(r) = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$$面積速度一定 $S = \frac{1}{2}rv_\perp$ より、速さの2乗を書き換えると、
$$v^2 = v_r^2 + v_\perp^2 = v_r^2 + \frac{4S^2}{r^2}$$$v_r = 0$（遠点・近点）を除く一般には $v^2 \geq v_\perp^2 = \frac{4S^2}{r^2}$ です。
空欄[ウ]：ケプラー第2法則と面積速度
ケプラーの第2法則（面積速度一定の法則）が成立するとき、$\frac{1}{2}rv_\perp = S$ は定数です。$r$ を含む形で面積速度を一定値 $S$ として表すと、
$$\frac{1}{2}r \cdot v_\perp = S$$問1：$V(r)$ のグラフ
$E = \frac{1}{2}mv_r^2 + V(r)$ において、$V(r) = \frac{2mS^2}{r^2} - \frac{GMm}{r}$ です。
グラフは $r$ が小さいところで $+\infty$ に発散し、極小値を経て $r \to \infty$ でゼロに漸近する曲線です。
$V(r) = \frac{2mS^2}{r^2} - \frac{GMm}{r}$ の第1項は「遠心力ポテンシャル」と呼ばれ、角運動量に由来する実効的な斥力です。第2項が引力（万有引力ポテンシャル）。この2項の競合により谷（極小値）ができ、そこが安定な円軌道に対応します。
有効ポテンシャル $V(r)$ は $1/r^2$（斥力的）と $-1/r$（引力的）の和。$r$ が小さい領域では遠心力が勝ち、大きい領域では引力が勝つ。極小点が安定な円軌道の半径。
空欄[エ]：円軌道の周期 $T$
円軌道（半径 $R$）では万有引力 $=$ 向心力：
$$\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$周期は $T = \frac{2\pi R}{v}$ より、
$$T = 2\pi R \sqrt{\frac{R}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$空欄[オ]：半径 $R-\Delta R$ での垂直方向速度
円軌道を距離 $\Delta R$ だけ内側にずらした瞬間を考えます。面積速度一定 $S = Rv$ より、半径 $R - \Delta R$ での速度は、
$$v' = \frac{Rv}{R - \Delta R} = v \cdot \frac{R}{R - \Delta R} \fallingdotseq v\left(1 + \frac{\Delta R}{R}\right)$$したがって速度の増分は $\Delta v \fallingdotseq v \cdot \frac{\Delta R}{R}$、すなわち $\Delta v = \frac{v}{R} \cdot \Delta R$ です。
空欄[カ]：万有引力の大きさの増分
半径 $r = R - \Delta R$ での万有引力は、
$$F(R - \Delta R) = \frac{GMm}{(R - \Delta R)^2} \fallingdotseq \frac{GMm}{R^2}\left(1 + \frac{2\Delta R}{R}\right)$$$(1+x)^{-2} \fallingdotseq 1 + 2x$ の近似を使用。引力の増分は、
$$\Delta F_{\text{grav}} = \frac{GMm}{R^2} \cdot \frac{2\Delta R}{R} = \frac{2GMm}{R^3} \cdot \Delta R$$空欄[キ]：遠心力の大きさの増分
遠心力は $\frac{mv^2}{r}$ で、半径 $R - \Delta R$ では、
$$\frac{m(v')^2}{R - \Delta R} \fallingdotseq \frac{mv^2(1 + 2\Delta R/R)}{R(1 - \Delta R/R)} \fallingdotseq \frac{mv^2}{R}\left(1 + \frac{3\Delta R}{R}\right)$$遠心力の増分は、
$$\Delta F_{\text{cent}} = \frac{mv^2}{R} \cdot \frac{3\Delta R}{R} = \frac{3mv^2}{R^2} \cdot \Delta R$$空欄[ク]：合力の増分と復元力
内向きを正として、万有引力増分 $-$ 遠心力増分：
$$\Delta F = \frac{2GMm}{R^3}\Delta R - \frac{3mv^2}{R^2}\Delta R$$$v^2 = \frac{GM}{R}$ を代入すると、
$$\Delta F = \frac{2GMm}{R^3}\Delta R - \frac{3GMm}{R^3}\Delta R = -\frac{GMm}{R^3}\Delta R$$負号は「ずれを戻す方向」→ 復元力！
空欄[ケ]：微小振動の周期と周期比
運動方程式は $m\ddot{\Delta R} = -\frac{GMm}{R^3}\Delta R$ 、すなわち、
$$\ddot{\Delta R} = -\frac{GM}{R^3}\Delta R$$これは角振動数 $\omega_r = \sqrt{\frac{GM}{R^3}}$ の単振動です。周期 $T_r = \frac{2\pi}{\omega_r} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ はちょうど公転周期 $T$ に等しいので、
$$\frac{T_r}{T} = 1$$有効ポテンシャル $V_{\text{eff}}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r}$ を $r = R$ のまわりで展開すると、
$$V_{\text{eff}}''(R) = \frac{3L^2}{mR^4} - \frac{2GMm}{R^3}$$円軌道の条件 $V_{\text{eff}}'(R) = 0$ より $\frac{L^2}{mR^3} = \frac{GMm}{R^2}$ を使うと、
$$V_{\text{eff}}''(R) = \frac{3GMm}{R^3} - \frac{2GMm}{R^3} = \frac{GMm}{R^3}$$微小振動の角振動数は $\omega_r = \sqrt{V_{\text{eff}}''(R)/m} = \sqrt{GM/R^3}$ で、公転角振動数と一致します。
ニュートン重力（$\propto 1/r^2$）では半径方向の微小振動周期が公転周期とぴったり一致する。これが楕円軌道が「閉じる」（一周で元に戻る）ことの本質的理由。べき乗が異なると軌道は閉じない。
一般化：天体Xからの引力が $\frac{A}{r^k}$（$A$ は定数、$k$ は正の実数）のとき、(2) と同様の摂動計算を行います。
空欄[コ]：円軌道の速さ
向心力の釣り合い $\frac{A}{R^k} = \frac{mv^2}{R}$ より、
$$v^2 = \frac{A}{mR^{k-1}}$$空欄[サ]：引力の増分
$(1+x)^{-k} \fallingdotseq 1 + kx$ の近似より、$r = R - \Delta R$ では、
$$\frac{A}{(R - \Delta R)^k} \fallingdotseq \frac{A}{R^k}\left(1 + \frac{k\Delta R}{R}\right)$$増分は $\frac{kA}{R^{k+1}}\,\Delta R$ です。
空欄[シ]：遠心力増分 $-$ 引力増分 $=$ 合力増分
遠心力の増分は (2) と同様に $\frac{3mv^2}{R^2}\Delta R = \frac{3A}{R^{k+1}}\Delta R$。引力増分は $\frac{kA}{R^{k+1}}\Delta R$。合力の増分は、
$$\Delta F = \frac{kA}{R^{k+1}}\Delta R - \frac{3A}{R^{k+1}}\Delta R = \frac{(k-3)A}{R^{k+1}}\Delta R$$$k < 3$ のとき $\Delta F < 0$（復元力）→ 安定。$k \geq 3$ のとき不安定。
空欄[ス]：微小振動が可能な $k$ の条件
$k < 3$ のとき、角振動数 $\omega_r = \sqrt{\frac{(3-k)A}{mR^{k+1}}}$。
空欄[セ]：周期比
公転角振動数 $\omega = \frac{v}{R} = \sqrt{\frac{A}{mR^{k+1}}}$ に対して、
$$\frac{T_r}{T} = \frac{\omega}{\omega_r} = \frac{1}{\sqrt{3-k}}$$$k = 2$（ニュートン重力）のとき $\frac{T_r}{T} = 1$ が再現されます。
ベルトランの定理により、すべての束縛軌道が閉じる（有限回で同じ点に戻る）中心力は、$\frac{1}{r^2}$（ニュートン重力）と $r$（等方調和振動子）の2つだけです。前者は $T_r/T = 1$、後者は $T_r/T = 1/2$ です。
$k = 2$ 以外の値では一般に $\frac{1}{\sqrt{3-k}}$ が無理数となり、軌道は閉じずに歳差運動（ロゼット軌道）を描きます。
べき乗引力 $\propto 1/r^k$ で安定な円軌道が存在するのは $k < 3$ のときのみ。周期比は $1/\sqrt{3-k}$ で、$k = 2$（重力）のとき $T_r = T$（軌道が閉じる）。